合理變形 柳暗花明

莊清壽

本文對(duì)2020年全國(guó)I卷理數(shù)第21題進(jìn)行分析與求解，并說(shuō)明該題與其它同類(lèi)型試題的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)而歸納總結(jié)了處理含參不等式恒成立問(wèn)題的方法.

點(diǎn)評(píng) 將原不等式通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，發(fā)現(xiàn)不等式左右兩邊是同一個(gè)函數(shù)f（x）的自變量取不同值時(shí)的函數(shù)值，進(jìn)而研究f（x）的性質(zhì)，將“f”去掉，得到簡(jiǎn)單的不等式.

3方法總結(jié)

由上面幾道題可以看出，處理含參不等式恒成立問(wèn)題一般需要對(duì)題中所給不等式中的變量x與參數(shù)a作合理的變形（全分離，半分離，不分離）.

（1）若所作的變形是“全分離”，那么需要注意的是當(dāng)x趨近某個(gè)值x₀時(shí)，含x式子的分子與分母分別趨近于0時(shí)，且最值又剛好在x趨近x₀取得，這種情況全分離就失效了，除非高考允許使用洛必達(dá)法則.例1中的解法3，雖然當(dāng)x→0時(shí)，g（x）式子的分子與分母分別趨近于0，但是最值不是在x=0處取得，而是在x=2處取得，所以全分離法適用.另外采用全分離時(shí)，需要求含x式子的最值，但其往往較為復(fù)雜，最值不易求出.我們知道求函數(shù)最值的方法常用的有兩種，一種是研究其單調(diào)性，另一種是對(duì)其通過(guò)放縮（往往借助于一些重要的不等式如均值、柯西、絕對(duì)值不等式及e^x>x+1，Inx≤x-1等等），最后說(shuō)明等號(hào)可以成立.

（2）若所做的變形是“半分離”，這種方法往往在選擇題和填空題中較為常用，這時(shí)通常需要畫(huà)出兩條曲線，那么需要近可能規(guī)范的作圖.

（3）若所做的變形是“不分離”，構(gòu)造函數(shù)時(shí)，函數(shù)的解析式中帶有參數(shù)a.討論單調(diào)性時(shí)，往往需要分類(lèi)討論，如何分類(lèi)討論，或減少討論就顯得非常關(guān)鍵.常用的有取一些特殊的值代入，求出參數(shù)的可能的范圍，得出問(wèn)題成立的必要條件，然后由此再作充分的論證，最終解決問(wèn)題.這種方法縮小了答案搜索的范圍，排除了一些不必要的討論的環(huán)節(jié)，優(yōu)化了解題過(guò)程，提高了解題的速度.