基于聯(lián)合集合卡爾曼濾波的鋰電池SOC 估計

陳 剛，儲建新，潘炫霖，雷健新，鄭 迪

（1.國網(wǎng)浙江海鹽縣供電有限公司，浙江 嘉興 314300；2.中國計量大學，杭州 310018）

0 引言

鋰離子電池具有能量比高、循環(huán)壽命長和自放電率低等特點，除應用于電動汽車、電子產(chǎn)品等領(lǐng)域外，還被逐漸應用于移動儲能領(lǐng)域。相比于傳統(tǒng)柴油發(fā)電機，基于鋰電池的移動儲能裝置具有清潔、噪音小、便于控制和監(jiān)測等優(yōu)勢，有著廣闊的應用前景[1]。

鋰電池SOC（荷電狀態(tài)）是指一定放電倍率下當前剩余容量與額定容量的比值，是鋰電池的重要參數(shù)。SOC 的準確估計是實現(xiàn)鋰電池能量管理、均衡控制等功能的基礎(chǔ)。目前，在鋰電池SOC估計方面已積累了大量研究成果，根據(jù)原理的不同主要可以分為安時積分法[2]、開路電壓法[3]、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的方法[4]、卡爾曼濾波及其改進方法等。其中安時積分法通過對放電電流的積分來估計當前SOC，難以克服累計誤差；開路電壓法需要使鋰電池長時間靜止來獲得準確的開路電壓數(shù)據(jù)，不適合在線使用；人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一種具有自主學習能力的多層反饋系統(tǒng)，將其非線性適應性信息處理能力應用于鋰電池的狀態(tài)估計中，主要包括BP 神經(jīng)網(wǎng)絡[5]等單神經(jīng)網(wǎng)絡估算方法、基于深度學習的估算方法[6]以及與其他算法結(jié)合的復合神經(jīng)網(wǎng)絡方法[7]等，這些方法需要大量實驗數(shù)據(jù)來訓練網(wǎng)絡參數(shù)，在有限的樣本數(shù)量下估計精度可能受到限制；KF（卡爾曼濾波）采用最小二乘法，結(jié)合鋰電池的數(shù)學模型可實現(xiàn)對SOC 的最優(yōu)估計。為克服KF 只能處理線性系統(tǒng)的缺點，文獻[8]通過觀測狀態(tài)的一階泰勒展開將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，從而提出了EKF（擴展卡爾曼濾波）。在此基礎(chǔ)上，在模型改進方面，文獻[9]采用微分階等效電路模型來實施EKF。文獻[10-11]在EKF 計算中分別計及了鋰電池遲滯效應和熱耦合。在算法改進方面，文獻[12-13]分別提出了自適應EKF、有限差分EKF 等方法，從估計初始值、噪聲協(xié)方差修正等方面來改善EKF的估計精度。此外，為計及模型參數(shù)時變特性的影響，文獻[14]設計了雙EKF 算法來同時估計鋰電池SOC 和模型參數(shù)。然而，EKF 的一階泰勒展開忽略了高階項，可能會在高度非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計中引入較大的截斷誤差。同時，EKF 需要計算雅克比矩陣，對計算能力要求較高。為此，文獻[15-16]利用無跡變換處理狀態(tài)變量，通過構(gòu)造Sigma 點的期望和協(xié)方差矩陣來傳遞狀態(tài)變量特征，從而提出了基于UKF（無跡卡爾曼濾波）的SOC 估計方法，具有較高的估計精度和更好的魯棒性。針對噪聲先驗統(tǒng)計特征未知的問題，文獻[17]提出基于自適應UKF 的SOC 估計方法，在估計SOC 過程中自動調(diào)整噪聲協(xié)方差。為提升算法魯棒性，文獻[18]提出模糊UKF 來估計SOC，然而UKF 計算高維協(xié)方差矩陣同樣帶來了較大的計算負擔。EnKF（集合卡爾曼濾波）是由Evensen提出的一種數(shù)據(jù)同化方法[19]，被廣泛應用于天氣預報、圖像重構(gòu)等領(lǐng)域。EnKF 將蒙特卡羅方法應用于KF 框架，用樣本集合的統(tǒng)計特征來近似表征狀態(tài)變量，避免了EKF 中的線性處理，也無需計算復雜的協(xié)方差矩陣，因此具有較好的準確性和較高的計算效率[20]。

