高速列車非線性空氣懸架自適應(yīng)反步控制研究

李 碩，馬 順，李艷山，王 宇，陳曉龍

（中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，山東 青島266580）

高速列車的懸架系統(tǒng)對(duì)列車的平穩(wěn)運(yùn)行發(fā)揮著非常重要的作用[1-3]。傳統(tǒng)的列車懸架系統(tǒng)由一系懸架組成，不存在控制系統(tǒng)，平穩(wěn)性相對(duì)較差。高速列車在一系懸架的基礎(chǔ)上增加二系空氣懸掛，使得列車舒適性大大增加，空氣懸架的應(yīng)用對(duì)于提高高速列車的平順性和舒適性具有巨大的作用。

目前對(duì)于高速列車懸架系統(tǒng)的研究，主要集中在懸架系統(tǒng)控制算法以及懸架結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化方面。如鄧力等[4]針對(duì)傳統(tǒng)半主動(dòng)控制的缺陷，提出了開閉環(huán)優(yōu)化控制算法，大大提高了列車橫向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。曹青松等[5]考慮了列車在運(yùn)行過程中的干擾，利用標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)控制。閆紅衛(wèi)等[6]比較了連續(xù)型和開關(guān)型天棚阻尼控制的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了適用于不同場(chǎng)合的控制方式。于日偉等[7]建立的耦合系統(tǒng)包括座椅、車體和轉(zhuǎn)向架，并提出懸掛參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化方法。崔慶霞等[8]和陳志輝等[9]通過準(zhǔn)零剛度隔振方法，在二系懸掛結(jié)構(gòu)中加入一對(duì)橫向線性彈簧，使車體的垂向振動(dòng)明顯減小。

以上學(xué)者在研究過程中，忽略了懸架系統(tǒng)非線性對(duì)于控制效果的影響。由于二系懸架為空氣懸架，存在著許多非線性因素，這些非線性因素在一定的載荷激勵(lì)和頻域范圍內(nèi)表現(xiàn)十分突出，對(duì)控制效果具有非常大的影響，且線性控制策略并不適合于非線性系統(tǒng)[10]。因此本文著重研究二系空氣懸架的非線性特性，并通過仿真分析了不同速度以及干擾下的車體的振動(dòng)情況，為后續(xù)高速列車的平順性控制研究奠定了基礎(chǔ)。

1 建立模型

1.1 系統(tǒng)模型的建立

二系懸掛的核心是空氣彈簧，而空氣彈簧具有典型的非線性特性[11]，采用一般的線性控制方式會(huì)產(chǎn)生比較大的控制偏差。因此本文通過研究空氣彈簧的非線性進(jìn)而對(duì)整個(gè)懸架系統(tǒng)進(jìn)行非線性控制。本文選用前進(jìn)牌1884N 型橡膠空氣彈簧，并在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)上，利用其實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)，進(jìn)行空氣懸架的控制研究。本文選取高速列車2自由度非線性空氣懸架作為研究對(duì)象，并假設(shè)車輪在軌道運(yùn)行過程中不脫離軌道面，其模型簡(jiǎn)圖見圖1。

圖1 懸架系統(tǒng)模型

根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可描述為

其中：

式中：ms為車體質(zhì)量；mu為轉(zhuǎn)向架質(zhì)量；Fk為二系空氣懸架剛度，k1,k2,k3為空氣彈簧的剛度系數(shù)；Fc為二系空氣懸架阻尼；bc1為空氣彈簧的阻尼系數(shù)；u為主動(dòng)懸架的控制力；Fs為系統(tǒng)受到不確定的外部擾動(dòng)，因?yàn)槭艿降耐獠繑_動(dòng)不可能無限大，因此該外部擾動(dòng)是有界的；Ft為一系懸架剛度系數(shù)；Fb為一系懸架阻尼系數(shù)；zs為車體的位移；zu為轉(zhuǎn)向架的位移；z0為軌道激勵(lì)輸入。

1.2 路面激勵(lì)模型的建立

本文所采用的路面輸入為德國軌道高低不平順功率譜密度[7]，其表達(dá)式如下所示：

式中：z0為高速軌道路面不平順輸入，v為列車行駛速度，Ωc、Ωr為截?cái)嗫臻g頻率，Av為軌道粗糙度系數(shù)。

2 自適應(yīng)反步控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制器設(shè)計(jì)

式中：參數(shù)θ有界，即θmin≤θ≤θmax；Fs有界，即Fs≤D；且：

針對(duì)上述狀態(tài)空間方程設(shè)計(jì)控制器，取跟蹤誤差為

式中：x1r為參考軌跡信號(hào)，當(dāng)跟蹤誤差盡可能的小，會(huì)達(dá)到控制的目標(biāo)。對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)可得：

選擇x2作為誤差動(dòng)態(tài)的虛擬控制輸入，其理想函數(shù)為α，則兩者之間的誤差為

則公式(5)可以重新寫為

因此，該控制器的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)虛擬控制率α，使得跟蹤軌跡誤差e1盡可能的小，選擇第一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)可得：

選擇如下的虛擬控制率：

式中：t1為一個(gè)正常數(shù)。則式(9)可以改寫為

從上式可以看出，當(dāng)e2→0 時(shí)，那么V˙1= -t1e21≤0，就可以保證e1是漸進(jìn)趨近于零的。

對(duì)e2進(jìn)行求導(dǎo)可得：

為了消除系統(tǒng)外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，采用滑?？刂频牡刃Э刂坪颓袚Q控制的思想，選擇的控制律為

