基于CPA方法的串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定精度試驗(yàn)研究

孫大林，喬貴方,，宋光明，溫秀蘭，宋愛國(guó)

(1.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 210096；2.南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京 211167)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人已大規(guī)模應(yīng)用于裝配、分揀和焊接等制造領(lǐng)域[1-2]。為使工業(yè)機(jī)器人能夠在高端制造領(lǐng)域中得到更為廣泛的應(yīng)用，要求其具有更高的精度性能。通常衡量工業(yè)機(jī)器人的精度性能參數(shù)主要是重復(fù)定位精度和絕對(duì)定位精度?！爸悄軝C(jī)器人”重點(diǎn)專項(xiàng)指出工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用于高端制造領(lǐng)域時(shí)，其絕對(duì)定位精度應(yīng)優(yōu)于0.05 mm，姿態(tài)角應(yīng)優(yōu)于0.1°[3]。絕大多數(shù)的工業(yè)機(jī)器人具有較高的重復(fù)定位精度，而其絕對(duì)定位精度無(wú)法滿足高端制造領(lǐng)域的精度要求。研究表明離線誤差補(bǔ)償技術(shù)能夠較好地提升工業(yè)機(jī)器人的精度性能[4]。

工業(yè)機(jī)器人的典型誤差源主要分為幾何參數(shù)誤差和關(guān)節(jié)剛度誤差等[5]，其中幾何參數(shù)誤差約占總誤差的80%以上。幾何參數(shù)的標(biāo)定方法通常分為誤差模型法和圓點(diǎn)分析法?；谡`差模型法所辨識(shí)出的幾何參數(shù)與實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)無(wú)關(guān)，較大程度地受測(cè)量點(diǎn)空間分布的影響，并且此方法耦合了多種的誤差因素，無(wú)法進(jìn)一步地提升工業(yè)機(jī)器人精度性能[6]。圓點(diǎn)分析法又稱為軸線測(cè)量法，該方法利用機(jī)器人空載時(shí)單軸逐一旋轉(zhuǎn)獲取軸線方向向量，進(jìn)而計(jì)算幾何參數(shù)。CPA方法相對(duì)誤差模型法的優(yōu)勢(shì)在于其標(biāo)定結(jié)果與實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)直接相關(guān)，能夠?qū)缀螀?shù)誤差與其他誤差因素進(jìn)行分離解耦。薩拉戈薩大學(xué)J.Santolaria等人基于CPA方法將KUKA KR-5機(jī)器人的定位精度從0.40 mm提高到0.11 mm[7]；上海大學(xué)張旭等人基于CPA方法將安川MH80機(jī)器人的定位精度從2 mm提高至0.7 mm[8]。薩拉戈薩大學(xué)J.Santolaria等人[9]和天津大學(xué)曲興華教授等人[10]針對(duì)基于CPA的幾何參數(shù)辨識(shí)精度的評(píng)價(jià)方法開展了初步研究，并指出基于CPA方法的幾何參數(shù)標(biāo)定精度受測(cè)量策略的影響較大，但目前尚無(wú)相關(guān)文獻(xiàn)討論CPA方法的測(cè)量策略對(duì)其標(biāo)定精度的影響規(guī)律。

因此，本文針對(duì)基于CPA方法的串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定技術(shù)的精度和測(cè)量策略展開試驗(yàn)研究。首先介紹了工業(yè)機(jī)器人的CPA標(biāo)定方法的基本流程；然后通過實(shí)驗(yàn)分別分析了靶球安裝位置、關(guān)節(jié)測(cè)量步長(zhǎng)、關(guān)節(jié)測(cè)量范圍、關(guān)節(jié)測(cè)量點(diǎn)分布位置、末端負(fù)載以及初始構(gòu)型對(duì)于CPA標(biāo)定精度的影響；最后通過分析優(yōu)化CPA的測(cè)量策略，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該測(cè)量方案的標(biāo)定精度。

1 基于圓點(diǎn)分析法的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)

