基于狀態(tài)空間的輪系分析統(tǒng)一數(shù)字模型

邱 俊，王 德 倫，馬 雅 麗

( 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

在齒輪箱的設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)者根據(jù)給定的工況條件進(jìn)行齒輪傳動(dòng)方案的設(shè)計(jì)，通常情況下會(huì)得到很多輪系方案．為了確定傳動(dòng)輪系的最佳設(shè)計(jì)方案，需要對(duì)輪系進(jìn)行分析，但對(duì)于構(gòu)型復(fù)雜的輪系，采用一般傳動(dòng)鏈的傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法[1-3]難以高效率地完成大量設(shè)計(jì)方案分析比較．究其原因是未針對(duì)任意輪系建立統(tǒng)一的數(shù)字模型，計(jì)算機(jī)無法實(shí)現(xiàn)對(duì)輪系方案的快速識(shí)別與分析．

為此，國內(nèi)外學(xué)者采用多種方法針對(duì)復(fù)雜輪系分析進(jìn)行了研究．基于輪系單元的輪系運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法[1-6]，將周轉(zhuǎn)輪系分解成若干個(gè)基本周轉(zhuǎn)輪系或輪系單元組的輪系單元進(jìn)行分析，但缺少對(duì)基本單元的定義和基本單元內(nèi)部聯(lián)系的討論．利用圖論畫出表示輪系構(gòu)件連接關(guān)系的拓?fù)鋱D[7-9]或者離散圖[10]表示輪系構(gòu)件連接關(guān)系，建立輪系分析模型可以對(duì)輪系運(yùn)動(dòng)傳遞有直觀的認(rèn)識(shí)．而王德倫等[11]借鑒機(jī)械設(shè)計(jì)的矩陣分解方法以及控制理論中的狀態(tài)空間概念建立了機(jī)械運(yùn)動(dòng)變換狀態(tài)空間表示方法，文獻(xiàn)[12-15]在其基礎(chǔ)上對(duì)并聯(lián)、混聯(lián)以及多自由度機(jī)構(gòu)建模進(jìn)行了研究，但是復(fù)雜輪系結(jié)構(gòu)復(fù)雜，易形成多環(huán)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞路徑，在分析上具有特殊性．本文針對(duì)復(fù)雜輪系運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力、結(jié)構(gòu)等多元特征，借鑒基于機(jī)構(gòu)變換單元的狀態(tài)空間方法建立輪系統(tǒng)一數(shù)字模型，通過編程實(shí)現(xiàn)對(duì)任意復(fù)雜輪系的數(shù)字化識(shí)別與分析．

1 輪系基本單元狀態(tài)變換方程

1.1 輪系基本單元

齒輪傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)了由輸入軸到輸出軸的運(yùn)動(dòng)特征、動(dòng)力特征、結(jié)構(gòu)特征(空間方位)的傳遞與改變．任意一個(gè)復(fù)雜的輪系傳動(dòng)都可以看成內(nèi)嚙合和外嚙合輪系傳動(dòng)單元的組合，因此有：

定義1將一對(duì)外嚙合或內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)定義為輪系基本單元．

組成輪系基本單元的構(gòu)件稱為基本構(gòu)件，為統(tǒng)一表達(dá)和利于數(shù)字化編程，用數(shù)字編號(hào)代表基本構(gòu)件，如圖1所示．若機(jī)架與非機(jī)架基本構(gòu)件相固結(jié)，則形成單自由度基本單元；若機(jī)架為單獨(dú)的基本構(gòu)件，則形成兩自由度基本單元．

輪系中基本構(gòu)件的狀態(tài)特征可以由運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力、結(jié)構(gòu)特征構(gòu)成[11]，而輪系基本單元承擔(dān)著輪系中最基本的功能——將輸入構(gòu)件狀態(tài)特征轉(zhuǎn)換為輸出構(gòu)件的狀態(tài)特征．本文提出利用輸入、輸出特征矢量與特征矢量變換方程來描述輪系基本單元的功能與性質(zhì)，采用向量-矩陣-方程的表達(dá)策略實(shí)現(xiàn)基本單元輸入、輸出特征狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系，探討輸入、輸出構(gòu)件變換、機(jī)架變換等基本單元變換規(guī)律，建立基本單元之間典型的鄰接關(guān)系，通過計(jì)算機(jī)編程，形成任意復(fù)雜輪系轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、功率流等數(shù)字化分析方法．

