以初等多值函數為例對復變函數進行的教學探討

侯利元，劉念平

（樂山師范學院，數理學院，四川 樂山 614000 ）

關健詞：復變函數；多值函數；單值解析分支

0 引言

復變函數的理論和方法在力學、集成系統(tǒng)等諸多領域都發(fā)揮著重要的應用[1-3]，與數學中其他分支的聯(lián)系也日益密切。因此，復變函數是數學與應用數學專業(yè)的一門非常重要的、不可缺少的基礎課程,該課程在培養(yǎng)學生數學思維能力，提高學生數學素養(yǎng)方面等起著重要作用。綜合以上原因，許多高校教師對這門課程的教學改革十分關注[4-6]。文獻[4]主要研究了復數域內多值函數的積分問題，根據不同的理論對教材中的例題給出不同的解法；文獻[5]針對地方師范類院校根據復變函數課程體系和培養(yǎng)目標分析了復變函數的具體教學內容；文獻[6]針對工科中的復變函數與積分變換這一課程探討了教學模式的改革。

數學分析是復變函數的先修課程，且兩門課程中的很多理論都是相似的，對于相似章節(jié)可以采用類比法進行講解，學生更易理解。但是復變函數中初等多值函數這一章節(jié)和數學分析有很大的不同，且學習多值函數性質之前需要將多值函數轉化為單值函數，它既是教學重點，也因學生處理單值函數的慣性思維使其稱為學生學習的難點，因此本文節(jié)選多值函數對復變函數的教學進行研討具有代表性和必要性。也有較多文獻對這一章節(jié)進行了分析，如文獻[7-9]，但這些文獻對課程內容分析不足，且由于網絡教育平臺最近幾年的推行、新冠疫情的影響，之前文獻的分析對混合式教學甚至線上教學的重視不足。

綜上所述，本文將對復變函數初等多值函數這一章節(jié)中的內容進行教學研討，參考教材為鐘玉泉老師編撰的《復變函數論》[10]，其教學內容主要包括根式函數、對數函數、一般冪指函數、具有有限個支點的情形等，重點對教學內容進行了重新編排，使得知識由淺入深，更加符合學生的認知過程，并梳理了有限個支點的函數求函數值的方法，對教材中的相應例題做了更加透徹的分析。

1 復變函數教學中存在的問題

1.1 學生學習動力不足

復變函數是數學分析的延伸課程，課程難度大且抽象。因此若學生在學習數學分析等專業(yè)基礎課程時未打好基礎，學習復變函數時就會形成嚴重障礙，學生便愈發(fā)覺得課程內容抽象，不好理解。且數學專業(yè)性質決定了數學專業(yè)課的很多基礎理論章節(jié)無法聯(lián)系實際，學生學習動力不能有效激發(fā)。

從另外一個角度來說，數學分析和復變函數這兩門課程不管是知識框架還是具體知識點都具有很強的相似性，學生在學到相似的知識時，往往對“已有”知識提不起興趣，從而錯過了“新”知識的講解。

另外復變函數課程普遍采用講授式教學，教學方法單一，缺乏必要的互動，再次為復變函數學習的枯燥加碼。提高學生學習復變函數乃至數學專業(yè)的志趣是學生學好數學的前提，因此如何提升學生學習動力是我們應當思考的重要問題之一。

1.2 考核方式陳舊

目前在很多高校中復變函數這門課程平時成績占30%，個別院校對占比略有調整。其中平時成績由學生出勤情況、作業(yè)完成情況等方面考核，但從這些方面并不能完整體現(xiàn)學生真實情況，導致個別學生的平時成績和最后期末考試成績相差較大，其原因可以歸于，來上課的學生上課效果不一而足，作業(yè)完成情況也不能完全反映學生掌握情況，且作業(yè)完成情況不能及時在課堂上反應出來，老師不能給予及時的強調或者講解。如何及時反映學生真實的掌握情況，改革考核方式是我們在教學改革中必須考慮的。

1.3 教師對課程內容缺乏深層次的思考

雖然鐘玉泉老師編撰的《復變函數論》的內容相比其他教材要簡單些，如Lars V.Ahlfors[11]編撰的Complex analysis、Elias M.Stein[12]等編寫的Complex Analysis，但要將這門課程講好還需要教師認真專研教材及相關資料。其中很多教學內容看起來非常簡單，如單值解析分支這一章節(jié)，但要給學生講的透徹生動還是很困難的，且鐘玉泉老師編撰的《復變函數論》教材中有些不足之處是需要教師進行深入探討進行修正或者補充。

