基于Matlab的加工鉆頭螺旋槽砂輪截形的干涉誤差分析

贠 良，董黎敏，王澤巍，王 瑞，董 良

（1．天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384；2．天津市宏維刀具有限公司，天津300110）

標(biāo)準(zhǔn)砂輪在工件成型中應(yīng)用廣泛，選定標(biāo)準(zhǔn)砂輪進(jìn)行螺旋槽成型加工時(shí)雖然可以磨削出滿足常規(guī)參數(shù)的螺旋槽，但是有些特定鉆頭螺旋槽無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)砂輪精確磨削，需要根據(jù)已知的螺旋槽進(jìn)行非標(biāo)砂輪的設(shè)計(jì).在砂輪反求設(shè)計(jì)中，通常需確定端截形的擺放位置，砂輪與螺旋槽的相對(duì)位置，而反求中，砂輪位置的不確定性和其他因素，必然導(dǎo)致反求誤差[1-2].干涉誤差分析就是對(duì)反求得到的砂輪回轉(zhuǎn)體與當(dāng)時(shí)螺旋面的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析，從而準(zhǔn)確的判斷砂輪位置參數(shù)設(shè)置的合理性，間接預(yù)測(cè)出所求砂輪磨削出的螺旋槽與已知螺旋槽的差異程度[3-4].

本文首先建立了加工螺旋槽的砂輪數(shù)學(xué)模型，為砂輪截形的反求提供了理論基礎(chǔ)，在此模型的基礎(chǔ)上對(duì)砂輪位置參數(shù)進(jìn)行干涉誤差分析判斷，提出了計(jì)算干涉誤差ΔR的數(shù)學(xué)模型，基于所求砂輪截形上相應(yīng)點(diǎn)對(duì)干涉誤差值數(shù)組ΔR進(jìn)行了計(jì)算.然后在砂輪的計(jì)算實(shí)例中，用Matlab編制截形繪制程序和數(shù)組ΔR的計(jì)算程序，運(yùn)行程序得到砂輪截形離散圖、擬合圖以及ΔR數(shù)組.最后根據(jù)得到的數(shù)組ΔR，可以了解砂輪截形上相應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面的干涉值，并求出最大干涉值.改變砂輪位置參數(shù)值，觀察所求砂輪截形和最大干涉值的變化.

1 加工螺旋槽的砂輪數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)變換

按照磨削加工時(shí)鉆頭、砂輪和機(jī)床的相對(duì)位置關(guān)系建立坐標(biāo)系（如圖1所示）.在機(jī)床上建立坐標(biāo)系O3-x3y3z3，在砂輪上建立坐標(biāo)系O1-x1y1z1，以上兩坐標(biāo)系固定，位置關(guān)系由O1點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系O3-x3y3z3上的坐標(biāo)（a，b，c）和砂輪軸z1與鉆頭軸線的夾角λ確定.在鉆頭上建立坐標(biāo)系O2-x2y2z2.砂輪坐標(biāo)系先繞x1軸旋轉(zhuǎn)λ角，然后平移（a，b，c），得到機(jī)床坐標(biāo)系.由此可反求得到機(jī)床坐標(biāo)系到砂輪坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式為

圖1三個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)位置Fig.1 Relative position of three coordinate systems

1.2 鉆頭螺旋面數(shù)學(xué)模型

鉆頭坐標(biāo)系O2-x2y2z2起始位置與機(jī)床坐標(biāo)系O3-x3y3z3重合，此時(shí)在O2-x2y2平面上建立的端截形，隨著鉆頭坐標(biāo)系或鉆頭做螺旋運(yùn)動(dòng)，即繞鉆頭軸線旋轉(zhuǎn)同時(shí)沿其軸向移動(dòng)，便可得到機(jī)床坐標(biāo)系下的螺旋曲面.則在初始O2-x2y2平面上擺放端截形的位置不同決定了螺旋槽擺放位置的不同，其擺放位置對(duì)應(yīng)的不同方程可以由兩個(gè)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)，如圖2所示.

