花朵授粉算法及其在斷路器優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

解 敏， 夏克文， 石麗莉， 田蕓賀， 賀紫平

(河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 天津 300401)

花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)是Yang[1]提出的一種新型元啟發(fā)式算法,已經(jīng)被應(yīng)用到微網(wǎng)的優(yōu)化調(diào)度[2]、雷達(dá)探測[3]、視覺跟蹤[4]等各個領(lǐng)域，并且效果顯著。除了解決單目標(biāo)優(yōu)化問題之外，還可以對多目標(biāo)優(yōu)化問題進行求解，比如可以將其應(yīng)用到電力市場的投資組合優(yōu)化問題中[5]。

近幾年來，花朵授粉算法被不斷的完善。例如，文獻[6]中針對算法的全局尋優(yōu)能力和收斂速度進行了改進，提出了具有族群機制的FPA算法；文獻[7]通過引入量子系統(tǒng)的態(tài)疊加特性，利用種群的平均最優(yōu)位置使種群之間存在等待效應(yīng)，將改進的算法與基本FPA算法、差分進化(differential evolution, DE)算法和蝙蝠算法(bat algorithm, BA)進行對比，得出改進的算法全局尋優(yōu)能力更強，收斂速度也有較大提高；文獻[8]將FPA算法、社會蜘蛛算法(SSO)應(yīng)用到圖像分割問題，使用類間方差或Kapur方法對解進行評估；而文獻[9]將模擬退火算法應(yīng)用到FPA中，避免了陷入局部最優(yōu)解以及增強了全局尋優(yōu)能力，性能優(yōu)于基本FPA算法。

現(xiàn)如今，由于智能電網(wǎng)和新能源等多領(lǐng)域均取得了巨大發(fā)展，使得供配電市場的規(guī)模進一步擴大[10]，與此同時，電力系統(tǒng)對斷路器的要求也越來越嚴(yán)格。所以，改造出性能良好的斷路器是必需的。自1960年至今，斷路器在小型化、高分?jǐn)嘁约暗湍芎腫11]的發(fā)展趨向上逐步逼近與完善。目前存在于市場中的斷路器，額定電流在2 500～6 300 A范圍之內(nèi)占據(jù)很大的比重。面對斷路器的能耗問題，如何對能耗模型進行改進一直是社會研究的熱點。在國內(nèi)，杭申電器公司將斷路器的能耗優(yōu)化作為重點[12-13]，在國外，西門子等公司在產(chǎn)品的設(shè)計階段把低能耗作為首要考慮的問題。

現(xiàn)主要對花朵授粉算法進行改進以及性能分析，并將改進的算法應(yīng)用于斷路器低能耗優(yōu)化設(shè)計中，希望改進的算法比其他算法性能更好，在斷路器能耗優(yōu)化中得到的能耗值更低。

1 基本花朵授粉算法

基本FPA算法是模擬顯花植物授粉現(xiàn)象而提出來的一種元啟發(fā)式算法，包括異花授粉和自花授粉兩個部分，其中異花授粉對應(yīng)算法空間的全局搜索，自花授粉對應(yīng)局部搜索[14]。

花朵的授粉過程可以通過4條規(guī)則進行描述。

(1)異花授粉是指傳粉者在進行交叉授粉時按照萊維飛行機制傳播花粉配子時進行的全局授粉過程，表示為

式(2)中：Γ(λ)為標(biāo)準(zhǔn)的伽瑪函數(shù)；s為步長；s0為最小步長；λ=1.5。

(2)自花授粉可看作是算法整體框架流程中的局部授粉階段，該規(guī)則數(shù)學(xué)公式為

(3)繁衍概率指花的恒常性，繁衍概率的取值大小與對目標(biāo)問題進行尋優(yōu)求解的兩株花朵之間的近似性成比例關(guān)系。

(4)全局授粉和局部授粉之間的轉(zhuǎn)換由轉(zhuǎn)換概率p∈[0,1]控制，受物理上的鄰近性、風(fēng)和水力等不可控因素的影響，在算法的運行中有很重要的作用。

