具有無窮多共存類吸引子的保守混沌系統(tǒng)同步控制

顏閩秀，林建峰，謝俊紅

1.沈陽化工大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110142

2.工業(yè)環(huán)境?資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110142

混沌現(xiàn)象是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的一種特有的運(yùn)動(dòng)形式，是當(dāng)前科學(xué)及工程領(lǐng)域關(guān)注的前沿課題［1］。 Lorenz［2］系統(tǒng)的提出，就此拉開了混沌學(xué)的序幕。之后混沌的理論研究與工程應(yīng)用得到了飛速發(fā)展。不同類型的混沌系統(tǒng)不斷地被發(fā)現(xiàn)，如Chen系統(tǒng)［3］、Liu 系統(tǒng)［4］，而后超混沌系統(tǒng)［5－6］、多翼混沌系統(tǒng)［7］也相繼被提出，不難發(fā)現(xiàn)這些系統(tǒng)大多數(shù)都是耗散混沌系統(tǒng)。

耗散混沌系統(tǒng)是指Lyapunov指數(shù)之和為負(fù)的混沌系統(tǒng)，而Lyapunov指數(shù)之和為零的混沌系統(tǒng)則稱為保守混沌系統(tǒng)，廣泛地應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)、天體力學(xué)及航空科學(xué)中，是非線性科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)很重要的研究方向［8－9］。 耗散混沌系統(tǒng)具有吸引子，容易被重構(gòu)。保守系統(tǒng)不具有吸引子，但它也擁有耗散混沌系統(tǒng)的一般性質(zhì)，它處于混沌狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為類混沌吸引子，這并非一般意義上的吸引子，很難被重構(gòu)。因此，若將保守混沌系統(tǒng)應(yīng)用于同步通信中會(huì)具有更高的安全性。

共存（類）吸引子是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中一個(gè)特殊又有趣的現(xiàn)象，指一個(gè)參數(shù)固定的混沌系統(tǒng)的初始條件發(fā)生改變，可以產(chǎn)生其他的獨(dú)立吸引子，反映了初始條件對(duì)系統(tǒng)最終演化狀態(tài)的影響［10－11］。具有共存（類）混沌吸引子的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)行為更加復(fù)雜，在同步通信等工程領(lǐng)域中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。隨著5G通信的快速發(fā)展，混沌理論與通信技術(shù)的結(jié)合，也成為當(dāng)下學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)［12］。

混沌同步控制一直是混沌理論領(lǐng)域的一個(gè)重要方向，是近些年主要興起的新的科學(xué)研究方向，實(shí)際應(yīng)用中的很多領(lǐng)域都有涉及，在同步通信中也得到了廣泛的應(yīng)用。為了同步混沌系統(tǒng)，研究人員成功提出了各種控制方案，如PID同步控制［13］、反饋同步控 制［14］、主 動(dòng) 同 步 控 制［15］、觀 測 器 同 步 控制［16－17］、投影同步控制［18］、滑模同步控制［19］、自適應(yīng)同步控制［20－23］和魯棒同步控制［24］等。

而復(fù)雜的混沌系統(tǒng)會(huì)增加同步控制器設(shè)計(jì)的難度，因此有必要找到一種能夠產(chǎn)生復(fù)雜吸引子的簡單混沌系統(tǒng)。

本文在Sprott?A系統(tǒng)［25］的基礎(chǔ)上改變其參數(shù)，得到一個(gè)三維保守混沌系統(tǒng)，受文獻(xiàn)［26－27］啟發(fā)，引入正弦函數(shù)，進(jìn)行正弦項(xiàng)變換，得到的系統(tǒng)具有無窮多的共存類混沌吸引子，文獻(xiàn)［26］和［27］只含有一個(gè)正弦項(xiàng)，只能沿著某一坐標(biāo)軸產(chǎn)生共存吸引子，本文提出的系統(tǒng)具有兩個(gè)正弦項(xiàng)，可以分別以及同時(shí)沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸產(chǎn)生共存吸引子。具有更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為，應(yīng)用在同步通信中將具有更高的安全性和實(shí)用價(jià)值。

1 新混沌系統(tǒng)模型及特性分析

1.1 新混沌系統(tǒng)模型

受 Sprott?A 系統(tǒng)［25］影響，得到一個(gè)三維保守混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

式中，x1，x2，x3為系統(tǒng)的狀態(tài)參量，a為控制參數(shù)。根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)模擬得到：a＝25時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子。下面利用MATLAB，在給定初始值（0.1，0.1，0.1） 及a＝25的條件下，繪制系統(tǒng)的x1－x2－x3類吸引子圖（保守混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為類混沌吸引子）及x2－x3相圖，分別如圖1和圖2所示。

圖1 x1－x2－x3類混沌吸引子圖

圖2 x2－x3相圖

1.2 系統(tǒng)的耗散性

系統(tǒng)（1）的梯度，即能量函數(shù)?V為

式（2）表明，?V的符號(hào)與a和x3有關(guān)，由?V難以直接判斷系統(tǒng)（1）是耗散的或保守的，通過李雅普諾夫指數(shù)之和進(jìn)行判斷（一個(gè)混沌系統(tǒng)的?V為0或李雅普諾夫指數(shù)之和為0，則該系統(tǒng)為保守混沌系統(tǒng)）。