端截形的方程式為

圖2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換Fig.2 Rotation coordinate transformation

式中u2為參變數(shù).

由式（2）可以得到螺旋曲面的方程[5]

式中v2為角度參數(shù)，表示端截形從開始位置繞z3軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度.順著z3軸看，以順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；ρ為螺旋參數(shù)，ρ=導(dǎo)程T/2π，表示端截形繞著z3軸轉(zhuǎn)過(guò)單位角度時(shí)，沿z3軸線方向移動(dòng)的距離.

1.3 砂輪回轉(zhuǎn)表面數(shù)學(xué)模型

在砂輪坐標(biāo)系O1-x1y1z1上，砂輪回轉(zhuǎn)表面可以由平面O1-x1z1上的母線繞z1軸旋轉(zhuǎn)得到.砂輪軸向截形的方程式表示為

式中，u1為參變數(shù).由式（4）可以得到砂輪坐標(biāo)系下的砂輪回轉(zhuǎn)表面方程式[6]

式中，v1為角度參數(shù)，表示砂輪軸向截形所在的平面繞砂輪軸線旋轉(zhuǎn)的角度.

由砂輪回轉(zhuǎn)曲面方程式（5）得到砂輪坐標(biāo)系下垂直于砂輪軸線的截面方程，表示為

把螺旋面方程式（3）代入機(jī)床坐標(biāo)系到砂輪坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式（1）中得到砂輪坐標(biāo)系下的螺旋面方程式.

2 干涉誤差分析

2.1 干涉分析理論

由上述砂輪截形的反求理論可知，在端截形擺放位置和砂輪與螺旋槽相對(duì)位置確定的前提下，便可反求出砂輪截形，干涉誤差分析就是對(duì)反求得到的砂輪回轉(zhuǎn)體與當(dāng)時(shí)螺旋面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷[7].

為說(shuō)明干涉分析，假想將求出的砂輪實(shí)體模型和已知的螺旋槽，按照反求砂輪時(shí)端截形擺放位置和砂輪與螺旋槽的相對(duì)位置放置，用垂直于砂輪軸線的平面所截砂輪和螺旋槽，判斷平面所截砂輪形成的圓端面與平面所截螺旋槽形成的端截面是否有交集.若在砂輪厚度范圍內(nèi)所有垂直于砂輪軸線所截的兩個(gè)端截面存在交集即為干涉，若所有平面所截的兩個(gè)端截面不存在交集即為不干涉.

由剖平面所截砂輪得到截圓，所截螺旋槽得到一截面，如圖3所示.通過(guò)剖截面所截螺旋槽形成的截面外表曲線上的點(diǎn)到截圓中心的距離，與在此剖面下截圓的半徑求差來(lái)定量分析干涉誤差.如圖4所示，A點(diǎn)為外表曲線上任意一點(diǎn)，L為A到圓心O的距離，圓的半徑為R，ΔR=L-R，若ΔR大于等于零，說(shuō)明A點(diǎn)在圓的外面及邊緣，不干涉；反之，ΔR小于零，說(shuō)明A點(diǎn)在圓的內(nèi)部，說(shuō)明所求的砂輪會(huì)干涉螺旋槽，此時(shí)的ΔR值表明了干涉程度.