雖然花朵授粉算法引入了萊維飛行機制，能夠取得較好的尋優(yōu)效果，但是該算法還存在容易陷入局部最優(yōu)解以及收斂速度慢的問題，因此提出一種改進的花朵授粉算法來避免這些問題的發(fā)生。

2 改進的花朵授粉算法

2.1 引入鯰魚效應(yīng)改進花朵授粉算法

鯰魚效應(yīng)是擾動并激活粒子尋優(yōu)的一種有效手段，原理如圖1所示。

圖1 鯰魚效應(yīng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of catfish effect

鯰魚效應(yīng)起源于挪威人捕魚的經(jīng)驗，沙丁魚不愛游動，所以抵港時會大量死亡，但是如果在沙丁魚池內(nèi)放一條好動的鯰魚，沙丁魚則會感受到威脅，加速游動，避免了其大量死亡的現(xiàn)象。

企業(yè)在管理制度中將鯰魚效應(yīng)作為一種激勵手段，用來鞭策缺乏積極性的“沙丁魚”，在群智能優(yōu)化算法中，鯰魚效應(yīng)有很多實現(xiàn)的方式，學(xué)者們通過對算法后期的目標(biāo)函數(shù)值進行計算，如果函數(shù)值沒有變化，則可能陷入局部極值，因此可以引入鯰魚效應(yīng)，對尋優(yōu)的花朵加以擾動，進而避免陷入局部最優(yōu)。

定義鯰魚個體為：當(dāng)前適應(yīng)度值與前一次或者個體歷史最優(yōu)適應(yīng)度值相同的個體。

除了被標(biāo)記為“鯰魚個體”外的所有個體都被稱為“沙丁魚個體”，當(dāng)沙丁魚個體受到鯰魚個體的追趕時，會遠(yuǎn)離距離自己最近的鯰魚個體，因此，沙丁魚個體遠(yuǎn)離距離自己最近的鯰魚的距離xaway公式為

式(4)中：xi為花朵所在位置；Am為距離xi最近的威脅；n為正整數(shù)；min|xi-Aj|2表示距離諸多鯰魚花朵中最小距離的平方，即Aj最終與Am一致。

引入鯰魚個體對尋優(yōu)花朵加以擾動從而偏離局部極值，在全局授粉階段，采用了Levy飛行機制，由于它的較大跳躍以及隨機步長，在一定程度上可以避免陷入局部最優(yōu)解，但是在局部授粉階段，過程過于平緩，而且缺乏跳動，更容易陷入局部最優(yōu)，因此，將鯰魚效應(yīng)引入局部授粉階段，其位置更新公式為

2.2 引入均勻變異算子改進花朵授粉算法

變異來源于遺傳算法，主要是指子代的基因按照小概率擾動而產(chǎn)生的變化，常見的變異包括：高斯變異算子、多項式變異算子、均勻變異算子以及大變異算子。其中均勻變異算子可以增加種群的多樣性，加快算法收斂速度。

均勻變異算子是指對一個多位置的基因x=(x1,x2,…，xn) 中某一位置上的分量xm∈[a,b]，其中1≤m≤n，用[a,b]范圍內(nèi)的服從均勻分布的一個隨機數(shù)來代替xm，定義為x′m，則x現(xiàn)在變?yōu)閤=(x1,x2,…，x′m,…,xn)，x′m表達(dá)式為

x′m=a+r(b-a) (6)

式(6)中：r為[0,1]上的隨機數(shù)。

由于均勻變異算子的特性，龍軍等[15]將粒子群算法應(yīng)用于配電網(wǎng)重構(gòu)時，引入了遺傳算法中的均勻變異算子，使改進的粒子群算法具有良好的全局搜索能力,并且收斂速度更快。因此為了解決FPA算法收斂速度慢的問題，在算法的全局授粉過程中引入了均勻變異算子，改進后全局授粉更新公式為

