煙幕擴散模型中任意光路電磁波透過率的計算

蔣 云,李 偉,宋偉偉,于照亮,代曉東

(防化研究院,北京 102205)

1 引 言

煙幕是現(xiàn)代戰(zhàn)爭中對抗精確制導武器和光電觀瞄器材的有效手段,能夠遮蔽干擾可見光、激光、紅外、毫米波等電磁波,具有使用方便、效費比高等特點,受到世界軍事強國的重視[1-3]。煙幕能夠?qū)Σǘ坞姶挪ㄐ纬捎行Ц蓴_的關(guān)鍵因素在于:首先,煙幕中含有大量能夠?qū)﹄姶挪óa(chǎn)生散射或吸收效果的煙幕粒子；其次,煙幕粒子能夠在大氣中通過擴散形成足夠濃度和尺寸的煙幕云團,在制導武器和保護目標之間形成有效屏障[4-6]。在煙幕技術(shù)領(lǐng)域,煙幕粒子擴散特性的研究一直是一個難點和熱點,人們利用各種計算模型對煙幕云團的擴散特性進行計算和模擬,高斯擴散模型和隨機游走模型是該領(lǐng)域最常用的兩個計算模型[7-8]。特別是隨機游走模型,它基于拉格朗日算法,不受平衡和均勻假設(shè)的限制,擴散過程與時間相關(guān),具有廣泛的適用性[9-10]。在隨機游走模型中,輸入煙幕施放源參數(shù)、風場參數(shù)、溫度場參數(shù)以及其他相關(guān)參數(shù),可以較為準確的模擬出煙幕的擴散尺寸以及濃度分布情況。電磁波會從任何可能的方向穿過煙幕云團,在計算模擬中需要準確得到煙幕云團沿任意路徑的濃度變化情況,從而計算出電磁波沿這一路徑穿過云團時的透過率,得到煙幕云團對電磁波的衰減效果。文獻中關(guān)于隨機游走模型本身的介紹較多,在實現(xiàn)任意方向和角度的計算和分析方面,目前沒有公開可見的報道。本文基于空間幾何坐標變換原理、線性代數(shù)矩陣運算方法以及煙幕材料消光理論,推導了煙幕擴散模型中電磁波入射方向改變時的坐標系變換矩陣、積分濃度及透過率計算公式,為煙幕擴散模型的多角度(方向)數(shù)據(jù)分析、煙幕云團圖像處理以及更多應(yīng)用場景中的使用奠定了基礎(chǔ)。

2 透過率的計算

在煙幕隨機游走模型中,需要構(gòu)建一個長方體形狀的計算區(qū)域,煙幕施放點設(shè)為坐標原點,施放出的所有煙幕粒子都在該計算區(qū)域里擴散運動,通過隨機擴散模型可模擬煙幕粒子在該三維空間中的分布情況。計算模擬時一般將計算區(qū)域被劃分為若干網(wǎng)格,設(shè)坐標軸x、y、z三個方向的網(wǎng)格精細度分別為Δx、Δy和Δz,則每個長方體小網(wǎng)格中的濃度可由式(1)計算得到[11]:

(1)

其中,C(i,t)為第i個網(wǎng)格在t時刻的質(zhì)量濃度;Q(t)為t時刻施放的煙幕粒子總質(zhì)量;ni(t)為t時刻第i個網(wǎng)格中的煙幕粒子數(shù)量;N為總的煙幕粒子數(shù)量。根據(jù)朗伯-比爾定律[12-13],電磁波經(jīng)過第i個網(wǎng)格的透過率Ti可表達為:

Ti=e-c(i,t)·ΔLi·α

(2)

其中,α為煙幕的質(zhì)量消光系數(shù);ΔLi為電磁波經(jīng)過第i個網(wǎng)格時的光程。

如果電磁波入射方向與任意一個坐標軸方向平行,則很容易知道其經(jīng)過每個網(wǎng)格的光程。例如電磁波沿x軸穿過煙幕云團,則經(jīng)過每個網(wǎng)格的光程均為Δx,設(shè)x軸方向的網(wǎng)格數(shù)量為m,電磁波的初始能量為I0,則電磁波經(jīng)過第一個網(wǎng)格后的能量I1為I0·T1,經(jīng)過第二個網(wǎng)格后的能量I2為I0·T1·T2,以此類推,經(jīng)過第m個網(wǎng)格后的能量Im為I0·T1·T2…Tm。因此一束電磁波沿x軸經(jīng)過整個煙幕云團的透過率Tx為:

(3)

Tx=e-α·Cx

(4)

顯然,只要知道了沿空間某一路徑L的積分濃度CL,就可以根據(jù)式(4)得到電磁波經(jīng)過該路徑后的透過率TL。

當電磁波沿任意方向入射時,無法準確知道電磁波穿過每個網(wǎng)格時的路徑長度ΔL,從而無法準確計算積分濃度。特別是把煙幕模型嵌入一個更大的視場中時,煙幕模型中的坐標只是相對坐標,無法根據(jù)該坐標系的坐標值進行積分濃度的準確計算,無法獲知任意方向入射的電磁波經(jīng)過該煙幕云團時發(fā)生的衰減情況。煙幕擴散模型中任意光路下積分濃度的計算和分析,以及該模型嵌入其他應(yīng)用場景中,均涉及到空間坐標系的變換。

3 三維坐標系的轉(zhuǎn)換

實現(xiàn)任意光路積分濃度計算的基本思路是:建立一個新的空間幾何坐標系O′(X′Y′Z′),其原點O′(0,0,0)與原坐標系的原點O(0,0,0)重合,X′軸的方向為電磁波入射方向；得到兩個坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,使煙幕模型的空間坐標可以在兩個坐標系之間自由轉(zhuǎn)換；將煙幕云團的空間坐標由O(XYZ)坐標系轉(zhuǎn)換到O′(X′Y′Z′)坐標系,然后可以計算得到煙幕在X′方向上的積分濃度分布和電磁波穿過煙幕云團的透過率。

