基于康奈爾筆記法的Nyquist判據(jù)教學(xué)方法研究

王立國， 劉 麗

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，化工與化學(xué)學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

自動控制原理課程中的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)是美國Harry Nyquist于1932 年提出的用于確定動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種圖形方法［1-3］。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的貢獻(xiàn)突出在兩方面［4-8］：①從時域到頻域，解決了微分方程模型的復(fù)雜求解問題；②應(yīng)用開環(huán)傳遞函數(shù)分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低了求解的維數(shù)。但由于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)需要根據(jù)s平面上奈氏圖與（-1，j0）點的包圍關(guān)系來進(jìn)行定量分析，會對初學(xué)者造成如下困惑［9-10］：①在（-∞，＋∞）內(nèi)奈氏圖與實軸多次相交時難以把握環(huán)繞次數(shù)；②當(dāng)奈氏圖從無窮遠(yuǎn)處開始時，起點與終點間如何構(gòu)成封閉曲線難以判斷。教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用誤判，亟待探究一種易于理解的Nyquist判據(jù)教學(xué)方法。

康奈爾筆記法由康奈爾大學(xué)的Walter Pauk 博士提出［9］，以Keywords（關(guān)鍵詞）、Notes（注解）及Summary（概括）為主要特征，涵蓋Record（記錄）、Reduce（簡化）、Recite（背誦）、Reflect（補充）、Review（復(fù)習(xí)）5 個階段，故又稱為5R筆記術(shù)，目前該方法已在化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、計算機(jī)教學(xué)與深度閱讀、英語閱讀及大學(xué)英語聽力理解中得到成功應(yīng)用［11-15］。鑒于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)機(jī)理分析的抽象性、分析對象的多樣性，應(yīng)用康奈爾筆記法建立其思路復(fù)雜的學(xué)習(xí)與求解方案尤其必要。

本文以哈爾濱工業(yè)大學(xué)-伊頓聯(lián)合實驗室為依托，針對Nyquist穩(wěn)定判據(jù)教學(xué)及實踐教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等實踐環(huán)節(jié)方面進(jìn)行改進(jìn)。依據(jù)康奈爾筆記法將Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)適用的穩(wěn)定性分析進(jìn)行5R 歸納，總結(jié)為開環(huán)傳遞函數(shù)極點分析、幅頻特性與相頻特性分析、典型環(huán)節(jié)頻率特性、逆時針環(huán)繞(-1，j0)點次數(shù)分析、正負(fù)穿越分析、開環(huán)Nyquist曲線不能構(gòu)成閉合軌跡分析等特定學(xué)習(xí)要點，注解其作用與實質(zhì)。所做工作有助于學(xué)生對Nyquist穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容的深入理解，教學(xué)思路構(gòu)建與具體案例相結(jié)合，促進(jìn)自動控制原理這一課程教學(xué)與國際知名院校的接軌。

1 康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線［16］展開的，是以5R為特征的集記錄、復(fù)習(xí)、自測和思考于一體的筆記方法。通過筆記本三欄區(qū)間劃分，將課前預(yù)習(xí)、自測與復(fù)習(xí)相結(jié)合，快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行課堂記錄，方便快速查找重點、有條理地學(xué)習(xí)、提煉內(nèi)容要點、有針對性地思考；康奈爾筆記法的核心在于記錄、簡化、背誦、補充與復(fù)習(xí)。以Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)學(xué)習(xí)為背景，相應(yīng)的康奈爾筆記總結(jié)如下。

1.1 Record（記錄）

Record（記錄），在最大的筆記欄（Notes）中先進(jìn)行快速直接的記錄與收集，突出記錄對象的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)機(jī)理與應(yīng)用條件。

（1）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本概念。如圖1 所示，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：立足于Cauchy定理之上，設(shè)P 為系統(tǒng)在右半s平面開環(huán)極點數(shù)、Z為系統(tǒng)在右半s平面閉環(huán)極點數(shù)；當(dāng)ω 從-∞變化到＋∞時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G（jω）H（jω）按逆時針方向包圍(-1，j0)點次數(shù)為N，定義Z ＝P-N，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是Z ＝0。

（2）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的前期知識點復(fù)習(xí)。如圖2所示，Cauchy定理：設(shè)Ω 是復(fù)平面的一個單連通的開子集，f：Ω→ 是一個Ω 上的全純函數(shù)；設(shè)γ 是Ω 內(nèi)的一個分段可求長的簡單閉曲線；無論γ是自交還是卷繞數(shù)多于1，只要γ能夠通過連續(xù)形變收縮為Ω 內(nèi)的一點，則滿足：