除此之外，高校特別是地方師范類院校中教這門課程的教師大部分都不是研究復分析的教師，對復分析的前沿知識所知甚少。

2 以初等多值函數為例進行教學探索

綜上，復變函數課程的教學改革愈加迫切，且其改革的內容不應只局限于改變教學方式，或將教學課件、其他教學設備簡單的加入課程教學中，還應注重激發(fā)學生的學習動力和專業(yè)志趣，從而引導學生求真學問、練真本領。由此我們以鐘玉泉老師編著的《復變函數論》中的初等多值函數這一章節(jié)為例提出以下關于復變函數教學改革的設想和教學建議。該章節(jié)因其與數學分析中巨大的不同，及其在復變函數中的重要地位，故其教學探討頗具代表性和必要性。

2.1 類比思想，探討多值函數的處理方式，降低學習難度

不論是布魯納的結構主義教學論，還是奧蘇貝爾的有意義學習理論，亦或是建構主義學習理論，他們有一個共同的觀點就是新的教學必須建立在學生已有經驗的基礎上，這足以說明“新知以舊知為基礎”的重要性。復變函數中的知識點和思想都可以由數學分析的內容類比而來，雖然多值函數這一章節(jié)內容和高中數學的內容有很大的差異，但我們依然可以找到和復變函數類似的數學思想，如高中數學中反三角函數的內容和思想就和初等多值函數的思想類似。由高中學習過的反三角函數的定義引入探討對多值函數的多值性的處理，可以降低學生對該章節(jié)的認知難度，從而做到學有淵源，有效激發(fā)學生學習的主觀能動性，詳細分析如下。

在數學分析乃至中學數學中，反三角函數在不限定值域時，該函數即為多值函數。以正弦函數為例，y=sinx則y是x的正弦函數，x是y的反三角函數，顯然當sinx=1 時，則，即反三角函數為多值函數。研究反三角函數的連續(xù)性，導數等出現(xiàn)障礙時，我們的處理方法是限定值域的范圍，從而給出反三角函數的定義，如反正弦函數的值域限定在范圍內，記為y=arcsinx，其余反三角函數做類似處理，不贅述。同理在復變函數中出現(xiàn)的多值函數可以使用類似的方法處理，即限定因變量的范圍。

用類比講解是復變函數這一特殊課程常用的教學方法，能夠使得知識更具系統(tǒng)性。由于地方師范類院校學生基礎較差，這樣講解符合師范類院校學生的認知水平，有利于降低復變函數的學習障礙，降低學生學習難度，更符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。且由學生自己發(fā)現(xiàn)解決發(fā)現(xiàn)新問題的解決方法，可以增加學生學習該課程的信心，提高學生分析問題的能力，增加學生學習的動力和興趣。

2.2 數形結合，由淺入深，分析多值函數變單值函數的本質，增加學生學習興趣

按照教材中的編排需要先講解單葉性區(qū)域的定義，然后是冪函數單葉性區(qū)域，從而得根式函數的單值解析分支，但是由根式函數引入，教學效果欠佳，因為學生對根式函數尚不熟悉，且根式函數不夠直觀形象，不僅如此在講解根式函數多值性的同時還要對支點、支割線等新概念進行講解，如此多的概念再次加大了學生的學習難度。除此之外教材中與其相關的圖象，如圖1，學生理解起來也較為困難。故而需要教師對教學內容做重新編排。

圖1 根式函數的單值解析分支（n=3）

根據對初等多值函數這一章節(jié)的分析，根式函數和對數函數公式如下:

顯然這兩類多值函數的多值性可以歸結于輻角函數f(z)=Argz的多值性。輻角函數的多值性是學生在高中學習任意角的三角函數時就涉及到的，只是未給出相應的概念，且輻角函數相對根式函數、對數函數這兩類函數而言形式上要簡單得多，故而由輻角函數的多值性進行引入講解可以降低學生學習難度，且由其圖象解釋支點，支割線的定義更加清晰明了，如圖2 所示。