1.1 工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)概述

圖1為本文所搭建的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)。標(biāo)定系統(tǒng)使用的激光跟蹤儀為L(zhǎng)eica AT930，在60 m范圍內(nèi)的測(cè)量不確定度為±(15 μm+6 μm/m)。配套使用的測(cè)量分析軟件為Spatial Analyzer軟件，該軟件提供了包括擬合幾何體、建立坐標(biāo)系等功能。標(biāo)定系統(tǒng)使用的工業(yè)機(jī)器人為Staubli TX60機(jī)器人，該機(jī)器人的重復(fù)定位精度為±0.02 mm，額定負(fù)載為3 kg，最大負(fù)載為5 kg。激光跟蹤儀的1.5英寸靶球既可以安裝在工業(yè)機(jī)器人的末端法蘭盤上，又可以安裝在機(jī)器人的連桿上。文中所涉及的測(cè)量過程均符合ISO-9283及GB/T-12642-2013 工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)。

圖1 工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)

1.2 基于CPA的軸線矢量測(cè)量及建立坐標(biāo)系

CPA方法是首先將末端空載或近似空載的工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)回到零位，依次單獨(dú)旋轉(zhuǎn)各關(guān)節(jié)并利用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軌跡，然后根據(jù)測(cè)量的旋轉(zhuǎn)軌跡數(shù)據(jù)計(jì)算機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線的空間坐標(biāo)，最后依據(jù)關(guān)節(jié)軸線方向和位置計(jì)算MDH參數(shù)。相比于誤差模型方法，基于CPA方法實(shí)現(xiàn)的工業(yè)機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定更接近于實(shí)際的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，同時(shí)標(biāo)定過程的計(jì)算量相對(duì)較少，無(wú)需工業(yè)機(jī)器人名義參數(shù)值。

圖2 基于CPA的機(jī)器人軸線測(cè)量及坐標(biāo)系定義

以固定角度步長(zhǎng)依次從負(fù)極限位置旋轉(zhuǎn)機(jī)器人關(guān)節(jié)軸1～6到正極限位置，利用激光跟蹤儀測(cè)量靶球的空間位置，利用SA軟件擬合各個(gè)關(guān)節(jié)軸線的空間圓如圖2所示，并計(jì)算關(guān)節(jié)軸線Zi的方向向量，根據(jù)軸線向量分別建立關(guān)節(jié)1至關(guān)節(jié)6的坐標(biāo)系以及機(jī)器人末端工具坐標(biāo)系，分別用Ai(i=1,2,…,6)和AT表示，各坐標(biāo)系的軸線表示為Aim(m=x,y,z)，坐標(biāo)系原點(diǎn)表示為Aio。各個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的定義依據(jù)MDH模型的要求，建立方式如表1所示。

表1 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立過程

1.3 MDH模型參數(shù)辨識(shí)

經(jīng)典DH模型在相鄰關(guān)節(jié)近似平行時(shí)存在奇異性。而MDH模型通過對(duì)近似平行的相鄰關(guān)節(jié)引入繞y軸旋轉(zhuǎn)變換解決了該問題，如圖3所示。MDH模型的齊次轉(zhuǎn)換矩陣如式(1)所示。

(1)

式中：θi為Xi-1與Xi之間在繞Zi-1正向上的夾角；di為Xi-1與Xi之間在Zi-1上的距離；ai為Xi-1與Xi之間在Xi上的距離；αi為Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角；βi為Zi-1到Zi之間繞Yi正向上的夾角。

圖3 MDH模型近似平行關(guān)節(jié)變換

當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)為非近似平行關(guān)節(jié)時(shí)，βi=0，當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)為近似平行關(guān)節(jié)時(shí)，di=0。

基于圖2及表1中所建立的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，計(jì)算被標(biāo)定的機(jī)器人MDH參數(shù)，具體步驟如下：

首先判斷Zi-1與Zi是否近似平行，定義ε如式(2)所示，ε≤0.01則認(rèn)為兩軸近似平行。

ε=|Zi-1-Zi|

(2)

如果不近似平行則β=0，計(jì)算θ為Xi-1與Xi之間在繞Zi-1正向上的夾角：

(3)

計(jì)算a為Z(i-1)o與Zio之間在Xi距離：

(4)

計(jì)算d為Z(i-1)o與Zio之間在Zi-1上的距離：

(5)

計(jì)算α為Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角：

(6)

如果近似平行則d=0，計(jì)算θ為Xi-1與A(i-1)oAio間在繞Zi-1正向上的夾角：

(7)

計(jì)算a為Z(i-1)o與Zio之間的距離：

a=|Oi-Oi-1|

(8)

計(jì)算α為Zi-1到Zi之間繞Xi正向上的夾角。計(jì)算βi為Zi-1到Zi之間繞Yi正向上的夾角：

(9)