圖1 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本知識點總結(jié)

與G（jω）H（jω）相對應(yīng)，設(shè)F( s )為s 平面內(nèi)的函數(shù)、L 為s 平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的封閉曲線且不經(jīng)過F( s )的零極點；P1為F( s )位于封閉曲線L 內(nèi)的極點數(shù)、Z1為F( s )位于封閉曲線L 內(nèi)的零點數(shù)；N1為F( s )按逆時針方向包圍(0，j0)點次數(shù)，則F( s )穩(wěn)定的充分必要條件是Z1＝P1-N1＝0。

圖2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)學(xué)習(xí)的前期知識概括

1.2 Reduce（簡化）

Reduce（簡化），提煉重點，專注于從紛繁冗雜的知識信息中獲取關(guān)鍵詞、關(guān)鍵語句，提綱契領(lǐng)，以便跟上授課速度，提高課堂學(xué)習(xí)效率。Nyquist 曲線繪制規(guī)則：

（1）時域到頻域的計算基礎(chǔ)

（2）頻域傳遞函數(shù)的環(huán)節(jié)簡化。如圖3 所示，式（2）～（5）可分為如下特征環(huán)節(jié)：

圖3 傳遞函數(shù)的特征環(huán)節(jié)奈氏圖

比例環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)

滯后環(huán)節(jié)

1.3 Recite（背誦）

Recite（背誦），通過重點與資料的對照，轉(zhuǎn)化出可以執(zhí)行的學(xué)習(xí)行動。核心思想在于突出內(nèi)容的實質(zhì)與深度，力求精簡，方便記憶。根據(jù)講義，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用準(zhǔn)則總結(jié)為如下兩種情況：

（1）奈氏圖與負(fù)實軸(-∞，0 )只有一個交點。① 起點G（0＋）H（0＋）和終 點G（＋∞）H（＋∞）；②與實軸對稱補足( -∞，0-)部分奈氏圖；③確定P，應(yīng)用Z ＝P - N 進(jìn)行穩(wěn)定性判定，其中N 為在( -∞，＋∞)區(qū)間內(nèi)G（jω）H（jω）按逆時針方向包圍( -1，j0)點次數(shù)； ④ 如圖4 所示， 以為終點、( -1，j0)為起點構(gòu)建矢量，然后以(-1，j0)為圓心、令所構(gòu)建矢量沿著奈氏圖（逆時針／順時針）旋轉(zhuǎn)，判斷從到轉(zhuǎn)過的角度α，若α ＝n·( 2π)，n ＝1，2，…，則N ＝2n；若矢量逆時針繞(-1，j0)旋轉(zhuǎn)，則N為正、反之為負(fù)。

圖4 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用1

（2）奈氏圖與負(fù)實軸(-∞，0 )有多個交點。①確定起點G（0＋）H（0＋）和終點G（＋∞）H（＋∞）；②正穿越：當(dāng)ω∈ (0，＋ ∞)，開環(huán)幅相曲線（Nyquist 曲線）從s上半平面穿過負(fù)實軸的(-∞，-1 )段到s 下半平面，穿越次數(shù)定義為N＋；反之稱為負(fù)穿越，穿越次數(shù)定義為N-；③ 要點：ω∈ (0，＋ ∞)，穿過負(fù)實軸的(-∞，- 1 )段；( -1，0 )段穿越無效；④ 與Z ＝P -N 相對應(yīng)，此時Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)定義為Z ＝P -2 (N＋-N-)，詳見圖5。

圖5 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用2

1.4 Reflect（補充）

Reflect（補充），對Nyquist穩(wěn)定判據(jù)常規(guī)有了了解后，對于開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的奈氏圖需要單獨處理，因為此時奈氏圖起始于無窮遠(yuǎn)處，不構(gòu)成封閉的曲線（不滿足Cauchy 定理），此時需要補足積分環(huán)節(jié)造成的缺陷。

當(dāng)控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為如下形式時：

由于系統(tǒng)中含有v 個積分環(huán)節(jié)，奈氏圖起始于無窮遠(yuǎn)處，開環(huán)Nyquist 曲線不能構(gòu)成閉合軌跡，無法確定Nyquist曲線包圍(-1，j0)點的圈數(shù)N。