1 太陽輪；2 行星輪；3 內(nèi)齒圈；4 行星架；5 機(jī)架

1.2 輪系坐標(biāo)系

為清楚地表達(dá)輪系中基本單元、基本構(gòu)件之間空間位置的關(guān)系，建立輪系基本單元坐標(biāo)系(O-XYZ)、輪系基本構(gòu)件坐標(biāo)系(o-xyz)，如圖2所示．

圖2 輪系坐標(biāo)系

(1)輪系基本單元坐標(biāo)系(O-XYZ)

坐標(biāo)系固定在基本單元機(jī)架上，以基本單元回轉(zhuǎn)中心(太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架回轉(zhuǎn)中心、行星輪公轉(zhuǎn)回轉(zhuǎn)中心)為原點(diǎn)，以回轉(zhuǎn)中心軸向?yàn)閆軸方向，X軸方向垂直于機(jī)架平面，Y軸方向垂直于XOZ平面．

(2)輪系基本構(gòu)件坐標(biāo)系(o-xyz)

坐標(biāo)系固定在基本構(gòu)件上，以基本構(gòu)件回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，以回轉(zhuǎn)中心軸向?yàn)閦軸方向，x軸方向垂直于構(gòu)件平面，y軸方向垂直于xoz平面．

通過坐標(biāo)變換就可以實(shí)現(xiàn)任意輪系基本構(gòu)件的空間方位矢量在整體坐標(biāo)系下的變換，并可以寫出基本構(gòu)件特征矢量在整體坐標(biāo)系下的確切表達(dá)．

1.3 狀態(tài)變換方程

輸入、輸出構(gòu)件的狀態(tài)特征可以由表達(dá)基本構(gòu)件運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力和結(jié)構(gòu)特征(方位)狀態(tài)的最小數(shù)目的變量有序集合進(jìn)行表示，通常用輪系中構(gòu)件的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及構(gòu)件方位矢量來描述，寫成多維矢量的形式，輸入狀態(tài)特征矢量Ri和輸出狀態(tài)特征矢量Ro分別表示為

(1)

(2)

式中：ωi、ωo分別為輸入、輸出構(gòu)件的轉(zhuǎn)速矢量；Mi、Mo分別為輸入、輸出構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩矢量；ri、ro分別為輸入、輸出構(gòu)件的方位矢量．

通過輪系基本單元可以建立輸入、輸出構(gòu)件狀態(tài)特征矢量的變換關(guān)系，可以寫成矩陣形式，稱為特征矢量變換矩陣A．輪系基本單元輸入、輸出狀態(tài)特征矢量變換關(guān)系可以表示為

Ro=A·Ri

(3)

其中A為n×n矩陣，n為Ri、Ro的維數(shù)．

定義2式Ro=A·Ri表達(dá)了輪系基本單元的輸入、輸出狀態(tài)特征矢量的變換關(guān)系，稱為基本單元特征矢量狀態(tài)變換方程，簡稱狀態(tài)變換方程．

1.4 輪系基本單元狀態(tài)變換矩陣

對(duì)于單自由度輪系單元，一個(gè)輸入特征矢量，一個(gè)輸出特征矢量，輪系狀態(tài)變換方程如式(3)所示．對(duì)于兩自由度基本單元，兩個(gè)輸入特征矢量，一個(gè)輸出特征矢量，輪系狀態(tài)變換方程表示為

Ro=A1·Ri1⊕A2·Ri2

(4)

其中矩陣Aj(j=1、2)描述特征矢量中各變量之間的關(guān)系，稱為特征矢量變換矩陣；符號(hào)⊕為狀態(tài)特征矢量相加符號(hào)．

單自由度輪系單元轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、方位由輸入構(gòu)件到輸出構(gòu)件的狀態(tài)變換方程基本形式為

(5)

兩自由度輪系單元具有兩個(gè)輸入構(gòu)件，一個(gè)輸出構(gòu)件，因此兩自由度輪系單元狀態(tài)矢量變換方程的基本形式為

(6)