(10)

為驗(yàn)證以上方法計(jì)算MDH參數(shù)的精度，本文首先通過SA軟件計(jì)算相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的齊次轉(zhuǎn)換矩陣，與式(1)聯(lián)立后，通過數(shù)值擬合法[11]計(jì)算出MDH參數(shù)，但此方法無(wú)法充分反映機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特性。辨識(shí)結(jié)果表明2種方法得到的MDH參數(shù)基本一致，僅θ3，β2，a4和d3參數(shù)計(jì)算存在誤差，其中Δθ3=Δβ2=0.000 1 rad，Δa4=0.000 1 mm，Δd3=0.005 4 mm。如圖4所示，基于幾何計(jì)算的MDH參數(shù)精度相對(duì)較低，但該參數(shù)充分反映了工業(yè)機(jī)器人的實(shí)際構(gòu)型，符合CPA方法的特點(diǎn)。

圖4 2種建模方法參數(shù)計(jì)算的精度對(duì)比

2 CPA參數(shù)標(biāo)定的誤差源分析

為了分析影響CPA法標(biāo)定精度的主要因素，本文通過控制變量法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分析串聯(lián)機(jī)器人的最優(yōu)CPA測(cè)量策略。定義標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件如下：

(1)機(jī)器人處于零位狀態(tài)，即各軸初始位置均為0°；

(2)靶球安裝放置于機(jī)器人末端；

(3)各關(guān)節(jié)的測(cè)量步長(zhǎng)為2°，即相鄰測(cè)量點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度的差值為2°；

(4)受限于靶球的接收范圍，關(guān)節(jié)1、4、6的最大測(cè)量范圍均為[-180°,180°]，關(guān)節(jié)2、3、5的最大測(cè)量范圍分別為[-5°,127°]、[-5°,142°]、 [-5°,125°]。

為了評(píng)價(jià)基于CPA方法得到的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型精度，本文在機(jī)器人前側(cè)和左側(cè)均任意測(cè)量了50個(gè)點(diǎn)進(jìn)行精度驗(yàn)證，如圖5所示。前側(cè)點(diǎn)集和左側(cè)點(diǎn)集均分布在60×60×60 cm3的立方體區(qū)域內(nèi)，標(biāo)定前機(jī)器人平均定位誤差如圖6所示。

圖5 前方點(diǎn)集與左側(cè)點(diǎn)集對(duì)應(yīng)測(cè)試區(qū)域

圖6 標(biāo)定前機(jī)器人在前側(cè)和左側(cè)區(qū)域的平均定位誤差

2.1 靶球安裝位置對(duì)標(biāo)定精度的影響

激光跟蹤儀的靶球安裝位置分為：安裝于機(jī)器人的末端法蘭；分別安裝于機(jī)器人的連桿上。但由于關(guān)節(jié)1、4、5、6的連桿較短，通常僅關(guān)節(jié)2、3安裝在連桿上，安裝位置如圖1所示。其余測(cè)試條件為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試條件。2種測(cè)試方案的模型精度如圖7所示，從圖7可以看出，2種靶球的安裝方案的模型綜合誤差的差值為0.003 7 mm，對(duì)X、Y、Z3個(gè)軸向誤差的影響也較小。因此，在標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)條件下，靶球安裝位置對(duì)CPA的標(biāo)定精度基本無(wú)影響。

圖7 連桿位置與末端位置的CPA標(biāo)定精度

2.2 關(guān)節(jié)測(cè)量步長(zhǎng)對(duì)標(biāo)定精度的影響

基于CPA方法的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定精度主要受關(guān)節(jié)軸線擬合精度的影響，因此各個(gè)關(guān)節(jié)的測(cè)量步長(zhǎng)會(huì)對(duì)CPA標(biāo)定精度產(chǎn)生影響。本文將各個(gè)關(guān)節(jié)的測(cè)量步長(zhǎng)分別改為1°、2°、5°進(jìn)行CPA標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，其他測(cè)試條件為標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯S著關(guān)節(jié)測(cè)量步長(zhǎng)的增加，基于CPA的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定精度逐漸提升。其主要原因是過多的測(cè)量點(diǎn)會(huì)引入測(cè)量誤差，從而導(dǎo)致機(jī)器人標(biāo)定模型的精度下降。