圖3螺旋槽和砂輪剖面圖Fig.3 Sectional view of spiral groove and grinding wheel

本文是在垂直于砂輪軸線的剖面中研究的，所以需要求出螺旋槽在此剖面的方程式.根據(jù)在同一剖面內(nèi)砂輪回轉(zhuǎn)曲面和螺旋面的z1相等，由（6）和（7）得到等式

圖4圓與外表曲線的位置關(guān)系Fig.4 Positional relationship between circle and outer surface curve

根據(jù)式（8），給定一個(gè)g2（u1）=Z1，即選定一截面，若給定一個(gè)u2，便會(huì)得到對(duì)應(yīng)的一個(gè)v2.其含義是在確定一垂直于砂輪軸線的剖面上，選取之前代表端截形上的點(diǎn)，通過(guò)式（8）求解出端截形上的點(diǎn)，成為與此點(diǎn)共螺旋線的所截螺旋面剖面上外表曲線上的點(diǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度.將代表端截形點(diǎn)的u2與求出的v2代入到式（7）中，得到砂輪坐標(biāo)系下與端截形上各點(diǎn)共螺旋線的剖面上外表曲線上點(diǎn)的坐標(biāo).在定剖面內(nèi)，由外表曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)得到此點(diǎn)距所截砂輪形成圓中心的距離，然后與圓的半徑相減，得到ΔR的表達(dá)式如下.

2.2 基于所求砂輪截形上相應(yīng)點(diǎn)的干涉分析判斷

基于砂輪截形上的相應(yīng)點(diǎn)來(lái)判斷干涉情況，每取一個(gè)所求砂輪截形上的相應(yīng)點(diǎn)，即得到一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)（x1，z1），其中z1對(duì)應(yīng)于一個(gè)z1剖平面，x1表示z1平面所截砂輪形成截圓圓半徑.將z1=g2（u1）代入（8）中，得到一個(gè)關(guān)于u2與v2的等式，根據(jù)等式由端截形上的m個(gè)u2分別得到相應(yīng)的m個(gè)v2.將這m組u2，v2和x1=g1（u1）代入式（9）中，得到z1剖面下m個(gè)ΔR.由m個(gè)砂輪截形上的相應(yīng)點(diǎn)，得到m×m個(gè)ΔR.判斷這m×m個(gè)ΔR值，若存在負(fù)數(shù)，就說(shuō)明存在干涉.負(fù)數(shù)的大小確定了干涉程度.同樣干涉分析的精確度也和反求時(shí)端截形上取點(diǎn)量有關(guān).

3 基于Matlab的砂輪截形干涉誤差分析求解實(shí)例

以半徑R=5.347 mm，半芯厚r=1.266 mm，α=30°（鉆頭螺旋角）的硬質(zhì)合金鉆頭為例，編制Matlab計(jì)算程序[8].首先定義用到的常量和變量，然后通過(guò)數(shù)組之間的運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)接觸點(diǎn)的運(yùn)算和坐標(biāo)變換；最后通過(guò)Plot命令繪制砂輪軸向截形的散點(diǎn)圖及擬合圖，再通過(guò)所求砂輪截形上的相應(yīng)點(diǎn)得到關(guān)于ΔR的數(shù)組.通過(guò)對(duì)ΔR數(shù)組中的每行元素尋找最小值，若最小值大于等于零，說(shuō)明這行對(duì)應(yīng)的截面不發(fā)生干涉，記為零；若最小值小于零，即發(fā)生干涉，記為最小值，也為這個(gè)截面的最大干涉；得到一個(gè)一維數(shù)組，再尋找最小值，便會(huì)得到整個(gè)ΔR數(shù)組中的最小值，即最大干涉誤差.

3.1 基于Matlab的砂輪軸向截形的繪制

圖5砂輪軸向截形Fig.5 Axial section of grinding wheel

由鉆頭端截形反求砂輪截形時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將端截形型線劃分為四段圓?。簣A弧AB為倒角1，大圓弧段BC，小圓弧段CD，圓弧DE為倒角2，如圖5所示.每段圓弧對(duì)應(yīng)的方程式和圓心角都不同，求得的砂輪軸向截形也不同，故而在Matlab中使用linspace命令，采用ployfit函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，分別在每段圓弧的圓心角范圍內(nèi)均分得到10個(gè)u2，很顯然端截形由40個(gè)點(diǎn)代替進(jìn)行計(jì)算.如圖6所示.