1.3 李雅普諾夫指數(shù)及之和圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)為保守混沌系統(tǒng)，下面繪制系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)及之和圖。

在初始值為（0.1，0.1，0.1）及a＝25的條件下，求得李雅普諾夫指數(shù)λL1＝0.03，λL2＝0，λL3＝－0.03。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)及之和圖分別如圖3和圖4所示。

圖3 李雅普諾夫指數(shù)圖（1）

圖4 李雅普諾夫指數(shù)之和圖（1）

由于系統(tǒng)（1）的最大李雅普諾夫指數(shù)大于0，且有一個(gè)為 0，另外一個(gè)小于 0，符合（＋，0，－）形式，表明系統(tǒng)是混沌的，且李雅普諾夫指數(shù)之和圖是一條為0的直線，因此系統(tǒng)（1）為保守混沌系統(tǒng)。

2 新系統(tǒng)的正弦項(xiàng)變換及分析

2.1 正弦項(xiàng)變換

受文獻(xiàn)［26－27］啟發(fā)，對(duì)1.1節(jié)的系統(tǒng)也引入正弦函數(shù)，把系統(tǒng)（1）做如下變換

可以得到變換后的系統(tǒng)為

下面繪制系統(tǒng)（4）的李雅普諾夫指數(shù)及之和圖。在初始值為（0.1，0.1，0.1）及a＝25的條件下，求得李雅普諾夫指數(shù)λL1＝0.03，λL2＝0，λL3＝－0.03。系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)及之和圖分別如圖5和圖6所示。

圖5 李雅普諾夫指數(shù)圖（2）

圖6 李雅普諾夫指數(shù)之和圖（2）

由1.3節(jié)可知，變換后的系統(tǒng)（4）也為保守混沌系統(tǒng)。

2.2 對(duì)參數(shù)a變化的分析

令a∈［24，26］，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)及之和圖分別如圖7和圖8所示。

圖7 李雅普諾夫指數(shù)圖（3）

由圖7、8可以看出，參數(shù)a變化時(shí)，李雅普諾夫指數(shù)符合（＋，0，－）形式，表明系統(tǒng)是混沌的，且李雅普諾夫指數(shù)之和圖是一條為0的直線，因此系統(tǒng)（4）在參數(shù)a∈［24，26］時(shí)為保守混沌系統(tǒng)。

2.3 類混沌吸引子分別沿x1軸和x3軸共存

利用 MATLAB，給定初始值 （0.1＋2kπ，0.1，0.1） 和 （0.1，0.1，0.1＋2kπ） 及a＝ 25 的條件下（k＝ 0，1，2），繪制系統(tǒng)的x1－x2－x3類吸引子圖（保守混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為類混沌吸引子）分別如圖9和圖10所示。

圖10 沿x3軸共存的類混沌吸引子圖

2.4 類混沌吸引子同時(shí)沿x1軸和x3軸共存

在初始值為 （0.1＋2kπ，0.1，0.1＋2kπ） 及a＝25的條件下，利用MATLAB工具繪圖，繪制系統(tǒng)的x1－x2－x3類吸引子圖分別如圖11和圖12所示。

圖11 同時(shí)沿x1軸和x3軸共存的類吸引子圖（k＝0，1，2）

圖12 同時(shí)沿x1軸和x3軸共存的類吸引子圖（k＝0，1，2，3，4）

由圖 11 和圖 12 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k＝0，1，2，3，…，n時(shí)，可以得到（n＋1）×（n＋1）個(gè)共存吸引子，即具有無窮多個(gè)共存類混沌吸引子。

3 新系統(tǒng)的同步和仿真

以本文變換后的三維系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，有

響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

式中，u1、u2、u3為系統(tǒng)的同步控制器。

3.1 誤差系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

受文獻(xiàn)［28］啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種多通道誤差系統(tǒng)：eij＝y(tǒng)i－xj，其中i，j＝1，2，3。 對(duì)于三維的系統(tǒng)，xj和yi（i，j＝1，2，3）由排列組合的知識(shí)可知，組成相應(yīng)的誤差系統(tǒng)會(huì)有種形式，即6個(gè)通道。

第一種情況：i和j完全相等，即通常意義上構(gòu)造的誤差系統(tǒng)

第二種情況：i和j不完全相等，構(gòu)造的誤差系統(tǒng)分別如式（8）～（10）所示。

第三種情況：i和j完全不相等，構(gòu)造的誤差系統(tǒng)分別如式（11）、（12）所示。

3.2 同步控制器設(shè)計(jì)

選取其中的兩個(gè)通道進(jìn)行驗(yàn)證，在第二種情況和第三種情況中，分別選取一個(gè)通道進(jìn)行驗(yàn)證，選取誤差系統(tǒng)式（9）和誤差系統(tǒng)式（12）進(jìn)行驗(yàn)證，并命名式（9）為通道 1，式（12）為通道 2。