圖8 關(guān)節(jié)步長(zhǎng)大小對(duì)CPA標(biāo)定精度的影響

2.3 關(guān)節(jié)測(cè)量范圍對(duì)標(biāo)定精度的影響

測(cè)量點(diǎn)的空間圓形軌跡擬合受關(guān)節(jié)測(cè)量范圍的影響，通常測(cè)量范圍達(dá)到360°時(shí)，擬合空間圓和關(guān)節(jié)軸線的精度最好。受激光跟蹤儀的站位影響，僅部分關(guān)節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)全范圍測(cè)量。本文在標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件下，將關(guān)節(jié)4的測(cè)量范圍以30°為步長(zhǎng)，逐漸增加測(cè)量點(diǎn)范圍，分別擬合計(jì)算空間圓和關(guān)節(jié)軸線，并與全范圍所擬合的圓和軸線進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。從圖9可以看出關(guān)節(jié)測(cè)量范圍達(dá)到90°時(shí)，擬合精度已基本不變。

2.4 末端負(fù)載對(duì)標(biāo)定精度的影響

基于CPA的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定要求機(jī)器人末端為空載，但實(shí)際測(cè)量過程中由于末端需安裝測(cè)量設(shè)備，不能實(shí)現(xiàn)理想空載。因此，需討論末端負(fù)載對(duì)CPA標(biāo)定精度的影響。測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件下，靶球及其安裝工具的總質(zhì)量是m=1.054 kg，本文實(shí)施的對(duì)比方案在機(jī)器人末端額外增加1 kg砝碼，分別進(jìn)行CPA參數(shù)標(biāo)定，對(duì)比結(jié)果如圖10所示。從圖10可以看出，末端負(fù)載較低時(shí)CPA的標(biāo)定精度越高，因此，當(dāng)采用CPA標(biāo)定方法時(shí)，應(yīng)盡量降低機(jī)器人末端測(cè)量工具的質(zhì)量。

圖10 負(fù)載大小對(duì)CPA標(biāo)定精度的影響

2.5 關(guān)節(jié)測(cè)量點(diǎn)分布位置對(duì)標(biāo)定精度的影響

因受激光跟蹤儀與機(jī)器人的相對(duì)位置影響，各個(gè)關(guān)節(jié)的測(cè)量范圍會(huì)有較大不同。根據(jù)文獻(xiàn)[12-13]可知，工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)角度誤差具有位置特性。因此，關(guān)節(jié)測(cè)量點(diǎn)的分布位置會(huì)影響CPA的標(biāo)定精度。在標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件下將關(guān)節(jié)2、3的測(cè)量角度均分為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如圖11所示。使用不同區(qū)域的數(shù)據(jù)擬合關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3的軸線向量，并計(jì)算MDH參數(shù)，結(jié)果如圖12所示。從圖12可知，當(dāng)關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3均處于區(qū)域Ⅰ時(shí)，CPA標(biāo)定精度相對(duì)較高。尤其是當(dāng)處于區(qū)域Ⅰ時(shí)，經(jīng)CPA方法標(biāo)定后的機(jī)器人在y軸方向的誤差最小。

圖11 關(guān)節(jié)2，3關(guān)節(jié)測(cè)量角度范圍區(qū)域

圖12 關(guān)節(jié)點(diǎn)測(cè)量范圍對(duì)CPA精度的影響

2.6 機(jī)器人初始構(gòu)型對(duì)標(biāo)定精度的影響

不同廠家生產(chǎn)的機(jī)器人初始構(gòu)型不同，典型的CPA方法要求工業(yè)機(jī)器人在測(cè)量過程中各個(gè)關(guān)節(jié)應(yīng)保持在零位位置。目前市場(chǎng)上的主流零位構(gòu)型如圖13所示：分為關(guān)節(jié)3初始角度為90°，本文稱為90°構(gòu)型，關(guān)節(jié)3初始角度為0°，本文稱為0°構(gòu)型。不同零位構(gòu)型在標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行CPA標(biāo)定結(jié)果如圖14所示，90°構(gòu)型的精度高于0°構(gòu)型。