通過引入鯰魚效應(yīng)以及均勻變異算子，避免了陷入局部最優(yōu)解，而且后期收斂速度加快，可以得到改進的花朵授粉算法(catfish effect-homogeneous mutation operator FPA，CEH-FPA)，算法步驟如下。

Step 1初始化CEH-FPA算法的各項參數(shù)：種群大小規(guī)模為N，轉(zhuǎn)換概率為p，流程中最大迭代次數(shù)設(shè)置為Niter。

Step 2初始化花朵個體的位置，也就是對應(yīng)解，根據(jù)相應(yīng)位置求解目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值，尋找出當(dāng)前最優(yōu)的位置和最優(yōu)目標(biāo)問題解。

Step 3進入主循環(huán)，如果轉(zhuǎn)換概率p>rand(rand為隨機數(shù))，按照式(7)進行異花授粉，更新下代花朵個體位置，并及時針對越界問題進行處理。

Step 4如果轉(zhuǎn)換概率p

Step 5通過Step 3、Step 4計算得出下代解的對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值，如果該目標(biāo)函數(shù)值精度高，則將下代解和計算得出的下代目標(biāo)函數(shù)值進行相應(yīng)替換，否則保持當(dāng)前解和目標(biāo)函數(shù)值大小不變。

Step 6如果下代解計算所得目標(biāo)函數(shù)值精度高于當(dāng)前代數(shù)的全局最優(yōu)值，更新并記錄下代解作為全局最優(yōu)解位置，下代目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化值作為全局最優(yōu)值。

Step 7判斷算法是否符合結(jié)束條件，符合則退出程序并保存記錄最優(yōu)花朵個體位置和全局最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，如果不符合則轉(zhuǎn)到Step3，繼續(xù)循環(huán)。

2.3 測試函數(shù)

為了驗證CEH-FPA算法的性能，本文選取了1個單峰經(jīng)典測試函數(shù)、2個多峰經(jīng)典測試函數(shù)進行測試，并且將CEH-FPA算法與基本FPA算法、差分進化算法(DE)、人工蜂群算法(ABC)、自適應(yīng)遺傳算法(AGA)、自適應(yīng)粒子群算法(APSO)對比，驗證算法性能。

2.3.1 單峰函數(shù)

Schwefel2.22函數(shù)是一個單峰函數(shù)，其三維立體圖像如圖2所示。

圖2 Schwefel2.22函數(shù)三維立體圖像Fig.2 Three-dimensional stereo image of Schwefel2.22

其表達(dá)式如式(8)所示，取值范圍為[-10,10],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

利用6種算法對測試函數(shù)進行迭代尋優(yōu)，維度D設(shè)置為4，種群數(shù)量53，重復(fù)20次試驗，并且求得每次最優(yōu)值的平均值，可得Schwefel2.22函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖如圖3所示。

括號中第一個數(shù)據(jù)表示迭代次數(shù)，第二個表示函數(shù)適應(yīng)度值，第三個表示達(dá)到最優(yōu)解時迭代次數(shù)。下同

由圖3可知，APSO雖然求解精度高，但是在迭代第100次才取得全局最優(yōu)解，收斂速度緩慢；AGA算法和基本ABC算法求解精度低；DE算法求解精度和收斂速度在6種算法中處于中間位置；CEH-FPA算法在迭代次數(shù)為15時已經(jīng)達(dá)到了精度要求誤差在0.01以內(nèi)，但是仍然繼續(xù)尋優(yōu)，并沒有陷入局部最優(yōu)值。

2.3.2 多峰函數(shù)

使用多峰測試函數(shù)Rastrigin、Ackley進行性能分析。

Rastrigin函數(shù)表達(dá)式如式(9)所示,取值范圍為[-5.12,5.12],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