3.1 三維坐標系的建立

新坐標系O′(X′Y′Z′)與原坐標系O(XYZ)的關(guān)系如圖1所示,兩個坐標系均為右手坐標系。圖中,X軸的正向為風向,Z的正向為地面的法線方向,XOY平面為水平面,OR為電磁波入射方向(也是新三維坐標系的X′軸),OR′為OR在XOY面上的投影。α角為OR與OR′的夾角,β角為OR′與X軸的夾角。根據(jù)地理關(guān)系,也可以把α角稱為俯仰角(0°～90°),β角稱為方位角(0°～360°)。

圖1 新三維坐標系與原三維坐標系的關(guān)系

3.2 空間坐標系轉(zhuǎn)換矩陣

要實現(xiàn)原坐標系O(XYZ)和新坐標系O′(X′Y′Z′)之間的轉(zhuǎn)換,需要求得它們之間的轉(zhuǎn)換矩陣,包括原坐標系到新坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣M以及新坐標系到原坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣M′。

(1)M的推導

M的推導方法是:X′軸經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)操作,與X軸重合,得到原坐標系到新坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣M。右手坐標系中繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)操作均遵循右手法則,即右手拇指指向旋轉(zhuǎn)軸正向,其余四指的指向便是旋轉(zhuǎn)角的正方向[14]。

第一次旋轉(zhuǎn)操作:OR(即X′軸)繞Y′軸旋轉(zhuǎn)α角度,使OR與OR′重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(5)

旋轉(zhuǎn)后得到坐標系O″(X″,Y″,Z″),其X″軸為OR′,Y″軸為OY′,Z″軸為過O(0,0,0)點垂直于X″O″Y″平面的方向。

第二次旋轉(zhuǎn)操作:OR′繞Z″軸旋轉(zhuǎn)(-β)角度,使OR′與X軸重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(6)

整個過程的轉(zhuǎn)換矩陣為:

M=My·Mz

(7)

利用轉(zhuǎn)換矩陣M,可以實現(xiàn)原坐標系中任意一點(x,y,z)到新坐標系的轉(zhuǎn)換,即

(8)

(2)M′的推導

M′推導過程是M的逆過程,操作方法是:X軸經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)操作,與X′重合,得到新坐標系到原坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣M′。

第一次旋轉(zhuǎn)操作:X軸繞Z軸旋轉(zhuǎn)β角度到OR′,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(9)

旋轉(zhuǎn)后得到坐標系O1(X1Y1Z1),其X1軸為OR′,Z1軸為OZ,Y1軸為過O(0,0,0)點垂直于X1O1Z1平面的方向。

第二次旋轉(zhuǎn)操作:OR′繞Y1軸旋轉(zhuǎn)(-α)角度,使OR′與OR重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(10)

經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn),完成了X軸到OR軸的變換,整個過程的轉(zhuǎn)換矩陣為:

(11)

(12)

(3)轉(zhuǎn)換坐標系原點不重合的情況

有時將煙幕擴散模型嵌入另外一個場景中,此時兩個轉(zhuǎn)換坐標系的原點不重合,設(shè)原坐標系的原點O在新坐標系中的值為(a,b,c),則原坐標系中的任意一點(x,y,z)在新坐標系中可表示為:

(13)

(14)

4 煙幕積分濃度分布計算

4.1 二維坐標系

以三維坐標系O′(x′y′z′)的X′軸為投影方向,Y′O′Z′平面為投影幕,可以得到如圖2所示煙幕云團二維投影坐標系,求得二維坐標系中每點的煙幕積分濃度,則得到煙幕云團在X′軸方向的積分濃度二維分布圖,進而可以計算電磁波經(jīng)過二維投影圖中任意一點的透過率。

圖2 煙幕二維視場坐標系

煙幕云團所在的三維空間投影到Y(jié)′O′Z′平面,在Y′軸上的最大值和最小值分別為y1和y2,在Z′軸上的最大值和最小值分別為z1和z2,因此煙幕的投影區(qū)域為矩形O″ABC所包含的區(qū)域。投影區(qū)域的四個頂點O″、A、B、C的坐標分別為(y2,z2)、(y1,z2)、(y1,z1)和(y2,z1)。將坐標系原點O′平移到O″,兩個坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

(15)

4.2 煙幕積分濃度和透過率的計算

在投影區(qū)域內(nèi)任意一點(y″,z″)上煙幕的積分濃度為:

(16)

其中,x1和x2分別為煙幕體在X′軸方向的最小值和最大值,Δx為X′軸方向的計算精度,y′、z′與y″、z″的關(guān)系為:

(17)

(x′,y′,z′)在原坐標系對應(yīng)的點為(x0,y0,z0),根據(jù)式(8)可得:

(18)

從而得到:

C(x′,y′,z′)=C(x0,y0,z0)

(19)

根據(jù)朗伯-比爾定律,電磁波沿X′軸方向經(jīng)過點(x′,y′,z′)的透過率T為:

(20)

5 總 結(jié)

通過以上推導,得到了煙幕隨機游走模型中三維坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣,通過轉(zhuǎn)換矩陣可以很方便地實現(xiàn)新舊坐標系之間的坐標變換,計算煙幕云團沿任意路徑的積分濃度和電磁波衰減率。同時,推導了煙幕積分濃度的二維投影算法,可計算出任意投影面上的積分濃度分布情況和電磁波透過該點的透過率,為煙幕擴散模型在多角度數(shù)據(jù)分析、煙幕云團紅外圖像處理、更多場景中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。