基于數(shù)字濾波器卷積核模型的系統(tǒng)響應誤差分析與響應譜優(yōu)化

徐 飛 ,繆小冬，胡學敏

（1.鹽城工學院 汽車工程學院，鹽城 224051；2.南京工業(yè)大學 機械與動力工程學院，南京 210016）

0 引言

隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設計越來越復雜、使用環(huán)境越來越惡劣，其使用可靠性問題已經(jīng)成為產(chǎn)品設計和制造過程中需要考慮的主要因素。因此，如何評估和提高產(chǎn)品的可靠性成為目前亟需解決的問題。響應譜和疲勞損傷等效技術被廣泛用于制定振動加速試驗譜，進而評估產(chǎn)品在振動環(huán)境下的潛在損傷和疲勞壽命[1]。Kelly首先提出了脈沖響應不變數(shù)字濾波器法來處理沖擊信號[2]。為了減小脈沖響應不變法引入的誤差，Smallwood提出了斜階躍響應不變法來提高沖擊響應譜（Shock Response Spectrum，SRS）的計算精度[3]。Ahlin給出了利用斜階躍響應不變法計算SRS和疲勞損傷譜（Fatigue Damage Spectrum，F(xiàn)DS）的MATLAB程序[4，5]。Anders Brandt對比了脈沖響應不變法、斜階躍響應不變法和Runge-Kutta方法在線性動力學系統(tǒng)中的計算結(jié)果，指出數(shù)字濾波器法在計算速度、解的穩(wěn)定性、動力學范圍以及誤差的可控性方面都明顯優(yōu)于Runge-Kutta[6]。ISO18431-4給出了利用斜階躍響應不變法計算SRS的具體過程，并分析了該方法引入的偏置誤差，指出該誤差只取決于采樣頻率[7]。Magnevall等人給出了利用斜階躍響應不變法計算非線性力學系統(tǒng)強迫響應的方法[8，9]。對于非線性系統(tǒng)辨識，陳友聲指出數(shù)字濾波器法比四階Runge-Kutta法更準確[10]。近年來，利用斜階躍響應不變法計算SRS[11～13]、極值響應譜（Extreme Response Spectrum，ERS）和FDS[14～18]，從而評估振動與沖擊環(huán)境及推導試驗譜等已得到了廣泛的關注和應用[19～23]。然而，現(xiàn)有斜階躍響應不變法引入的誤差依然較大。為進一步減小誤差，本文提出了基于數(shù)字濾波器卷積核模型的系統(tǒng)響應誤差分析方法，在此基礎上對比了脈沖響應不變法、階躍響應不變法、中心階躍響應不變法、斜階躍響應不變法及三點拉格朗日法引入的偏置誤差和相位誤差，并基于三點拉格朗日數(shù)字濾波器對FDS和ERS進行了優(yōu)化分析，最后結(jié)合案例對上述過程進行了闡述。

1 理論建模

1.1 基于數(shù)字濾波器的系統(tǒng)強迫響應計算模型

對于時域信號，線性時不變力學系統(tǒng)的強迫響應等于激勵信號與脈沖響應信號的卷積：

其中，x（t）為響應，f（t）為激勵，h（t）為脈沖響應信號。對于一個簡單模擬系統(tǒng)：

其中s為拉普拉斯變量。該系統(tǒng)的脈沖響應為：

由式(1)和(3)可得，對于離散信號：

其中，T為采樣時間。

由式(4)可知，x（nT+T）可由前一個時間步的響應x（xT）和[nT，nT+T]之間的輸入求得，系統(tǒng)的影響取決于exp（-aT）。對[nT，nT+T]之間的激勵的近似插值方法定義了數(shù)字濾波器方法。本文分析的數(shù)字濾波器方法包括脈沖響應不變法、階躍響應不變法、中心階躍響應不變法、斜階躍響應不變法以及三點拉格朗日法，如圖1所示。

圖1 不同數(shù)字濾波器法在[0,T]對激勵的近似插值

以脈沖響應不變法為例，由式(4)可得：

由式(5)可得：

式(6)可轉(zhuǎn)換成如下數(shù)字濾波器形式：

其中，bi和aj為數(shù)字濾波器系數(shù)，Nb和Na為數(shù)字濾波器階數(shù)，其值取決于所采用的數(shù)字濾波器方法。

在此基礎上考慮一個Q輸入P輸出的多自由度線性力學系統(tǒng)，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為模態(tài)模型：

