基于分岔理論的永磁同步電機非確定參數(shù)混沌控制

李洋洋，戴 磊，張 懿，魏海峰，李垣江

(1. 江蘇科技大學 電子信息學院，鎮(zhèn)江 212003；2. 江蘇舾普泰克自動化科技有限公司，鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

永磁同步電機系統(tǒng)具有復雜的非線性行為，憑借著小的轉動慣量、高的工作效率、快速的響應性能被廣泛地應用于各種工業(yè)場合。因此,研究永磁同步電機運行系統(tǒng)的非線性動力特性就變得十分有意義。就永磁同步電機的非線性分岔行為來說，復雜的連續(xù)Hopf分岔運動行為會導致運行系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，一般發(fā)生在電機正常運行情況下受到外界干擾，亦或是受到系統(tǒng)本身傳動裝置的某種影響，導致電機在高性能發(fā)展領域受到阻礙[1-2]。永磁同步電機運行中，表現(xiàn)為轉速與轉矩的間歇性振蕩，控制性能不穩(wěn)定及不規(guī)則的電磁噪聲等無規(guī)則運動現(xiàn)象，都有可能是電機運行系統(tǒng)中的混沌運動行為，這些行為會嚴重影響電機系統(tǒng)的高性能運轉，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性、安全性得不到保障[3-5]。電機系統(tǒng)運行時所造成的突發(fā)性病態(tài)現(xiàn)象，會嚴重影響負載系統(tǒng)運行，降低系統(tǒng)的工作效率，所以對永磁同步電機運行系統(tǒng)的這種復雜非線性行為進行研究具有非常重要的應用價值。

對于永磁同步電機系統(tǒng)中的分岔與混沌行為，國內(nèi)外已有研究人員提出了許多分析和控制的方法。文獻[6-8]引入線性變換定理，得到永磁同步電機的無量綱化數(shù)學模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)推導出了電機運行系統(tǒng)的Hopf分岔條件。文獻[9-10]研究了d,q旋轉坐標系下的永磁同步電機模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的變化會直接影響到系統(tǒng)平衡點的運行軌跡，從而會影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。文獻[11-13]引入非線性系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性控制理論，設計了一種誤差反饋學習算法進行控制電機運行系統(tǒng)的混沌行為，實現(xiàn)了對系統(tǒng)誤差的實時補償，該方法從很大程度上提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。文獻[14-16]基于反步法設計了全局有限時間控制器，但是控制器中的一些參數(shù)很難確定。文獻[17-18]基于一般非線性系統(tǒng)的分岔理論，研究了電機系統(tǒng)的分岔特性，該文獻運用模糊控制原理對電機系統(tǒng)的分岔行為進行了同步控制，但是模糊控制容易降低控制系統(tǒng)的精度。文獻[19-20]以永磁同步電機是參數(shù)不確定的非線性系統(tǒng)為切入點，基于自適應控制律提出了一種參數(shù)不確定的永磁同步電機混沌控制策略，用于對系統(tǒng)的不確定參數(shù)進行在線修正。該文獻從理論上利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理證明了控制算法的正確性，后又通過仿真進一步證明了處于混沌狀態(tài)的系統(tǒng)在加入該控制器后能夠很快進入穩(wěn)定狀態(tài)。

本文基于分岔理論研究了永磁同步電機通向混沌的道路，針對永磁同步電機運行系統(tǒng)的參數(shù)不確定性，設計了一種自適應混沌控制器，實現(xiàn)對系統(tǒng)的不確定參數(shù)實時預估，最終達到有效地抑制系統(tǒng)的混沌行為。

1 永磁同步電機運行系統(tǒng)的混沌數(shù)學模型

對永磁同步電機的電壓平衡方程和轉矩平衡方程通過d,q軸坐標旋轉變換，得到常用數(shù)學模型如下式：

(1)

式中:id，iq，ud，uq分別為直軸，交軸定子電流和電壓；ω是轉子角速度；Rs為定子電阻；Ld,Lq分別為直軸和交軸的定子電感；ψr為磁鏈系數(shù)；TL為外部扭矩；β是摩擦系數(shù)；J是轉動慣量；p為極對數(shù)。

永磁同步電機不管是在不斷電運行的情況下，即ud,uq,TL不全為0；還是在負載為0并突然斷電的情況下，即ud=uq=TL=0，永磁同步電機運行系統(tǒng)都有可能發(fā)生混沌行為。而本文就第一種情況展開研究，特取永磁同步電機系統(tǒng)運行條件為ud≠0，uq=0，TL=0，且運行環(huán)境為均勻氣隙，即Ld=Lq。對式(1)進行仿射變換和時間尺度變換，得到其無量綱模型：

(2)