圖13 兩種典型的初始構(gòu)型

圖14 初始位姿構(gòu)型對(duì)CPA精度的影響

3 基于CPA的最優(yōu)測(cè)試方案討論與實(shí)驗(yàn)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，串聯(lián)型工業(yè)機(jī)器人的末端負(fù)載及連桿自重對(duì)其定位精度影響較大。根據(jù)2.4節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知有效降低關(guān)節(jié)負(fù)載可以提高CPA方法的標(biāo)定精度。文獻(xiàn)[15]指出機(jī)器人關(guān)節(jié)2、3受自重和負(fù)載影響較大，根據(jù)2.1、2.5和2.6節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果綜合分析，CPA法的誤差較大程度地受關(guān)節(jié)2、3負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響。當(dāng)機(jī)器人末端負(fù)載變化前后，不同構(gòu)型狀態(tài)下關(guān)節(jié)2的軌跡誤差如圖15所示。其中0°構(gòu)型的綜合位移為0.114 4 mm，90°構(gòu)型的綜合位移偏差為0.071 mm，3個(gè)軸向上90°構(gòu)型的軸向位移偏差相比于0°構(gòu)型分別減少了0.024 mm，0.058 mm，0.038 mm。以上位移偏差會(huì)導(dǎo)致關(guān)節(jié)2的方向向量計(jì)算存在較大誤差。為方便觀察誤差方向，圖中誤差已放大1 000倍。因此，通過調(diào)節(jié)構(gòu)型降低關(guān)節(jié)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，能夠有效地改善軸向向量的測(cè)量精度。

圖15 不同構(gòu)型下機(jī)器人末端負(fù)載對(duì)CPA的影響

基于以上試驗(yàn)結(jié)果分析，確定CPA法的優(yōu)化測(cè)量策略為：

(1)靶球安裝放置于機(jī)器人末端法蘭，方便測(cè)試安裝；

(2)各軸初始位置均為0°，僅關(guān)節(jié)3的初始位置為110°，盡可能減少關(guān)節(jié)2受到的轉(zhuǎn)矩；

(3)各關(guān)節(jié)的測(cè)量步長(zhǎng)為5°，減少測(cè)量誤差的引入；

(4)機(jī)器人關(guān)節(jié)1～6的測(cè)量范圍分別為(-90°，90°)、(-45°，45°)、(-5°，125°)、(-90°，90°)、(-5°，125°)、(-180°，180°)，在擴(kuò)大關(guān)節(jié)測(cè)量范圍的同時(shí)，降低關(guān)節(jié)2、3所受的轉(zhuǎn)矩。

CPA法與誤差模型法的標(biāo)定精度如圖16所示。經(jīng)CPA法標(biāo)定后的機(jī)器人平均誤差為0.182 7 mm，相比于標(biāo)定前誤差減少了43.99%?；谡`差模型法標(biāo)定后的工業(yè)機(jī)器人的平均誤差僅為0.124 1 mm，標(biāo)定效果比CPA法好。但從圖16可以看出，基于誤差模型法標(biāo)定后的機(jī)器人模型精度在不同區(qū)域內(nèi)的相差較大，前側(cè)點(diǎn)集的平均綜合誤差是左側(cè)點(diǎn)集的4.84倍，而CPA法僅為1.67倍，從而說明經(jīng)CPA法標(biāo)定的機(jī)器人具有較好地全局定位精度。

圖16 不同標(biāo)定方法得到的模型誤差

4 結(jié)論

本文通過實(shí)驗(yàn)研究基于CPA方法的串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定技術(shù)，通過試驗(yàn)研究各軸測(cè)量角度范圍、各軸測(cè)量步長(zhǎng)、初始位姿構(gòu)型、靶球安裝位置等不同測(cè)量策略對(duì)CPA標(biāo)定精度的影響。最終確定CPA方法中的測(cè)量關(guān)節(jié)角度步長(zhǎng)應(yīng)在5°左右，關(guān)節(jié)角度范圍應(yīng)大于90°，應(yīng)盡量選擇能夠減小關(guān)節(jié)2、3關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩的測(cè)量構(gòu)型，實(shí)驗(yàn)研究表明，采用優(yōu)化后的CPA標(biāo)定方法，被標(biāo)定機(jī)器人的誤差減少了43.99%，明顯優(yōu)于其他測(cè)量方案。同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)相比于誤差模型法，通過CPA方法標(biāo)定的機(jī)器人具有更好的全局定位精度。未來研究工作主要是針對(duì)關(guān)節(jié)剛度誤差補(bǔ)償展開研究，降低關(guān)節(jié)剛度誤差對(duì)幾何參數(shù)標(biāo)定及工業(yè)機(jī)器人絕對(duì)定位精度的影響。