式中：t2為正實(shí)數(shù)，那么有：

取系統(tǒng)的自適應(yīng)率為

則式(15)可以改寫為

由系統(tǒng)Lyapunov定律可知，隨著t→0，V2→0，則e1與e2也將趨近于0，則系統(tǒng)可以達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。

為了削弱系統(tǒng)抖振帶來的危害，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)的做法[13]，令控制律為

2.2 系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)響應(yīng)

為了找到系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)響應(yīng)，令e1=0=0。因此可以得到：

將上式(19)代入到中，可以得到：

從上式可以看出，此2 階系統(tǒng)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，具有Hurwitz 判據(jù)特征,因此該系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 模型參數(shù)選取

由于外部擾動(dòng)信號(hào)有范圍，因此本文假設(shè)為

空氣彈簧參數(shù)選取參照前文所述文獻(xiàn)[12]，選取參數(shù)為0.8 MPa 下的空氣彈簧試驗(yàn)擬合系數(shù)，其他系統(tǒng)參數(shù)選擇參照文獻(xiàn)[14]，具體數(shù)值如表1所示。軌道激勵(lì)參數(shù)選取如表2所示，低干擾譜采用的速度為300 km/h，高干擾譜采用200 km/h?？刂破鲄?shù)選取如表3所示，且控制器設(shè)計(jì)過程中的參考軌跡信號(hào)設(shè)置為0，即車體的參考信號(hào)為不振動(dòng)，利用MATLAB/Simulink對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制仿真。

表1 懸架系統(tǒng)參數(shù)選擇

表2 軌道激勵(lì)參數(shù)選擇

表3 控制器參數(shù)選擇

3.2 低干擾300 km/h路面激勵(lì)響應(yīng)

低軌道路面激勵(lì)模型如圖2所示，仿真時(shí)間為10秒。

圖3所示為車體的垂直振動(dòng)位移仿真結(jié)果，圖4所示為車體的垂直振動(dòng)加速度仿真結(jié)果，圖5所示為車體質(zhì)量的變化曲線，圖6所示為車體的垂直振動(dòng)位移功率譜密度曲線，圖7所示為車體的垂直振動(dòng)加速度功率譜密度曲線仿真結(jié)果。

懸架系統(tǒng)的作用在于降低車體上乘客的振動(dòng)，提高列車在運(yùn)行過程中的平順性和舒適性。通過圖3以及圖4可以看出，在低干擾300 km/h的路面激勵(lì)下，綜合考慮了車體質(zhì)量的變化以及外部擾動(dòng)的影響，所設(shè)計(jì)的控制器能夠非常好地降低車體的垂直振動(dòng)和位移，同時(shí)圖6和圖7的頻域仿真結(jié)果驗(yàn)證了時(shí)域的仿真結(jié)果，說明所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，突出了控制器在降低車輛位移和振動(dòng)的巨大作用。

圖2 路面激勵(lì)輸入

圖3 車體垂直位移響應(yīng)

圖4 車體垂直振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖5 車體質(zhì)量變化

圖6 車體位移PSD

圖7 車體垂直振動(dòng)加速度PSD

3.3 高干擾200 km/h路面激勵(lì)響應(yīng)

低軌道路面激勵(lì)模型如圖8所示。仿真時(shí)間為10 秒。圖9所示為車體的垂直振動(dòng)位移仿真結(jié)果，圖10所示為車體的垂直振動(dòng)加速度仿真結(jié)果，圖11所示為車體質(zhì)量的變化曲線，圖12所示為車體的垂直振動(dòng)位移功率譜密度曲線，圖13所示為車體的垂直振動(dòng)加速度功率譜密度曲線仿真曲線。

通過分析圖9至圖13可以發(fā)現(xiàn)，控制器不僅在低干擾300 km/h 的情況下具有非常好的控制效果，在高干擾200 km/h的路面激勵(lì)下依然能夠保持非常好的控制效果。該控制器使得懸架系統(tǒng)發(fā)揮了更加明顯的作用，不僅能夠使得系統(tǒng)抗外部擾動(dòng)的性能更強(qiáng)，還可以減小車體在運(yùn)行過程中的位移以及振動(dòng)。由此驗(yàn)證了控制器的有效性。

4 結(jié)語

本文在非線性空氣懸架的試驗(yàn)基礎(chǔ)上，利用所得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立2 自由度高速列車模型，進(jìn)而針對(duì)該模型進(jìn)行控制研究。在控制器設(shè)計(jì)時(shí)，既考慮到車體由于乘客數(shù)量的變化而出現(xiàn)的范圍波動(dòng)，即參數(shù)的不確定性的情況，又兼顧了高速列車在運(yùn)行過程中可能出現(xiàn)的擾動(dòng)，因此所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反步控制器不僅能夠解決系統(tǒng)非線性帶來的影響，而且能夠解決系統(tǒng)參數(shù)的不確定性影響，還可以依靠切換控制的思想來解決系統(tǒng)外部擾動(dòng)帶來的影響。仿真結(jié)果顯示控制器可以有效地提升懸架性能，證明了控制器的穩(wěn)定性，從而滿足了懸架系統(tǒng)的控制性能要求，使其能應(yīng)對(duì)不確定參數(shù)和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，達(dá)到控制懸架系統(tǒng)增強(qiáng)高速列車的平順性和乘坐舒適性的目的。

圖8 路面激勵(lì)輸入

圖9 車體垂直位移響應(yīng)

圖10 車體垂直振動(dòng)加速度響應(yīng)

圖11 車體質(zhì)量變化

圖12 車體位移PSD

圖13 車體垂直振動(dòng)加速度PSD