3.2.1 通道1的同步控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式（9），計(jì)算誤差系統(tǒng)為

設(shè)計(jì)同步控制器為

接著定義參數(shù)估計(jì)誤差為

求導(dǎo)得

把參數(shù)估計(jì)誤差（16）代入誤差方程（15）中，可以得到

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)式（19）求導(dǎo)可得

把式（17）、（18）代入式（20）可得

將（22）代入到（21），可得

由式（19）和式（23）再根據(jù)李雅普諾夫漸近穩(wěn)定理論，可以得知系統(tǒng)V是漸近穩(wěn)定的，由漸近穩(wěn)定的定義可以得知誤差系統(tǒng)趨于 0，則表明了在式（9）構(gòu)造的誤差系統(tǒng)下，響應(yīng)系統(tǒng)（6）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）達(dá)到同步。

3.2.2 通道2的同步控制器設(shè)計(jì)

同理根據(jù)式（12），可以計(jì)算誤差系統(tǒng)為

同步控制器設(shè)計(jì)為

把設(shè)計(jì)的控制器（25）代入誤差系統(tǒng)（24）中，可以得到新的誤差系統(tǒng)方程為

接著定義參數(shù)估計(jì)誤差為

求導(dǎo)得

把參數(shù)估計(jì)誤差（27）代入誤差方程（26）中，可以得到

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)式（30）求導(dǎo)可得

把式（28）、（29）代入式（31）可得到

將（33）代入（32），可以得到

由3.2.1節(jié)可知，在式（12）構(gòu)造的誤差系統(tǒng)下，響應(yīng)系統(tǒng)（6）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）也可以達(dá)到同步。

3.3 仿真與分析

3.3.1 通道1的仿真

通過MATLAB對(duì)通道1進(jìn)行仿真，選取系統(tǒng)的初始參數(shù)為a＝25，增益常數(shù)ki＝5（i＝1，2，3）， 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）的初始值為（0.1，0.1，0.1），響應(yīng)系統(tǒng)（6）的初始值為（0.2，0.3，－0.1），運(yùn)行結(jié)果如圖 13所示。

圖13 參數(shù)a＝25的誤差曲線圖（1）

從圖13中可以看出，誤差變量在極短時(shí)間內(nèi)趨于零，說明響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到了同步。

考慮參數(shù)波動(dòng)的影響，下面選取參數(shù)a＝24和26（其余條件不變）繼續(xù)進(jìn)行仿真，運(yùn)行結(jié)果分別如圖14和15所示。

圖14 參數(shù)a＝24的誤差曲線圖（1）

圖15 參數(shù)a＝26的誤差曲線圖（1）

從圖14、15可以看出，隨著參數(shù)的改變（此時(shí)仍為混沌狀態(tài)），同步效果與圖13基本一致，說明參數(shù)變動(dòng)后，響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)也可以很快達(dá)到同步，證實(shí)了通道1同步的有效性。

3.3.2 通道2的仿真

通過MATLAB對(duì)通道2進(jìn)行仿真，選取系統(tǒng)的初始參數(shù)為a＝25，增益常數(shù)ki＝5（i＝1，2，3） ，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（5）的初始值為（0.1，0.1，0.1），響應(yīng)系統(tǒng)（6）的初始值為（0.2，0.3，－0.1），運(yùn)行結(jié)果如圖 16 所示。

圖16 參數(shù)a＝25的誤差曲線圖（2）

從圖16中可以看出，誤差變量在極短時(shí)間內(nèi)趨于零，說明響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到了同步。

考慮參數(shù)波動(dòng)的影響，下面選取參數(shù)a＝24和26（其余條件不變）繼續(xù)進(jìn)行仿真，運(yùn)行結(jié)果分別如圖17、18所示。

圖17 參數(shù)a＝24的誤差曲線圖（2）

圖18 參數(shù)a＝26的誤差曲線圖（2）

從圖17、18可以看出，隨著參數(shù)的改變（此時(shí)仍為混沌狀態(tài)），同步效果與圖16基本一致，說明參數(shù)變動(dòng)后，響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)也可以很快達(dá)到同步，證實(shí)了通道2同步的有效性。

同理，可以驗(yàn)證其余通道同步方案的可行性，由此，可以得到文中所提的多通道同步控制方案是可行的。

4 結(jié)束語

文中首先提出了一個(gè)三維保守混沌系統(tǒng)，通過計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)驗(yàn)證了系統(tǒng)為保守混沌系統(tǒng)，之后通過正弦項(xiàng)變換得到一個(gè)新的具有無窮多共存類混沌吸引子的系統(tǒng)，經(jīng)過驗(yàn)證可以確定為保守混沌系統(tǒng)。最后，設(shè)計(jì)了一種多通道誤差及同步控制方案，并利用MATLAB工具進(jìn)行仿真，證實(shí)了經(jīng)過正弦項(xiàng)變換后的保守混沌系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)同步，驗(yàn)證了多通道誤差系統(tǒng)及同步控制器的有效性。