函數(shù)三維立體圖像、尋優(yōu)迭代仿真圖分別如圖4、圖5所示。

圖4 Rastrigin三維立體圖像Fig.4 Three-dimensional stereo image of Rastrigin

圖5 Rastrigin函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖Fig.5 Iterative simulation diagram of Rasrtigin function optimization

對于多峰函數(shù)Rastrigin，基本ABC算法、AGA算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢；DE算法求解精度較前三種算法較好，但是其收斂速度較慢；CEH-FPA算法不僅求解精度高，而且收斂速度快。

Ackley函數(shù)表達(dá)式如式(10)所示,取值范圍為[-10,10],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

函數(shù)三維立體圖像、尋優(yōu)迭代仿真圖分別如圖6、圖7所示。

圖6 Ackley三維立體圖像Fig.6 Three-dimensional stereo image of Ackley

圖7 Ackley函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖Fig.7 Iterative simulation diagram of Ackley function optimization

對于多峰函數(shù)Ackley，基本ABC算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢，APSO算法收斂速度慢，但是求解精度較高，DE算法求解精度一般，收斂速度慢，而CEH-FPA算法不僅求解精度高，迭代6次時，適應(yīng)度為0.002 241，已經(jīng)達(dá)到了求解精度，但仍然在一直迭代求解，從而得到了最高求解精度。

為了更加清晰地對算法進行對比，采用表格的形式，對算法進行分析，如表1所示。

通過表1的算法對三個經(jīng)典測試函數(shù)的性能分析可以得出，所提出的CEH-FPA算法較其他算法有更好的開發(fā)和開采性能。

表1 測試函數(shù)實驗結(jié)果對比表

3 斷路器能耗及參數(shù)優(yōu)化仿真

3.1 斷路器模型

電能經(jīng)過變壓器、母排、主電路器、匯流排和支路斷路器后，最終到達(dá)負(fù)載電路，這個過程可能消耗30%～40%的電能，針對斷路器能耗高的缺陷，需要合理設(shè)計能耗參數(shù)，設(shè)計出低能耗的斷路器[16]。本節(jié)主要針對HSW6系列斷路器進行分析，其結(jié)構(gòu)如圖8所示。

1為斷路器進線排；2為橋型觸頭；3為U形排；4為軟聯(lián)結(jié)；5為接觸片；6為靜觸頭；7為出線排

斷路器內(nèi)部能耗公式為

式(11)中：P為相級數(shù)；In為斷路器額定電流；R為電阻；φ為內(nèi)部回路的相位偏角。

根據(jù)式(11)，為了降低斷路器能耗，可以在結(jié)構(gòu)上使用多組并聯(lián)的形式，同時考慮電阻體積、回路構(gòu)造成本以及額外的能量損耗。

(1)考慮電阻體積。

斷路器觸頭電阻計算公式為

R=ρl/S(12)

式(12)中：ρ為電阻率；S為觸頭電阻橫截面積；l為觸頭電阻的長度。斷路器采用回路設(shè)計結(jié)構(gòu)，內(nèi)部有多個觸頭電阻，可得觸頭電阻體積為

V=Sl=RS2/ρ=k1RS2(13)

式(13)中：k1為電阻率的倒數(shù)。

(2)考慮回路構(gòu)造成本。

式(13)中，R越小，并聯(lián)使得器件越大，違背了小型化的原則，體積增大，回路構(gòu)造成本增大。成本f1與阻值R的關(guān)系為

f1=k2/R(14)

式(14)中：k2為回路構(gòu)造成本系數(shù)。

(3)考慮能量損耗。

回路體積增大，觸頭會產(chǎn)生額外的能量損耗，因此能量損耗f2與阻值R的關(guān)系為

f2=k3/R(15)