式(5)、(6)中λj1、λj2、λj3(j=1、2)分別為特征矢量變換矩陣Aj(j=1、2)中轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、方位矢量的變換子矩陣．在基本單元坐標(biāo)系下，任意構(gòu)件特征矢量中的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、方位矢量可以分解為坐標(biāo)上的投影：

狀態(tài)特征矢量相加運(yùn)算的條件：兩狀態(tài)特征矢量相加需要滿足空間方位矢量相同．兩狀態(tài)特征矢量相加是對(duì)于同一單元中同一構(gòu)件而言的，相加的結(jié)果矢量中的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩分別為兩狀態(tài)特征矢量中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩對(duì)應(yīng)分量之和，結(jié)果矢量的空間方位坐標(biāo)不變．

ω3=ω2+ω1

M3=M2+M1

r3=r2=r1

2 輪系基本單元的變換

齒輪基本單元作為一般機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈，可以進(jìn)行輸入、輸出變換(圖3)和機(jī)架變換(圖4)，而對(duì)應(yīng)的輸入構(gòu)件、輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力、結(jié)構(gòu)特征狀態(tài)隨之改變．

任何復(fù)雜輪系都是由內(nèi)嚙合和外嚙合輪系基本單元通過輸入、輸出變換和機(jī)架變換后，按照一定的規(guī)律互相鄰接形成的．圖3(a)所示兩自由度輪系單元的狀態(tài)變換方程為

R2=A1·R1⊕A2·R4

(7)

根據(jù)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、方位矢量的變換規(guī)律可推導(dǎo)Aj(j=1、2)是可逆的，因此可以得到圖3(b)所示兩自由度輪系單元的狀態(tài)變換方程為

(8)

將基本構(gòu)件4-行星架與5-機(jī)架固定，可以得到如圖4(b)所示單自由度輪系單元的狀態(tài)變換方程為

(9)

其中F為表示基本構(gòu)件與機(jī)架固定的位運(yùn)算，將R4中的轉(zhuǎn)速分量ω置零，因轉(zhuǎn)矩是通過轉(zhuǎn)速比表達(dá)，進(jìn)一步可以得到

(10)

式(7)～(10)實(shí)現(xiàn)了輪系基本單元輸入、輸出變換，機(jī)架變換的數(shù)學(xué)表達(dá)，輪系基本單元特征矢量通過一定的運(yùn)算規(guī)律可以得到任意的輪系單元，這些運(yùn)算規(guī)律將用于輪系分析中，實(shí)現(xiàn)輪系單元的數(shù)字化識(shí)別．

3 輪系單元間的鄰接數(shù)學(xué)模型

3.1 輪系單元間的鄰接關(guān)系

任何復(fù)雜輪系都是由輪系單元按照一定規(guī)律鄰接構(gòu)成的，為了方便表述，用帶箭頭的線段和框圖來表示輪系單元．經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)任意兩個(gè)輪系單元存在串聯(lián)鄰接與并聯(lián)鄰接兩種典型鄰接關(guān)系．圖5(a)所示輪系單元串聯(lián)鄰接關(guān)系，其特點(diǎn)為前置單元的輸出構(gòu)件與后置單元的輸入構(gòu)件合并，狀態(tài)特征矢量通過合并的基本構(gòu)件進(jìn)行傳遞；圖5(b)所示輪系單元并聯(lián)鄰接關(guān)系，其特點(diǎn)為兩個(gè)輪系單元的輸入或輸出基本構(gòu)件合并，狀態(tài)特征矢量通過合并的基本構(gòu)件進(jìn)行傳遞．

輪系單元鄰接會(huì)導(dǎo)致基本構(gòu)件的合并，引起輪系傳動(dòng)鏈自由度的變化．若兩個(gè)輪系單元鄰接，其自由度滿足以下關(guān)系：

D=D1+D2-N

(11)