圖6砂輪軸向截形上的40個(gè)相應(yīng)點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合圖Fig.6 Scatter diagram and fitting diagram of 40corresponding points on axial section of grinding wheel

本文以a=80 mm，λ=60°的砂輪截形繪制程序?yàn)槔?，求得砂輪軸向截形上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)組W3，也就是得到了砂輪截形上的40個(gè)相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，見(jiàn)表1.

3.2 所求砂輪截形上相應(yīng)點(diǎn)的ΔR數(shù)組計(jì)算程序

由數(shù)組W3可知其中有3個(gè)坐標(biāo)值相同，去除掉相同點(diǎn)得到數(shù)組W4，即求出輪截形上的37個(gè)相應(yīng)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)于倒角1圓弧上對(duì)應(yīng)10個(gè)離散點(diǎn)，大圓弧上對(duì)應(yīng)9個(gè)離散點(diǎn)，小圓弧上對(duì)應(yīng)9個(gè)離散點(diǎn)，倒角2圓弧上對(duì)應(yīng)9個(gè)離散點(diǎn).由于端截形由四段圓弧組成，所以求解ΔR數(shù)組時(shí)，仍需要每段圓弧分別求解最后整合.針對(duì)倒角1對(duì)應(yīng)圓弧的ΔR數(shù)組DDD求解，由所求砂輪截形上37個(gè)相應(yīng)點(diǎn)集的z1坐標(biāo)，得到砂輪厚度范圍內(nèi)的垂直于砂輪軸線的37個(gè)截面，每取一個(gè)截面，就需要求出與此段圓弧10個(gè)離散點(diǎn)共螺旋線的此截面所截螺旋面外表線上的10個(gè)相應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ΔR，從而求出此段圓弧37個(gè)截面對(duì)應(yīng)的ΔR數(shù)組DDD，其計(jì)算程序如圖7所示.

表1 a=80 mm，λ=60°時(shí)反求得到砂輪截形上40個(gè)相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)Tab.1 a=80 mm andλ=60，the coordinates of 40 corresponding points on the grinding wheel section are obtained by reverse calculation

圖7倒角1圓弧對(duì)應(yīng)的ΔR數(shù)組計(jì)算程序Fig.7ΔR array calculation program corresponding to chamfer 1 arc

由以上程序同理可得到大圓弧段、小圓弧段和倒角2所對(duì)圓弧對(duì)應(yīng)的ΔR數(shù)組DDD1，DDD2和DDD3，最后合并四個(gè)數(shù)組得到總的ΔR數(shù)組P（37，37）.數(shù)組P中37行代表37個(gè)截面，每行的37列元素代表此截面所截螺旋槽外表線上的37個(gè)點(diǎn)的ΔR值.

求出的ΔR數(shù)組P（37，37）有1 369個(gè)元素，通過(guò)判斷每個(gè)元素的大小尋找到每行數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最小值，判斷最小值的正負(fù)，若ΔRmin≥0，說(shuō)明此行元素都大于等于0，肯定不會(huì)有干涉，用0來(lái)表示此行不干涉；若ΔRmin＜0，說(shuō)明此截面會(huì)發(fā)生干涉同時(shí)最小值也是最大干涉程度，用最小值來(lái)表示此行干涉和干涉程度.最終得到數(shù)組H（1，37），經(jīng)過(guò)在數(shù)組H中尋找最小值得到最大干涉值MAX.數(shù)組P的元素搜尋流程圖如圖8所示.

圖8數(shù)組P的元素搜尋流程圖Fig.8 Element searching flow chart of array P

同樣以a=80 mm，λ=60°的砂輪截形反求為例，運(yùn)行以上程序，可以得到數(shù)組H.