式(2)中的γ和σ是不確定參數(shù)，已有文獻證明在特定的參數(shù)條件下，永磁同步電機系統(tǒng)會產(chǎn)生混沌運動。若永磁同步電機系統(tǒng)在運行過程中由于某種干擾或其他因素產(chǎn)生混沌行為，這種混沌行為往往會使得系統(tǒng)產(chǎn)生不規(guī)則的電磁噪聲，又或者造成突發(fā)性的病態(tài)機電振蕩現(xiàn)象，并且對電機轉子造成極大的破壞，減少電機的使用壽命。因此，本文就永磁同步電機在運行過程中產(chǎn)生的混沌行為進行分析并進行控制具有很大的研究意義。

2 永磁同步電機運行系統(tǒng)的分岔分析

ud≠ 0，uq= 0，TL=0，是指電機于空載狀態(tài)運行，且只有d軸電壓供電的情況下，從式(2)中可以得出系統(tǒng)的平衡點為O(ud，0，0)。其中，令[x1,x2,x3]=[id,iq,ω]，則其余兩個非零平衡點由下列方程組決定：

求得系統(tǒng)兩個非零平衡點：

(3)

本文就系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性展開分析系統(tǒng)的分岔行為，首先求解系統(tǒng)的雅克比矩陣：

(4)

根據(jù)系統(tǒng)的雅可比矩陣求解特征多項式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+

(1) 當平衡點為O(ud，0，0)時，代入特征多項式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+

(σud+2σ+1-σγ)λ+

(ud+1-γ)σ

解得對應的特征值：

λ1=-1

① 當γ∈(0,ud+1)時，特征值全部為負數(shù)，所以平衡點O是穩(wěn)定的；

② 當γ=ud+1時，有λ1=-1，λ2=-(σ+1),λ3=0時，即系統(tǒng)有一個零特征值，說明平衡點O附近還存在其他平衡點，則系統(tǒng)的拓撲結構發(fā)生了變化，即系統(tǒng)在此時出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象；

③ 當γ>ud+1時，系統(tǒng)有兩個負的特征值λ1、λ2和一個正的特征值λ3，此時平衡點O成為鞍點，且系統(tǒng)不再穩(wěn)定。

綜合①②③可知，系統(tǒng)在γ=ud+1時發(fā)生叉形分岔，此時，平衡點O由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，并且將出現(xiàn)新的平衡點X1和X2。

(2) 針對于非零平衡點，由于X1和X2嚴格對稱，本文只分析其中一個，就平衡點X1作為研究對象進行分析。由式(3)和式(4)可得系統(tǒng)對應于平衡點X1的特征式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+(γ+σ-ud)λ+

2(γ-1-ud)σ

由Hopf分岔判定定理得在平衡點X1處產(chǎn)生Hopf分岔的臨界條件：

(5)

即當γ=γ0時，系統(tǒng)狀態(tài)變量id，iq，ω將產(chǎn)生Hopf分岔；當γ>γ0且γ繼續(xù)變化，系統(tǒng)狀態(tài)變量id，iq，ω將通過產(chǎn)生連續(xù)的Hopf分岔最終進入混沌狀態(tài)，即永磁同步電機運行系統(tǒng)將會產(chǎn)生不規(guī)則的電磁噪聲，甚至有可能造成突發(fā)性的電機故障。

系統(tǒng)參數(shù)σ取18.24，ud取2.56，可求得系統(tǒng)靜態(tài)分岔參數(shù)γ=3.56，Hopf分岔參數(shù)γ0≈24.66，為了方便分析系統(tǒng)平衡點的分岔現(xiàn)象，取狀態(tài)變量x2，做出其隨分岔參數(shù)變化的分岔圖，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)分岔圖

從圖1中可以看出，系統(tǒng)在γ=3.56左右產(chǎn)生靜態(tài)分岔，系統(tǒng)由一個平衡點變?yōu)閮蓚€平衡點；在γ=24.66左右產(chǎn)生了Hopf分岔，系統(tǒng)的平衡點逐漸穩(wěn)定于一個極限環(huán)上；當γ>24.66時，系統(tǒng)的平衡點呈現(xiàn)出無規(guī)則的分布，此時系統(tǒng)進入混沌運行狀態(tài)。分別取三組γ參數(shù)，γ1=2.2、γ2=16.6、γ3=28.4，做出不同的分岔參數(shù)下的系統(tǒng)相圖。

永磁同步電機運行系統(tǒng)在工作過程中，隨著分岔參數(shù)的變化，系統(tǒng)首先會產(chǎn)生靜態(tài)分岔，即γ=ud+1，此時系統(tǒng)的平衡點將會變?yōu)閮蓚€新的平衡點，之前的平衡點將不再穩(wěn)定，系統(tǒng)相圖會體現(xiàn)為系統(tǒng)的平衡點收斂至一個點，即系統(tǒng)穩(wěn)定；如圖2所示，當分岔參數(shù)γ∈(0，24.66)時，系統(tǒng)的平衡點的軌跡穩(wěn)定并且收斂，即永磁同步電機運行系統(tǒng)在此參數(shù)區(qū)間是穩(wěn)定的。