本文建立了鋰電池的改進等效電路模型，在Thevenin 模型的基礎(chǔ)上考慮了遲滯效應的作用。采用實驗方法對該模型的參數(shù)進行辨識，并得到開路電壓的表達式。在此基礎(chǔ)上，分析了EnKF的原理并提出了基于聯(lián)合EnKF 的SOC 估計方法，從而避免了充放電過程參數(shù)演變引起的SOC估計誤差。分別在DTS（動態(tài)應力測試）和FUDS（聯(lián)邦城市駕駛序列）工況下與EKF 和UKF 進行對比，證明了該方法具有更好的準確性和更高的計算效率。

1 鋰電池等效模型

1.1 等效電路模型

根據(jù)鋰電池的工作原理，通?？刹捎秒娀瘜W模型、等效電路模型和神經(jīng)網(wǎng)絡模型等來描述其工作狀態(tài)和動態(tài)特性[21]。其中，等效電路模型具有應用方便、易于理解等優(yōu)點，被廣泛用于鋰電池建模和狀態(tài)估計中。根據(jù)結(jié)構(gòu)不同，鋰電池等效電路模型可分為Rint 模型、Thevenin 模型、PNGV 模型和GNL 模型等[22]。本文采用Thevenin模型作為鋰電池的等效電路模型，該模型具有結(jié)構(gòu)相對簡單、參數(shù)易識別、能較好地表征電池動態(tài)特征等優(yōu)點。

Thevenin 模型原理如圖1 所示，其中Uocv為開路電壓，是與當前SOC 和環(huán)境溫度相關(guān)的變量；Ut為端口電壓；I 為電流，電池放電時I>0，反之I<0；R0為內(nèi)阻；R1和C1分別為表征電池極化效應的電阻和電容；U1為極化電容兩端電壓，以圖1 中所示電流方向為正方向。

圖1 Thevenin 原理圖

根據(jù)鋰電池Thevenin 模型原理圖，可得其電路方程為：

根據(jù)鋰電池SOC 的定義，其可表示為：

式中：CN為鋰電池額定容量；η 為庫倫效率。

式（1）和式（2）中的微分項為連續(xù)變量，將其離散化為：

式中：k 為時刻；Ts為采樣周期。

1.2 等效電路模型參數(shù)辨識

為實現(xiàn)鋰電池SOC 的在線估計，需掌握鋰電池等效電路模型的參數(shù)，需要辨識的參數(shù)內(nèi)阻包括R0，R1和C1。本文選擇的實驗對象為單體磷酸鐵鋰電池，其額定容量為1 130 mAh，額定電壓為3.5 V。

為辨識等效電路模型的參數(shù)，采取以下實驗步驟：首先將SOC 為100%的鋰電池靜置一段時間以達到穩(wěn)定狀態(tài)，其次以1 C 電流放電12 min，再靜置一段時間。實驗過程中鋰電池電流和端電壓波形如圖2 所示。

圖2 鋰電池實驗過程電流、電壓波形

該實驗通過電壓的動態(tài)變化來反應等效電路參數(shù)的響應。圖2（b）中，Ua～Ub段和Uc～Ud段的瞬間變化反映的是電流突變時內(nèi)阻R0上的電壓變化，而Ud～Ue段則可視為等效電路的零輸入響應，反映了極化電容對電壓變化的阻礙作用。由此可列出3 個待辨識參數(shù)的表達式：

1.3 開路電壓與SOC 的關(guān)系

采用以下方法對鋰電池進行實驗，來獲得其開路電壓與SOC 的關(guān)系。將鋰電池充滿至100%的SOC，靜置一段時間后采用C/25 的小電流放電；放電至最小截止電壓2.0 V 后靜置一段時間并采用相同倍率小電流開始充電，直到達到最大截止電壓3.6 V。對離散的采樣點插值，得到如圖3 所示的充、放電的實驗曲線，進一步對充、放電曲線取平均值，得到開路電壓Uocv-SOC 的平均曲線。