如圖6 所示，需要先把開環(huán)幅相曲線補為封閉曲線，方法是從原開環(huán)幅相曲線的ω ＝0＋這一點，逆時針補畫半徑為無窮大的v ×90°圓弧，并用虛線表示；即一個積分環(huán)節(jié)補90°，v個積分環(huán)節(jié)補v×90°。

圖6 含積分環(huán)節(jié)奈氏圖Nyquist穩(wěn)定性分析

教學(xué)過程中，體現(xiàn)的難點在于，補足v ×90°后，學(xué)生不清楚后補曲線的方向性，此時最簡捷的方向判定方法就是令后補曲線的方向與原奈氏圖方向一致，而且只分析ω∈(0，＋∞ )這一部分奈氏圖。

1.5 Review（復(fù)習(xí)）

Review（復(fù)習(xí)），Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在筆記中主要突出頻域分析、奈氏圖繪制、不同情況下的Nyquist 判據(jù)表現(xiàn)形式等，核心在于總結(jié)關(guān)鍵詞，提煉應(yīng)用準(zhǔn)則、濃縮要點。與式（18）相對應(yīng)（n個極點、m個零點）。

1.5.1 頻率特性

涵蓋幅頻特性與相頻特性，其中實頻特性與虛頻特性分別表示如下：

1.5.2 繪制奈奎斯特圖

如圖7 所示，核心問題：① ω→0＋時，低頻段從何處出發(fā)？②ω→＋∞時，高頻段以何種姿態(tài)收斂？③在ω為何值時穿越實軸和虛軸？④ 與坐標(biāo)軸的交點為多少？給出每一點處的幅值與相角。

（1）ω→0＋時，低頻段的表達(dá)式為：

ω→0＋時，滿足表1 所示計算數(shù)據(jù)。

表1 不同數(shù)量積分環(huán)節(jié)的出發(fā)點幅值與相角分析

（2）ω→＋∞時，高頻段幅頻和相頻特性為：

滿足如下規(guī)律：①n -m ＝1，曲線沿負(fù)虛軸向原點收斂；②n - m ＝2，曲線沿負(fù)實軸向原點收斂；③n-m ＝3，曲線沿正虛軸向原點收斂。

圖7 所示是對Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的圖形總結(jié)，可解決學(xué)生對起始于無窮遠(yuǎn)處奈氏圖畫圖、補足全圖及穩(wěn)定性分析的困惑，簡單直觀、易于理解。

圖7 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)準(zhǔn)則總結(jié)

2 實例分析

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試用奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

應(yīng)用康奈爾筆記法求解過程如圖8 ～11 所示。

圖8 所示為時域到頻域、起點到終點的計算過程；圖9 所示為奈氏圖與實軸交點的計算過程；圖10 ～11分別展示了如何將起始于無窮遠(yuǎn)處的奈氏圖補足及應(yīng)用Z ＝P -N及Z ＝P -2 (N＋-N-)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的具體過程。與圖1 ～7 相對應(yīng)，借助于康奈爾筆記法，此實例可將Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用過程系統(tǒng)、直觀地展示給學(xué)生。

圖8 Nyquist頻率特性分析

圖9 奈氏圖相關(guān)繪制過程

圖10 應(yīng)用Z ＝P-N方法的Nyquist穩(wěn)定性分析

圖11 應(yīng)用正負(fù)穿越方法的Nyquist穩(wěn)定性分析

3 結(jié) 語

基于康奈爾大學(xué)筆記法思想，將其與自動控制原理教學(xué)中的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)有機(jī)結(jié)合，建立機(jī)理分析、繪制規(guī)則、穩(wěn)定判據(jù)與康奈爾大學(xué)筆記之間的邏輯教學(xué)體系，突出記錄、簡化、背誦、補充與復(fù)習(xí)5 個環(huán)節(jié)教學(xué)方法的改進(jìn)；以哈爾濱工業(yè)大學(xué)-伊頓聯(lián)合實驗室為依托，提出了具有電氣工程教學(xué)特色的康奈爾大學(xué)筆記法思路。2018 年，將康奈爾大學(xué)筆記法思想融于自動控制原理雙語教學(xué)中，突出圖1 ～7 所示的教學(xué)體系模式，取得了較為理想的授課效果，15 人的大四授課對象中保研比例為93%，這在一定程度上驗證了所提康奈爾大學(xué)筆記法教學(xué)思想的有效性。