其中D為兩個(gè)輪系單元鄰接組成輪系的自由度；D1和D2分別為兩個(gè)輪系單元的自由度；N為合并構(gòu)件數(shù)目．

考慮輪系單元自由度的約束，兩個(gè)輪系單元鄰接關(guān)系如表1所示．

表1 兩個(gè)輪系單元鄰接關(guān)系

3.2 輪系單元間鄰接關(guān)系矩陣

兩個(gè)輪系單元鄰接，基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、方位矢量需要滿足鄰接規(guī)律．兩輪系單元串聯(lián)鄰接時(shí)，討論的是前置單元輸出構(gòu)件狀態(tài)特征矢量Ro1與后置單元輸入構(gòu)件的狀態(tài)特征矢量Ri2之間的關(guān)系；兩輪系單元并聯(lián)鄰接時(shí)，討論的是兩并列單元輸入(或輸出)Ri1與Ri2狀態(tài)特征矢量與合并的基本構(gòu)件狀態(tài)特征矢量Ri之間的關(guān)系．

(1)轉(zhuǎn)速矢量

兩輪系單元串聯(lián)或者并聯(lián)鄰接，合并的兩個(gè)基本構(gòu)件轉(zhuǎn)速矢量必須相同，即兩個(gè)基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)速大小和方向相同．

(2)轉(zhuǎn)矩矢量

兩輪系單元串聯(lián)或者并聯(lián)鄰接，合并的兩個(gè)基本構(gòu)件轉(zhuǎn)矩滿足

Mik=t·M

(12)

式中：Mik為合并構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩矢量；M為輸入或輸出的轉(zhuǎn)矩矢量；t為轉(zhuǎn)矩分配系數(shù)矩陣，是對(duì)角陣，根據(jù)同一構(gòu)件轉(zhuǎn)矩平衡可知，矩陣參數(shù)tk滿足

對(duì)于兩自由度輪系單元求解轉(zhuǎn)矩時(shí)需要利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理(即反轉(zhuǎn)法)附加補(bǔ)充方程．

(3)方位矢量

兩輪系單元串聯(lián)或者并聯(lián)鄰接，合并的兩個(gè)基本構(gòu)件方位矢量必須相同．

根據(jù)以上基本構(gòu)件鄰接規(guī)律，可以得到兩輪系單元串聯(lián)鄰接(圖5(a))，前置單元輸出矢量與后置單元輸入矢量之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

Ri2=C·Ro1

(13)

式中：C為輪系單元串聯(lián)鄰接矩陣；Ro1為前置單元輸出矢量；Ri2為后置單元輸入矢量．

其中E為單位陣．

兩輪系單元并聯(lián)鄰接(圖5(b))，總輸入、輸出矢量與兩輪系單元輸入、輸出矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

Ri1=G1·Ri，Ri2=G2·Ri

(14)

式中：G1、G2為輪系單元并聯(lián)鄰接矩陣；Ri為總輸入矢量；Ri1、Ri2為兩輪系單元輸入矢量．

3.3 復(fù)雜輪系拆分

基于輪系基本單元與輪系狀態(tài)空間的輪系分析方法，需要將原輪系拆分成輪系基本單元的形式．輪系拆分成基本單元的規(guī)則：輪系中一對(duì)齒輪嚙合對(duì)應(yīng)一個(gè)輪系基本單元．例如對(duì)圖6所示差動(dòng)輪系進(jìn)行拆分，可以得到圖7由4個(gè)輪系基本單元組成的輪系．

為清楚地表達(dá)拆分成基本單元的輪系，采用狀態(tài)矢量變換框圖(圖8)的形式進(jìn)行表達(dá)．

在狀態(tài)矢量變換框圖中各符號(hào)意義為：Ri、Ro分別代表輪系的輸入、輸出的狀態(tài)矢量；Rmn代表單元的狀態(tài)矢量，U-m表示輪系單元，其中m為單元編號(hào)，n為基本構(gòu)件編號(hào)；Cab表示輪系單元串聯(lián)鄰接，a為前置單元編號(hào)，b為后置單元編號(hào)；Gq表示輪系單元并聯(lián)鄰接矩陣，q為并聯(lián)鄰接序號(hào)．

圖6 差動(dòng)輪系

圖7 差動(dòng)輪系的拆分

圖8 差動(dòng)輪系矢量變換框圖

4 輪系狀態(tài)空間及其性質(zhì)