圖3 開路電壓與SOC 的關(guān)系曲線

2 集合卡爾曼濾波

與其他卡爾曼濾波方法類似，EnKF 是一種基于采樣的非線性濾波方法，其將蒙特卡羅方法運用于KF 方法中，不必計算高維的協(xié)方差矩陣和雅克比矩陣，從而可有效提升計算效率，具有更好的魯棒性，在狀態(tài)估計問題上具有良好的應用前景。

對于一個非線性系統(tǒng)，其第k 時刻狀態(tài)方程和測量方程可分別表示為：

式中：x，u，y 分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量；F 和H 分別為系統(tǒng)狀態(tài)方程和測量方程；w 和v 分別為系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲，w～N（0，Q），v～N（0，R），Q 和R 分別w 和v 的協(xié)方差矩陣。

將EnKF 用于該系統(tǒng)的狀態(tài)估計時，先從狀態(tài)變量xk的先驗分布中抽取N 個樣本，構(gòu)成狀態(tài)變量集合再在每個時刻重復以下2 步：

（1）預測。根據(jù)上一時刻后驗狀態(tài)變量集合和過程噪聲集合預測當前時刻先驗狀態(tài)估計，即有：

式中：上標^ 表示估計值；p 表示k 時刻的先驗狀態(tài)估計；c 表示k-1 時刻后驗狀態(tài)估計；Wk-1=為過程噪聲集合。

（2）更新。根據(jù)當前時刻先驗狀態(tài)估計計算系統(tǒng)測量估計：

根據(jù)測量估計與實際測量的偏差來計算濾波器增益：

利用測量偏差和濾波器增益修正狀態(tài)估計值，得到當前時刻的后驗狀態(tài)估計：

式中：M 為m×N 的全1 矩陣，m 為變量y 的維度。后驗狀態(tài)估計集合的平均值即是當前時刻對系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計。

3 基于聯(lián)合EnKF 的鋰電池SOC 估計

根據(jù)第1 節(jié)中建立的鋰電池等效電路模型，以SOC 和極化電容兩端電壓U1作為狀態(tài)變量，同時為表征充、放電過程中等效電路模型參數(shù)的變化，將R0，R1，C1作為補充的狀態(tài)變量，用隨機噪聲來表征參數(shù)的動態(tài)演變，在遞推過程中與狀態(tài)變量進行聯(lián)合估計，則系統(tǒng)狀態(tài)變量和參數(shù)變量可分別表示為：

測量變量y 為鋰電池端電壓Ut，輸入變量u為鋰電池電流I，可提出基于聯(lián)合EnKF 的鋰電池SOC 估計方法，對鋰電池SOC 和等效模型參數(shù)聯(lián)合估計，其算法流程如圖4 所示。具體步驟為：

圖4 基于聯(lián)合EnKF 的鋰電池SOC 估計方法流程

（1）初始化狀態(tài)變量x 和參數(shù)變量θ，以充滿狀態(tài)[1，0]T作為狀態(tài)變量x 的初始值，以辨識出的模型參數(shù)作為參數(shù)變量θ 的初始值。

（2）從狀態(tài)變量x 和參數(shù)變量θ 的先驗分布中分別抽取N 個樣本，分別構(gòu)成集合

（3）在第k 時刻估計當前時刻的狀態(tài)變量和參數(shù)變量：

（4）在第k 時刻估計當前時刻的系統(tǒng)測量變量：

（5）分別計算狀態(tài)變量和參數(shù)變量的濾波器增益：

（6）更新第k 時刻的狀態(tài)變量和參數(shù)變量：

4 實驗驗證與分析

本節(jié)分別針對DTS 和FUDS 工況下的鋰電池SOC 進行估計，并與EKF 和UKF 方法進行對比，從而驗證所提出的聯(lián)合EnKF 方法的有效性。用于實驗驗證與分析的數(shù)據(jù)來自馬里蘭大學CALCE的鋰電池開源數(shù)據(jù)集，其采用Arbin BT2000 測試儀及其配套充放電控制軟件對鋰電池進行充放電實驗[3]。數(shù)據(jù)分析和程序設計平臺為MATLAB 2019b，程序運行環(huán)境為Intel i7 9700K@3.6 GHz。