其中，Nm為模態(tài)階數(shù)，[Rr]P×Q和Pr分別為系統(tǒng)第r階模態(tài)的留數(shù)矩陣和極點，上標?表示復共軛。

由式(6)和式(8)可知，對于q點輸入p點輸出的多自由度系統(tǒng)的每一階模態(tài)，其基于脈沖響應不變法的z域頻響函數(shù)可表示為：

再結(jié)合式(7)可知，利用任何一種數(shù)字濾波器可將多自由度系統(tǒng)在q點輸入下p點的強迫響應表示為：

因此，構(gòu)造出不同數(shù)字濾波器的系數(shù)即可求解多自由度系統(tǒng)在任意激勵下的強迫響應。此外，由于所有采樣系統(tǒng)均含有混疊效應，響應信號混疊后的頻譜Xa（f）等于理論頻譜X（f）與其經(jīng)過頻移后的頻譜的疊加：

其中，Nal表示需要考慮的經(jīng)過頻移后的頻譜的個數(shù)。

1.2 基于卷積核的響應誤差分析

各種數(shù)字濾波器方法對于輸入信號在單位采樣時間內(nèi)的插值近似都可看成是時域激勵信號與各濾波器卷積核的卷積，該卷積對應于頻域的乘積。不同數(shù)字濾波器方法的卷積核及其傅里葉變換如下：

1）脈沖響應不變法：

2）階躍響應不變法：

3）中心階躍響應不變法：

4）斜階躍響應不變法：

5）三點拉格朗日法：

由式(13)、式(15)、式(17)、式(19)及式(21)可知，五種濾波器方法的偏置誤差（%）和相位誤差分別為：

1.3 基于數(shù)字濾波器法的FDS和ERS模型

響應譜常被用于評估振動環(huán)境、對比振動量級以及推導試驗譜。最常見的振動響應譜包括FDS和ERS。FDS本質(zhì)上描述了一系列單自由度系統(tǒng)對同一個加速度激勵的響應，各個單自由度系統(tǒng)的響應被轉(zhuǎn)換成一定時間內(nèi)的疲勞損傷并與其共振頻率形成一一對應關系，如圖2所示。

圖2 FDS計算流程

在輸入加速度x(t)下，一個共振頻率為fn，阻尼比為ζ的單自由度系統(tǒng)的加速度輸出xa可利用1.1節(jié)介紹的數(shù)字濾波器求解：

其中，a和b為所采用的數(shù)字濾波器的系數(shù)，filter為MATLAB函數(shù)。

在時域計算FDS時利用雨流計數(shù)法對各應力水平下的循環(huán)次數(shù)進行計數(shù)，然后結(jié)合S-N曲線和Miner準則計算疲勞損傷量（本文假設應力與加速度成正比）：

其中，ni表示在應力Si下的循環(huán)次數(shù)，p為所考慮的應力量級數(shù)，Ni為應力Si下的疲勞壽命，b為疲勞指數(shù)，D為時域總損傷。

ERS和FDS類似，不同之處在于ERS表示各單自由度系統(tǒng)的最大響應值與其共振頻率之間的對應關系，即：

2 仿真案例

2.1 基于數(shù)字濾波器的響應誤差對比

以一個單自由度系統(tǒng)為例，詳細對比不同數(shù)字濾波器法對混疊誤差的減少作用以及引入的偏置和相位誤差。單自由度系統(tǒng)參數(shù)如下：m=1kg，c=6N·s/m，k=10kN/m，采樣頻率fs=80Hz。對系統(tǒng)施加單位脈沖激勵，對比理論頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）和由采樣導致的混疊后的FRF，如圖3所示。

圖3 理論與濕疊后的FRF

圖4給出了各卷積核的傅里葉變換。從圖4可以看出，脈沖響應不變法的卷積核的傅里葉變換為1，因此不能有效減小混疊效應；階躍響應不變法和中心階躍響應不變法的卷積核的傅里葉變換幅值相等，在不考慮相位的情況下對混疊效應的減小程度是一樣的；三點拉格朗日法能夠最大程度上減小混疊效應。

圖4 不同卷積核的傅里葉變換

圖5對比了理論FRF和采用數(shù)字濾波器方法得到的FRF。從圖5可以看出，這五種數(shù)字濾波器方法得到的FRF都偏離了理論FRF。其中，結(jié)合圖4可以看出，脈沖響應不變法的FRF偏離理論FRF并不是由于引入了偏置誤差，而是混疊引起的。其他方法均引入了偏置誤差，且偏置誤差隨著信號最高頻率和采樣率之比的增大而增大，如圖6所示。從圖6可以看出，當采樣頻率大于信號最高頻率的10倍以上時，數(shù)字濾波器法的偏置誤差均小于5%，其中三點拉格朗日法偏置誤差最小并接近0。