式(15)中：k3為能量損耗系數(shù)。

經(jīng)過對斷路器能耗的分析，以及考慮了電阻體積、回路構(gòu)造成本、能量損耗等因素的影響，可建立新型斷路器能耗數(shù)學(xué)函數(shù)模型為

式(16)中：λ1、λ2為控制系數(shù)；n為觸頭個數(shù)；變量為n、S、cosφ、R。當(dāng)數(shù)學(xué)函數(shù)模型f最小時，同時考慮體積、成本、能耗，此時得到斷路器的最低能耗值。

3.2 斷路器優(yōu)化設(shè)計

利用改進的CEH-FPA算法對斷路器進行優(yōu)化設(shè)計，設(shè)計流程圖如圖9所示。

圖9 能耗優(yōu)化流程圖Fig.9 Flow chart of energy consumption optimization

研究斷路器能耗值時，參數(shù)取值范圍不同，斷路器的最優(yōu)能耗值也會發(fā)生改變，因此研究兩種不同參數(shù)取值范圍的觸頭A和B。

3.2.1 觸頭A

初始化過程中，參數(shù)取值范圍如表2所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進行優(yōu)化仿真，結(jié)果如圖10所示。

表2 觸頭A參數(shù)取值范圍Table 2 The parameter range of contact A

圖10 A型斷路器能耗迭代優(yōu)化曲線圖Fig.10 Energy consumption iterative optimization curve of type A circuit breaker

由圖10可知，在優(yōu)化設(shè)計中，CEH-FPA算法所計算出的能耗函數(shù)適應(yīng)度值最低，即求解精度最高，并且收斂速度很快；APSO求解精度不高，收斂速度快，在第10次迭代時得到最優(yōu)能耗值為253.9 W；AGA算法求解精度低，收斂速度慢，在第49次迭代得到最優(yōu)能耗值250.3 W；ABC算法在第3次迭代得到最優(yōu)能耗值249.7 W；DE算法收斂速度慢，在第42次迭代得到最優(yōu)能耗值250.2 W；CEH-FPA算法求解精度最高，在第18次得到最優(yōu)能耗值244.6 W。

3.2.2 觸頭B

初始化過程中，參數(shù)取值范圍如表3所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進行優(yōu)化仿真，結(jié)果如圖11所示。

表3 觸頭B參數(shù)取值范圍

圖11 B型斷路器能耗迭代優(yōu)化曲線圖Fig.11 Energy consumption iterative optimization curve of type B circuit breaker

由圖11可知，CEH-FPA算法在迭代15次時達(dá)到最優(yōu)能耗值139 W，較其他算法收斂速度較快，求解精度高。

綜上所述，CEH-FPA算法對斷路器能耗優(yōu)化設(shè)計效果最好，不僅解決了斷路器能耗高的問題，而且性能較其他算法更為優(yōu)異。

4 結(jié)論

通過利用改進的FPA算法與其他算法進行對比，并對斷路器低能耗進行優(yōu)化研究得出以下結(jié)論。

(1)加入鯰魚效應(yīng)避免局部最優(yōu)解，加入均勻變異算子提高后期收斂速度，提出的這種改進算法CEH-FPA 的性能比基本FPA算法、基本ABC算法、DE算法、APSO算法、AGA算法的性能更好。

(2)采用改進的CEH-FPA算法，對斷路器的能耗模型進行優(yōu)化。首先分析斷路器的能耗公式，結(jié)合影響能耗因素進行數(shù)學(xué)建模，然后再將算法應(yīng)用到優(yōu)化設(shè)計中。試驗結(jié)果表明，CEH-FPA算法大大提高了設(shè)計的效率和精度，實現(xiàn)了斷路器低能耗性能的設(shè)計目的。

CEH-FPA算法不僅可以用于斷路器的優(yōu)化設(shè)計中，也可以將設(shè)計方法和思路推廣到其他的工程模擬優(yōu)化計算中，從而更好地取代傳統(tǒng)的靠經(jīng)驗估算和大量樣機制作的方法。