4.1 DTS 工況實驗

DTS 工況下設定溫度為25 ℃，電池電流波形如圖5 所示。設定聯(lián)合EnKF 集合樣本數(shù)為100，在該工況下聯(lián)合EnKF 方法對SOC 的估計結(jié)果如圖6 所示。由圖6 可知，在放電過程中模型內(nèi)阻R0、極化電阻R1及極化電容C1均隨SOC 而變化，但SOC 估計值曲線與實驗測量曲線基本吻合，均方根誤差0.58%，平均絕對誤差0.48%，最大絕對誤差1.15%，具有較高地估計精度。

圖5 DTS 工況下鋰電池電流波形

圖6 DTS 工況下聯(lián)合EnKF 的估計效果

分別采用UKF 和EKF 與聯(lián)合EnKF 對DTS工況下鋰電池SOC 的估計效果進行對比，對比結(jié)果如圖7 和表1 所示，其中平均運行時間是指全部迭代過程中每次迭代計算的平均時長。由表1 可知，在各項誤差指標上聯(lián)合EnKF 的精度相比于其他2 種方法均有所提高，同時聯(lián)合EnKF的運行時長小于EKF 和UKF，表明該方法計算效率更高。

表1 不同估計方法的效果比較

圖7 DTS 工況下3 種方法估計效果對比

4.2 FUDS 工況實驗

采用不同溫度下FUDS 工況進一步檢驗所提聯(lián)合EnKF 方法的有效性。如圖8 所示為FUDS工況下的鋰電池電流波形，該工況相對于DTS 工況電流變化更大且更隨機。如圖9 所示為不同溫度下采用聯(lián)合EnKF 對鋰電池SOC 的估計結(jié)果。由圖9 可知，不同溫度下聯(lián)合EnKF 對鋰電池SOC 的估計誤差均較為穩(wěn)定，10 ℃，25 ℃，40 ℃下的均方根誤差分別為0.45%，0.57%，0.54%，表明在不同溫度下所提聯(lián)合EnKF 均有較好的適應性。

圖8 FUDS 工況下鋰電池電流波形

圖9 不同溫度FUDS 工況下聯(lián)合EnKF 的估計效果

4.3 集合樣本數(shù)量影響分析

集合樣本數(shù)量是聯(lián)合EnKF 算法的重要參數(shù)，當集合樣本數(shù)量太小時，可能使其統(tǒng)計特性大幅偏離狀態(tài)變量，從而導致濾波器不收斂。提高集合樣本數(shù)量時可降低隨機抽樣引起的偏差，提高SOC 估計準確性，但也將降低計算效率。為分析集合樣本數(shù)量與算法準確性和效率之間的關(guān)系，在DTS 工況下分別設定集合樣本數(shù)量為100，200，300，500，1 000，1 500 和2 000，在每個集合樣本數(shù)量下運行20 次程序，計算程序每次運行的平均運行時間和RMS（均方根誤差），結(jié)果如圖10 所示。

由圖10 可知，在樣本數(shù)較?。∟<500）時，增大樣本數(shù)可取得較好的精度提升效果，同時運行時間變化不大；在樣本數(shù)較大（N>1000）時繼續(xù)增大估計精度變化較小，而運行時間則顯著增加。由此，需在權(quán)衡準確性和計算效率的條件下選擇集合樣本數(shù)量。

圖10 不同集合樣本數(shù)下聯(lián)合EnKF 對SOC 估計的均方根誤差和算法平均運行時間比較

5 結(jié)語

針對現(xiàn)有KF 方法估計SOC 時需要計算高維雅克比矩陣或協(xié)方差矩陣，導致計算效率和估計準確性不足的問題，提出了基于聯(lián)合EnKF 的鋰電池SOC 估計方法。該方法以鋰電池等效電路模型為基礎(chǔ)，充分考慮了鋰電池充放電過程中模型參數(shù)的變化，以集合的統(tǒng)計特征來表征狀態(tài)變量，避免了高維雅克比矩陣或協(xié)方差矩陣逆矩陣的求解，具有較高的計算效率和精度。實驗結(jié)果表明，該方法在DTS 和FUDS 工況下均具有較高的估計精度，同時相比于EKF 和UKF 的SOC 估計方法，該方法可有效提高計算效率，具有較好的應用前景。