對(duì)稱性在積分計(jì)算中的運(yùn)用

尹松庭

（銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽 銅陵 244000）

0 引言

高等數(shù)學(xué)介紹了定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分及第二類曲面積分，而對(duì)于每種積分計(jì)算都探討了相關(guān)的對(duì)稱性。由于六種積分分成幾個(gè)章節(jié)先后學(xué)習(xí)的，因此在課堂上學(xué)習(xí)積分對(duì)稱性比較分散，難以統(tǒng)一[1-3]。其次，目前關(guān)于探討各種積分對(duì)稱性的文獻(xiàn)很多，而這類文獻(xiàn)在介紹積分對(duì)稱性時(shí)，往往列出各種對(duì)稱性定理，而且表述繁瑣，卻極少給出各種對(duì)稱性的內(nèi)在聯(lián)系[4-10]。因此，對(duì)于這些數(shù)量多內(nèi)容相似的對(duì)稱性定理難以區(qū)分和牢記，更不能靈活運(yùn)用。本文將對(duì)六種積分的計(jì)算進(jìn)行分類，抓住它們對(duì)稱性的共性及本質(zhì)特征，即將對(duì)稱性分成奇偶與輪換兩種，把定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分歸為一大類，而把第二類曲線積分及第二類曲面積歸為另外一大類，然后給出“代表性”的對(duì)稱性定理。

1 奇偶對(duì)稱性

注：定理1 是以二重積分為例，完全類似的結(jié)論對(duì)于定積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分仍然成立。

例2計(jì)算其中D 為單位圓域在第一象限的部分。

解：用直線將D 分為全等的兩部分，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的坐標(biāo)分別為根據(jù)定理1，函數(shù)（表示橫坐標(biāo)減去縱坐標(biāo)）的積分恰好抵消為零。故

注：定理2是以第二類曲面積分為例。事實(shí)上，類似的結(jié)論對(duì)于第二類曲線積分仍然成立。與定理1 不同在于，第二類曲面（曲線）積分的對(duì)稱性不僅要考慮被積函數(shù)的對(duì)稱性，還要考慮積分曲面（曲線）的方向性。

例3計(jì)算及，其中L 表示半徑為圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。

解：顯然，曲線L 分為左右全等的兩部分，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處被積函數(shù)相等。對(duì)于，L 的左右兩部分方向相反（一個(gè)向上一個(gè)向下）。故由定理2得出，

這里的第二個(gè)等號(hào)用到了下面要介紹的輪換對(duì)稱性。

2 輪換對(duì)稱性

在定積分計(jì)算中，我們熟悉下面的性質(zhì)

定理3設(shè)積分范圍具有輪換對(duì)稱性，表示集合{1,2,3}中任意一個(gè)輪換，則函數(shù)在上的積分滿足

注：如果表達(dá)式對(duì)于部分坐標(biāo)是對(duì)稱的，我們稱具有部分輪換對(duì)稱性。此時(shí)可以得到與定理3 相應(yīng)的結(jié)果。具體表述由讀者補(bǔ)充。

證明：由于具有輪換對(duì)稱性，故對(duì)于任意的輪換（作用在坐標(biāo)分量上相當(dāng)于空間中的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射），總有由于可逆，故

故利用曲線方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)可得

3 總結(jié)

本文用三個(gè)定理概括了六種積分對(duì)稱性。這些定理凸顯了積分對(duì)稱性的內(nèi)在聯(lián)系和共同特征，且便于記憶，容易掌握?？傊覀円プ∪c(diǎn)：積分范圍具有對(duì)稱性；被積函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的值相等或相反；如果涉及第二類積分，要考慮積分范圍的方向。