定義3所有輪系單元對(duì)應(yīng)的狀態(tài)特征矢量的集合稱為輪系特征矢量狀態(tài)空間，簡稱輪系狀態(tài)空間．

在輪系狀態(tài)空間中，一個(gè)輪系單元總可以找到成對(duì)的狀態(tài)特征矢量(單自由度輪系單元)或者3個(gè)狀態(tài)特征矢量(兩自由度輪系單元)與之對(duì)應(yīng)，分別稱為兩對(duì)偶矢量和三對(duì)偶矢量，統(tǒng)稱為對(duì)偶矢量．輪系單元、對(duì)偶矢量、變換矩陣三者是一一對(duì)應(yīng)的．式(1)、(2)中輸入、輸出特征矢量是任意的，滿足加法和乘法矢量運(yùn)算，這是形成矢量空間的基本條件，但狀態(tài)特征矢量描述的是基本構(gòu)件的物理狀態(tài)，因此形成的矢量空間具有特殊性．狀態(tài)特征矢量在輪系狀態(tài)空間中總是以輸入、輸出對(duì)偶的形式出現(xiàn)，兩對(duì)偶矢量可以表示為RiRo，三對(duì)偶矢量可以表示為Ri1Ri2Ro．

設(shè)BiBo、CiCo、DiDo、EiEo、BiCiDo屬于輪系狀態(tài)空間Ω，則有如下性質(zhì)：

(1)加法

BiBo⊕CiCo=BiCiDo

其中Bo、Co、Do滿足狀態(tài)特征矢量相加運(yùn)算條件，該性質(zhì)為兩自由度輪系單元的狀態(tài)特征矢量之間的運(yùn)算規(guī)律．

(2)加法交換律

BiBo⊕CiCo=CiCo⊕BiBo

該性質(zhì)說明兩自由度輪系單元的兩個(gè)輸入狀態(tài)特征矢量的地位是同等的．

(3)乘法

BiBo·CiCo=BiCo

該性質(zhì)表明了兩個(gè)串聯(lián)輪系單元的狀態(tài)特征矢量之間的運(yùn)算規(guī)律．

(4)乘法結(jié)合律

BiBo·CiCo·DiDo=BiBo·(CiCo·DiDo)

(5)乘法交換律

BiBo·CiCo=CiCo·BiBo

性質(zhì)(4)和(5)表明兩個(gè)輪系單元串聯(lián)，前后位置基本單元的地位一致．

(6)乘法分配率

BiBo·(CiCo⊕DiDo)=BiBo·CiCo⊕BiBo·DiDo

該性質(zhì)表明了串并聯(lián)復(fù)雜輪系的狀態(tài)特征矢量的運(yùn)算規(guī)律．

(7)數(shù)乘

α是常量，α·BiBo∈Ω．

該性質(zhì)表明使對(duì)偶矢量的數(shù)值擴(kuò)大或縮小，并不改變對(duì)偶矢量的性質(zhì)，對(duì)偶矢量代表輪系單元的固有屬性．

(8)可逆

該性質(zhì)表明輸入、輸出狀態(tài)特征矢量的可逆性，說明了輪系狀態(tài)特征的可逆性．

以上運(yùn)算性質(zhì)說明輪系狀態(tài)特征矢量構(gòu)成了一個(gè)特殊的線性空間，利用這些運(yùn)算性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)輪系單元的自由組合，形成串聯(lián)、并聯(lián)、反饋不同形式的輪系，可以將復(fù)雜的輪系結(jié)構(gòu)進(jìn)行解構(gòu)，清楚地表達(dá)多環(huán)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞路徑，對(duì)進(jìn)行輪系分析以及形成輪系設(shè)計(jì)中輪系單元狀態(tài)特征矢量的運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)．

5 輪系分析的狀態(tài)空間方法

將復(fù)雜輪系拆分成輪系基本單元，由輪系基本單元變換得到輪系單元的狀態(tài)矢量變換矩陣，根據(jù)輪系單元間鄰接關(guān)系建立狀態(tài)矢量變換方程組并進(jìn)行求解，就是輪系分析的過程．根據(jù)狀態(tài)矢量變換矩陣分解規(guī)則，將輪系總體狀態(tài)矢量變換矩陣分解成子矩陣，將子矩陣對(duì)應(yīng)的輪系單元按照一定的組合規(guī)律進(jìn)行組合，形成不同的輪系方案，就是輪系設(shè)計(jì)的過程[16]．