圖2 輻角函數的多值性

該章節(jié)的教學設計建議采用任務驅動教學，由學生自己思考輻角函數的多值轉單值的問題，有了之前反三角函數的鋪墊學生解決起來比較簡單，有利于學生增加學習的信心和興趣。在講解完輻角函數的內容之后教師再對根式函數、對數函數，一般冪指函數進行類似講解即可。

2.3 實踐計算，對教學內容進行深度思考

雖然每所院校所制定的關于數學專業(yè)的培養(yǎng)方案、某課程的教學大綱等會有所不同，但是數學的邏輯思維和計算能力是數學專業(yè)課的核心素養(yǎng)，是每一門數學專業(yè)課著重培養(yǎng)的能力，計算能力的提高對學生運用知識的能力有很大幫助。因此復變函數中的計算需要引起教師的重視。但是學生在學習復變函數內容時，往往出現(xiàn)“課堂懂，課下懵”的現(xiàn)象，這不僅是學生的問題，也因教師在講解例題時未注重學生分析問題的能力的培養(yǎng)。接下來我們以初等多值函數為例進行刨析。

計算多值函數在單值解析分支上的函數值既是教學重點也是教學難點，但是教材中并沒有對其進行詳細的分析，如步驟總結或者方法比較，學生做題過程有一定的障礙。接下來以教材中的例2.15 為例進行說明。

例2.15[10]設確定在從原點z=0起沿負實軸割破了的z平面上，并且w(i)=-i，試求w(-i)之值。（求解過程詳見書上不詳述）

在講解該題目時，應進行如下分析：根式函數為初等多值函數，一個復數對應三個立方根，所以在不割破z平面的情況下，w(i) 應有三個值。按照題設中來割破z平面，則多值函數變成了三個單值解析分支，w(i)=-i是在其中一個分支上的函數值，只需確定所在分支，即可求出w(-i) 。

在講解完解題過程后，可以對步驟進行分析，總結出：步驟一，確定單值分支，求k值；步驟二，在單值分支上求新的函數值，即將步驟一中的k值和自變量代入函數即求得。除此之外教師應分析做題過程中的易錯點，如步驟二中，中的，而不是并說明原因。進一步的，說明題設是什么時，，進而說明割線不同，求出的單值連續(xù)分支的函數值不同。之后遇到該類題目的變形學生也會比較輕松的進行解答。

在講解“具有多個有限支點的情形”的相關內容時，類似題目還有例2.22，該題目利用2.25式（下面的分析中我們用（1）式來代替）：

求出了多值函數在單值連續(xù)分支上的函數值。

應對（1）式進行詳細解釋，如公式中兩個輻角的區(qū)別，一個輻角是因變量的輻角變化量，另一個則是已知條件中函數值的輻角，再如如何由自變量的輻角變化量計算因變量的輻角變化量，計算公式的推導等。

在講解式（1）之后，教師可以先不對例2.22進行講解，而是給出例2.15 的另外一種解法，

在講解完兩種方法之后需要對兩種解題方法進行總結比較，易得第一種解法更易理解，但是解題過程較為復雜；利用教材中2.25 式的解法過程非常簡單，但是公式本身需要學生精心推導或者記憶。兩者比較從而幫助學生找到更適合自己的方法。除此之外教師可以利用多媒體技術中的各種圖形、動畫，對該章節(jié)進行講解對學生進行啟發(fā)，提高學生能動性。

必須要指出的是教材中的例2.22 在講解過程中遇到了很大的困難，因為該題目的解題過程是錯誤的，或者說是不嚴格的。下面的內容是對教材中的求解過程進行思考分析。

例2.22[10]試證在將z平面適當割開后能分出三個單值解析分支。并求出在點z=2取負值的那個分支在z=i的值。

（解題過程不再詳述，只將有異議的地方列出）

解：（1）……將z平面沿正實軸從0到1割開，再沿負虛軸割開……

……當z從z=2沿G 內一條簡單曲線C 變動到z=i時，

再由題設，我們可以認為 argf(2)=π,故

以上便是教材中對例題的求解，該題目設置有不嚴謹之處，分析題目可知：（a）由該例題中的題設我們簡單計算可得支點0,1,∞，故割破z平面的割線為連接這三點（將無窮遠點作為特殊點）的任意曲線，有無限多條；（b）在單值解析分支上的函數值由割破z平面的情況而決定，割線不同則割破z平面的情況也不同，故題目中所求函數值不定。故該題目為開放性的題目，第二問的計算結果會隨著第一問中割破復平面的情況不同而不同，題目講解應不限于教材中。