圖5 FRF的理論值和數(shù)字濾波器求解值

圖6 偏置誤差對比

圖7給出了不同數(shù)字濾波器方法引入的相位誤差。從圖7可以看出，脈沖響應不變法，中心階躍響應不變法以及斜階躍響應不變法沒有相位誤差，階躍響應不變法和三點拉格朗日法的相位誤差隨著信號最高頻率和采樣率之比的增大而增大，當采樣頻率大于信號最高頻率的10倍以上時，除階躍響應不變法外其他濾波器法的相位誤差均接近0。以拉格朗日濾波器為例，圖8對比了理論FRF，利用數(shù)字濾波器得到的FRF以及利用卷積核和混疊得到的FRF。從圖8可以看出，利用數(shù)字濾波器得到的FRF以及利用卷積核和混疊得到的FRF完全吻合，表明卷積核可完全解釋數(shù)字濾波器引入的誤差。

圖7 相位誤差對比

圖8 拉格朗日數(shù)字濾波器方法卷積核的驗證

2.2 基于數(shù)字濾波器的響應譜優(yōu)化分析

假設激勵加速度信號為x（t），持續(xù)時間為60s，頻率范圍2Hz～40Hz，功率譜密度為0.01g2/Hz。令質(zhì)量因子Q=10，疲勞指數(shù)b=4，分別基于斜階躍響應不變法和三點拉格朗日法計算位移FDS和ERS。為對比不同采樣頻率下兩種濾波器計算結(jié)果，分別令采樣頻率為激勵信號最大頻率的2、4、6、10倍，結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9 遞增采樣頻率下基于斜階躍響應不變法與拉格朗日法計算的FDS

圖10 遞增采樣頻率下基于斜階躍響應不變法與拉格朗日法計算的ERS

從圖9和圖10可以看出，利用兩種數(shù)字濾波器方法得到的FDS和ERS隨著采樣頻率的增大而趨于收斂；在給定采樣頻率下，共振頻率越大，利用拉格朗日法得到的FDS和ERS越準確；即使采樣頻率達到10倍的激勵信號最大頻率，利用拉格朗日法得到的FDS和ERS依然比斜階躍響應不變法更準確。

利用兩種數(shù)字濾波器法計算得到的FDS和ERS的相對誤差最大值與采樣頻率的關系如圖11所示。從圖11可以看出，隨著采樣頻率的增大，利用兩種濾波器得到的FDS和ERS相對誤差減??；當采樣頻率為激勵最高頻率（40Hz）的10倍時，F(xiàn)DS誤差超過10%，ERS誤差在2%到3%之間；當采樣頻率約為激勵最高頻率的15倍時，F(xiàn)DS誤差小于5%；ERS誤差明顯小于FDS誤差。

圖11 基于斜階躍響應不變法與拉格朗日法計算的FDS和ERS相對誤差

3 結(jié)語

本文詳細對比了脈沖響應不變法、階躍響應不變法、中心階躍響應不變法、斜階躍響應不變法以及三點拉格朗日法引入的偏置誤差及相位誤差，并基于三點拉格朗日數(shù)字濾波器對FDS和ERS進行了優(yōu)化分析。結(jié)論如下：

1）脈沖響應不變法不能有效減小混疊效應，因此不推薦使用。其他四種數(shù)字濾波器方法可有效減小混疊效應，且三點拉格朗日法能夠在最大程度上減小混疊效應；

2）采樣頻率大于激勵信號最高頻率10倍以上時，各濾波器偏置誤差均小于5%，其中三點拉格朗日法偏置誤差最小且接近0；

3）當采樣頻率大于激勵最高頻率的10倍以上時，除階躍響應不變法外其他濾波器法的相位誤差均等于或接近0；

4）即使采樣頻率大于激勵最高頻率10倍以上，相比斜階躍響應不變法，利用三點拉格朗日法計算得到的FDS和ERS依然更加準確，且FDS精度提高10%以上；

綜上所述，三點拉格朗日法引入的誤差最小，應該取代目前常用的斜階躍響應不變法用于線性力學系統(tǒng)的強迫響應和振動響應譜計算，以提高試驗譜推導和振動臺閉環(huán)控制精度。下一步將繼續(xù)研究三點拉格朗日法在超高斯隨機振動和非線性系統(tǒng)的強迫響應方面的應用。