復(fù)雜輪系分析的狀態(tài)空間方法流程為：首先按照輪系拆分規(guī)則對(duì)原輪系進(jìn)行拆分，得到由基本單元組成的輪系，根據(jù)輪系基本單元的變換運(yùn)算規(guī)律得到輪系中對(duì)應(yīng)的輪系單元；根據(jù)單元間的鄰接關(guān)系形成狀態(tài)矢量變換方程，將狀態(tài)矢量變換方程寫成基本單元狀態(tài)變換矩陣的形式，通過編程對(duì)方程組進(jìn)行求解，得到每個(gè)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩，進(jìn)而得到每個(gè)構(gòu)件傳遞的功率以及功率的傳遞方向．現(xiàn)以一個(gè)復(fù)雜輪系(圖9)為例，利用輪系分析的狀態(tài)空間方法對(duì)其進(jìn)行分析．

圖9 復(fù)雜輪系

各齒輪的齒數(shù)分別為z1=24、z2=60、z3=17、z4=20、z5=57、z6=22、z7=72，輪系輸入轉(zhuǎn)速為15 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩為100 N·m，求解輪系各構(gòu)件的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩，并分析輪系中功率流向．

(1)按照輪系中一對(duì)齒輪嚙合對(duì)應(yīng)一個(gè)輪系單元的拆分規(guī)則，將復(fù)雜輪系拆分成輪系單元的形式，得到如圖10所示輪系，共得到4個(gè)輪系基本單元．

(2)對(duì)于如圖10所示的輪系單元都可以由輪系基本單元通過機(jī)架變換和輸入、輸出變換得到，即通過確定輪系基本單元輸入、輸出構(gòu)件以及機(jī)架就可以通過狀態(tài)矢量運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)輪系單元的狀態(tài)變換方程，通過編程可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜輪系的數(shù)字化識(shí)別與表達(dá)，得到以下方程組：

圖10 復(fù)雜輪系拆分

輸出矢量

Ro=G32·G22·R44

(3)對(duì)應(yīng)以上狀態(tài)矢量變換方程，根據(jù)各個(gè)輪系單元狀態(tài)變換矩陣，識(shí)別單元之間的鄰接關(guān)系，自動(dòng)得到輪系單元間鄰接矩陣．

(4)采用高斯消去法與牛頓迭代法共同求解構(gòu)成的非齊次線性方程組，可以得到輪系各個(gè)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩(見表2)．由轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速可以求得通過每個(gè)構(gòu)件的功率，功率為正值，則為輸入功率，流入單元；功率為負(fù)值，則為輸出功率，流出單元．根據(jù)計(jì)算結(jié)果畫出功率實(shí)際流向，如圖11所示．

根據(jù)以上案例可以得出結(jié)論，基于狀態(tài)空間的輪系分析統(tǒng)一數(shù)字模型，可以將復(fù)雜的輪系結(jié)構(gòu)進(jìn)行解構(gòu)，清楚地表達(dá)多環(huán)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞路徑，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意復(fù)雜輪系的數(shù)字化識(shí)別與自動(dòng)化分析．

表2 輪系分析結(jié)果

圖11 輪系功率流向圖

6 結(jié) 論

(1)輪系基本單元狀態(tài)特征矢量及狀態(tài)變換方程能夠準(zhǔn)確地描述輪系基本單元的運(yùn)動(dòng)特征、動(dòng)力特征、結(jié)構(gòu)特征的傳遞變換關(guān)系，是建立輪系分析統(tǒng)一數(shù)字模型的基礎(chǔ)．

(2)輪系基本單元輸入、輸出對(duì)偶矢量構(gòu)成輪系狀態(tài)空間，對(duì)偶矢量運(yùn)算規(guī)則揭示了輪系基本單元變換規(guī)律以及單元之間的鄰接關(guān)系，共同決定了輪系狀態(tài)空間的性質(zhì)，為輪系分析建立統(tǒng)一的數(shù)字模型提供了理論基礎(chǔ)．

(3)本文提供了一種任意復(fù)雜輪系數(shù)字化識(shí)別與分析的數(shù)字模型，為輪系方案設(shè)計(jì)階段大量構(gòu)型分析提供了運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力以及功率流快速、準(zhǔn)確的數(shù)字化分析方法．