H=[-2.06e-15，-1.2e-14，0，0，-1.06e-14，-4.8e-15，0，-3.18e-15，-5.09e-15，0，-1.05e-15，0，0，-4.34e-15，-3.92e-15，-1.45e-14，-3.68e-15，0，0，0，0，0，-5.33e-16，0，-7.41e-16，0，-5.40e-15，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0]，MAX=-1.45e-14

由得到的數(shù)組H，可以發(fā)現(xiàn)反求砂輪截形上37個(gè)相應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的37個(gè)截面上有14個(gè)截面會(huì)產(chǎn)生干涉誤差，其誤差值大約都在-e-14或-e-15左右，誤差值極小，間接地說(shuō)明所求砂輪磨削出的螺旋槽與已知螺旋槽差異極小.同時(shí)由MAX值，可以得到最大干涉值，可以說(shuō)明：干涉誤差小于-1.45e-14 mm（高精度數(shù)控刀具干涉誤差應(yīng)小于-1.5e-10 mm），砂輪位置參數(shù)的選取是合理的，由此反求的砂輪是可以加工出已知的螺旋槽的[9-10].

3.3 改變參數(shù)的砂輪截形和MAX值

1λ=60°時(shí)，a改變，砂輪截形和MAX值的變化

編制完以上程序后，根據(jù)一般砂輪直徑大小，分別取a=40、50、60、70、80、90（單位為mm），通過(guò)更改a的大小得到不同的M文件，運(yùn)行程序可以得到相應(yīng)的砂輪截形和MAX值，并將其圖形放置于同一坐標(biāo)系進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)砂輪直徑的變化對(duì)截形的變化影響較小，最大干涉值變化也不太明顯.a變化對(duì)截形的影響如圖9、10所示.

圖9λ=60°a變化時(shí)，砂輪截形和最大干涉值Fig.9 Whenλ=60 a changes，the grinding wheel profile and maximum interference value

圖10λ=60°，a變化時(shí)，所求砂輪截形和最大干涉值及比較Fig.10λ=60，when a changes，the profile of grinding wheel and the maximum interference value are obtained and compared

2a=80 mm，λ改變，砂輪截形和MAX值的變化

a取80 mm時(shí)，λ在60°附近取值，觀察砂輪截形和MAX值的變化.λ分別取57°、58°、59°、60°、61°、62°，λ變化的砂輪截形和最大干涉值變化如圖11所示.

由圖11可以發(fā)現(xiàn)，在λ=57°、58°、59°、60°、61°時(shí)最大干涉值在-e-14或-e-15范圍內(nèi)，取λ=62°時(shí)截形直接出現(xiàn)畸形.

圖11 a=80mm，λ變化時(shí)，砂輪截形和最大干涉值Fig.11 a=80 mm，whenλchanges，grinding wheel profile and maximum interference value

4 結(jié)論

由非標(biāo)整體硬質(zhì)合金鉆頭，通過(guò)分析砂輪和螺旋槽的基本嚙合條件，建立了砂輪坐標(biāo)系下砂輪截圓和鉆頭端截形的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)剖截面所截螺旋槽形成的截面外表曲線上的點(diǎn)到截圓中心的距離，與在此剖面下截圓的半徑求差來(lái)定量分析干涉誤差，提出了干涉誤差數(shù)組ΔR的計(jì)算方法.在實(shí)例計(jì)算中，使用Matlab軟件編制了繪制砂輪截形和計(jì)算數(shù)組ΔR的程序.運(yùn)行程序得到砂輪的軸向截形以及ΔR數(shù)組.由ΔR數(shù)組得到了最大干涉誤差值為-1.45e-14 mm.根據(jù)高精度數(shù)控刀具干涉誤差應(yīng)小于-1.5e-10 mm，故砂輪位置的選取是合理的.進(jìn)行干涉誤差數(shù)組ΔR的計(jì)算，能定量地研究砂輪位置參數(shù)選取的合理性，同時(shí)也為砂輪反求時(shí)位置的確定提供了一定的支持.