除此之外，教材中第二問在計算ΔCarg(1-z)時，用的是向量來求輻角變化量，若向量平移使用在這里是恰當的，則割破復平面雖然不同，根據向量性質經過向量平移變換得到的輻角變化量始終不變，即單值解析分支上的函數值和割破復平面的情況無關，這與之前的分析矛盾。

從另外一個角度也可以證明題目的不嚴謹。我們將z=2和z=i分別代入(1-z) 中，易得(1-z)從 -1變到1 -i，按照教材中的割破復平面的情況，顯然順時針旋轉

和教材中結果明顯不同。除此之外利用此前的確定分支再求函數值的方法，所得結果也是

詳細的分析結果阜陽師范學院的儲亞偉在文獻[13]也做了類似分析，不過分析角度不同，文獻[13]著重于例2.22 的求解方法，本文更著重于該章節(jié)的教學分析。以上分析是在對教材的深度思考和進行相關文獻的查閱之后得出的。這不僅有助于教師在專業(yè)知識方面的進益，避免教學中知識性的錯誤；更有助于學生夯實基礎，培養(yǎng)學生的反思能力，對于地方師范類院校的師范生來說，有助于他們在之后的職業(yè)生涯中發(fā)現(xiàn)教育教學中的問題，從而增強教育教學研究意識。

2.4 教學過程中合理利用教學平臺，考核方式合理化

由于學時限制，復變函數課程中的很多內容，如初等多值函數這一章節(jié)中反三角函數和反雙曲函數在講解過程中就會粗略帶過，對相關內容感興趣的學生無法繼續(xù)深入學習。另外，數學有很強的連續(xù)性，一個知識點出現(xiàn)障礙，后面的知識點往往都會比較難以理解。基于以上原因，我們就需要教學平臺幫助，以期對學生的學習起到查漏補缺的作用。

由于各個教育部門對線上教學的重視，MOOC，學銀在線（即學習通）、雨課堂等網絡平臺愈加完善，上述問題都可以較好的得以解決。筆者所在院校中引入推行了網絡教學綜合平臺，復變函數這一課程主要應用了其中的學銀在線。在該系統(tǒng)中，學生可以根據自身課堂學習情況對系統(tǒng)中的視頻或者其他學習資料有目的的進行學習，做到查漏補缺。除此之外系統(tǒng)中的“抽人”“搶答”等活動能幫助教師及時的了解學生的學習情況。同時網絡教育平臺在課堂中的應用，還可以使學生充分的參與到課堂中來，打破數學教學的沉悶，提高學生的興趣和參與度。平臺中的教學資料對教師有諸多借鑒意義，對教師自身的教學材料，優(yōu)化教學設計等有很大的促進作用。不僅如此，網絡教學平臺的引入使得對過程學習的大量考核成為可能。過程考核比重的增加使得學生更加重視學習的過程。

3 結語

鐘玉泉老師[10]編寫《復變函數論》是非常優(yōu)秀且成熟的教材，是國內大部分高校包括地方師范類院校的首選教材。盡管如此其中依然有很多內容是需要教師花費大量時間去分析的，甚至可能還要對教材內容進行重新編排。另外進行教學設計時除了把控課程重難點之外，更要注重學生分析問題能力的培養(yǎng)，數學的邏輯思維的培養(yǎng)。

得益于筆者所在院校對一流課程建設的培育，通過對該課程的教學實踐，上文所提出的一些措施已經在筆者實際教學中有所嘗試。使用學習通教學超過兩個學期，通過平臺上統(tǒng)計數據顯示出學生的課堂參與度、學生作業(yè)完成情況都比未引入學習通提升很多，期末成績平均分提升10分左右。另外課堂上由于教學平臺的引入教師和學生的互動增多，且課堂上的問題可以及時解決，激發(fā)了學生的學習興趣，師生關系更加和諧。

當然本論文僅立足于特定教材，且僅針對地方師范類院校中基礎較差或者天賦較差的學生，有諸多不足之處。作為一線教師，在之后的教學中應繼續(xù)加強對復變函數課程教學改革的研究，把人才培養(yǎng)作為檢驗一切工作的根本標準。