(a) γ1=2.2

當γ>ud+1時，系統(tǒng)會產(chǎn)生Hopf分岔，此時系統(tǒng)相圖的拓撲結構發(fā)生變化，系統(tǒng)相圖會體現(xiàn)為系統(tǒng)的平衡點將收斂到一個環(huán)上，而不再是收斂到點，此時的環(huán)稱為極限環(huán)，同時系統(tǒng)的解會呈現(xiàn)周期性，顯然此時的系統(tǒng)依然穩(wěn)定，還未出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。然而,隨著系統(tǒng)分岔參數(shù)的繼續(xù)變化，直至分岔參數(shù)突破某一臨界點，系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定的環(huán)狀結構將會被打破，最終系統(tǒng)平衡點將會無規(guī)則分布。

當參數(shù)γ>24.66時，隨著γ的變化，系統(tǒng)平衡點的軌跡將不會始終穩(wěn)定在極限環(huán)上，如圖3所示。從圖3中可以看出，系統(tǒng)的軌線從初始點(0,1,1)出發(fā)，先繞平衡點X1旋轉再繞平衡點X2旋轉，然后又繞平衡點X1旋轉，但是軌線繞每個點旋轉的圈數(shù)都是不確定的，具有隨機性，這就形成了系統(tǒng)的奇怪吸引子。此時系統(tǒng)的解是無規(guī)則的，不再是穩(wěn)定于極限環(huán)上的周期解，系統(tǒng)已經(jīng)進入混沌運行狀態(tài)，稱此時的系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

圖3 γ3=28.4時的系統(tǒng)相圖

3 永磁同步電機運行系統(tǒng)的混沌控制

上述對永磁同步電機一種參數(shù)情況下進行了分岔研究，分析得知當分岔參數(shù)大于臨界值，即γ>24.66時，運行系統(tǒng)會進入混沌運行狀態(tài)，即系統(tǒng)將不再穩(wěn)定。為了仿真工作在混沌狀態(tài)下的永磁同步電機運行系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)σ取18.24，分岔參數(shù)γ取28.4，對應圖3，永磁同步電機運行系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)下。由式(3)可得系統(tǒng)此時的平衡點X=(27.4，4.984，4.984)，為了有效控制這種混沌行為，本文基于自適應理論設計了混沌控制器，使得進入混沌狀態(tài)的永磁同步電機運行系統(tǒng)最終穩(wěn)定于平衡點。

本設計相對于文獻[20]在控制器的數(shù)量上進行了優(yōu)化，減少了控制器的數(shù)量，加入控制器后的系統(tǒng)模型：

(6)

系統(tǒng)中的控制器的推導如下，令：

u=-βsign(x2)|x2|k-γ0a-σ0b-c

式中:γ0，σ0分別為γ和σ的估計值；β為控制增益；a,b,c分別為設定的變量。

取Lyapunov函數(shù)V1：

即系統(tǒng)的控制器：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，式(7)在加入控制器后是Lyapunov穩(wěn)定的。

4 仿真分析

永磁同步電機是一種多參數(shù)系統(tǒng)，具有復雜的非線性行為，在實際的工程環(huán)境下，系統(tǒng)中的參數(shù)值是未知的，通常會因為外界的干擾導致參數(shù)的精確值很難得到，本文為了解決參數(shù)不確定問題，采用自適應控制方法來消除系統(tǒng)參數(shù)不確定的混沌問題，并取得了良好的控制效果。

本文在t=15時，對系統(tǒng)加入自適應控制器u，抑制系統(tǒng)的混沌行為。圖4為加入控制器后的系統(tǒng)狀態(tài)圖。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，在受外界因素影響，系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)很難確定的情況下加入自適應控制器，能夠有效地控制電機穩(wěn)定運行，并且最終穩(wěn)定到平衡點X=(27.4，4.984，4.984)。

圖4 加入控制后iq，id，ω的狀態(tài)圖

5 結 語

本文將永磁同步電機運行系統(tǒng)的物理模型進行時間尺度變換和線性仿射變換，得到一個無量綱化數(shù)學模型，減少了系統(tǒng)模型中的參數(shù)，方便了對系統(tǒng)狀態(tài)的分析。

本文分析了系統(tǒng)平衡點的分岔特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的靜態(tài)分岔點和Hopf分岔點最終都與系統(tǒng)參數(shù)σ和ud有關。在仿真中，取σ=18.24，ud=2.56，計算得系統(tǒng)的靜態(tài)分岔點為3.56，Hopf分岔點為24.66，隨著分岔參數(shù)γ的繼續(xù)增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了連續(xù)的Hopf分岔現(xiàn)象，最終進入混沌狀態(tài)。

為了有效地控制永磁同步電機系統(tǒng)的混沌行為，采用自適應控制算法，基于系統(tǒng)參數(shù)的不確定性設計了一種自適應混沌控制器。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了控制器的穩(wěn)定性。通過MATLAB仿真，在t=20時加入控制器，仿真圖表明，在加入控制器后，系統(tǒng)各個狀態(tài)能夠快速地進入穩(wěn)定狀態(tài)。