應(yīng)力波在吊索-梁結(jié)頭處的傳播規(guī)律

陳 木, 李 周, 王榮輝*

(1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510641；2.中建科工集團(tuán)有限公司, 深圳 518000)

2019年10月，中國臺(tái)灣宜蘭縣某跨海拱橋發(fā)生倒塌事故，當(dāng)油罐車經(jīng)過橋梁時(shí)，最先發(fā)生斷裂的是跨中向右第一根吊索，破壞位置位于吊索與拱肋的連接處，可見實(shí)際拱橋結(jié)構(gòu)中拱肋與吊索連接處是易產(chǎn)生損傷或破壞的位置。目前，普通結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，只考慮了慣性力作用，而忽略了擾動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的傳播過程，但是當(dāng)擾動(dòng)傳過結(jié)構(gòu)特征尺度所需時(shí)間與沖擊荷載持續(xù)時(shí)間相比處于相同甚至更高量級的尺度時(shí)，就必須考慮擾動(dòng)的傳播過程[1]，所以普通結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在處理高頻沖擊荷載作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的問題時(shí)會(huì)有誤差，而應(yīng)力波理論是研究這類問題的最佳工具之一。Guo等[2]對彎梁受軸向沖擊荷載的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和有限元分析。Fan等[3]和Chen等[4]則分別研究了巖石節(jié)理處應(yīng)力波的反射和透射。Chattopadhyay等[5]和Mehmet等[6]則對層合板中應(yīng)力波傳播進(jìn)行了研究。Dubuc等[7]提出了各向異性板中彈性導(dǎo)波的相位和群速度的解析表達(dá)式。應(yīng)力波理論在工程中應(yīng)用比較廣泛的是結(jié)構(gòu)探傷等方向。比如Hafiz等[8]提出了一種超聲尾波對比技術(shù)(CWC)用于混凝土應(yīng)力監(jiān)測；Wei等[9]研究不同的裂紋模式、位置、深度及轉(zhuǎn)速對非均勻轉(zhuǎn)軸彈性波傳播特性的影響；楊衛(wèi)奇等[10]分析了殼的幾何物理參數(shù)及撞擊加載條件對屈曲行為的影響，同時(shí)分析了屈曲過程中的橫向慣性效應(yīng)和應(yīng)力波效應(yīng)。

現(xiàn)從應(yīng)力波理論的角度分析吊索-梁連接處的受力特點(diǎn)，建立了應(yīng)力波傳播的控制方程，并從經(jīng)典理論和有限元模型兩方面對理論進(jìn)行驗(yàn)證，最后討論了梁截面尺寸對吊索受力的影響。通過研究可以使橋梁工程師對拱肋與吊索連接處在外部沖擊荷載作用下的受力特點(diǎn)有更加清楚的認(rèn)識(shí)，具有一定的工程意義，以期為應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中的傳播規(guī)律等更深入的研究提供參考。

1 理論分析

為研究吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波的傳播規(guī)律，建立了應(yīng)力波傳播的理論模型，如圖1所示。理論模型分為3個(gè)部分，梁2和梁3的材料和截面相同，E2、A2和I2分別對應(yīng)的梁2和梁3的彈性模量、截面積和截面慣性矩，E1和A1則分別是索1的彈性模量和截面積，ρ1和ρ2則分別是索和梁的密度，梁與索的夾角為α。

索1端部有入射波u0向上傳播，傳播至結(jié)頭處時(shí)發(fā)生反射和透射，產(chǎn)生的反射波向下傳播，包含縱波u1及橫波w1。同時(shí)，梁2中有透射縱波u2和透射彎曲波w2，梁3中有透射縱波u3和透射彎曲波w3，正負(fù)號規(guī)定如圖1所示，其中，假設(shè)各質(zhì)點(diǎn)縱向位移正方向與波的傳播方向相反，即為拉伸波。

圖1 理論模型

假設(shè)結(jié)頭為剛體，入射波由吊索傳播至結(jié)頭處時(shí)，結(jié)頭只有平動(dòng)，而沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)頭的縱向位移為u、橫向位移為w，正負(fù)號規(guī)定如圖2所示。

圖2 結(jié)頭位移及轉(zhuǎn)角

由結(jié)頭與梁和索的位移協(xié)調(diào)性可知，結(jié)頭處的縱向位移u和橫向位移w與各反射波和透射波質(zhì)點(diǎn)位移的關(guān)系為

(1)

式(1)為主梁-吊索剛性結(jié)頭處應(yīng)力波傳播的相容方程。吊索在波u0和u1作用下的總軸力為N1，梁2的軸力、剪力和彎矩分別為N2、Q2、M2，梁3的軸力、剪力和彎矩分別為N3、Q3、M3，如圖3所示。

圖3 結(jié)頭處受力模型

得到動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式(2)中：mj=ρ2V為結(jié)頭的質(zhì)量，ρ2為梁的密度，V為結(jié)頭的體積。

本構(gòu)方程為

(3)

式(3)中：G為剪切剛度；As與截面特性相關(guān)；x1、x2、x3分別表示索1、梁2、梁3的軸向局部坐標(biāo)，正方向與圖1中u1、u2、u3相同。

入射波u0在結(jié)頭處產(chǎn)生6類反射波和透射波，為求解控制方程，假定各類波的質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)為

(4)

NBT=Q

(5)

式(5)中：B為待求系數(shù)矩陣；N為影響矩陣；Q為與入射波相關(guān)的荷載矩陣。

(6)

(7)

(8)

式中：M1～M8分別表示為

(9)

2 數(shù)值分析

2.1 與經(jīng)典理論的對比

經(jīng)典理論中，梁或索中的縱波在固定邊界條件下的反射規(guī)律是質(zhì)點(diǎn)速度為0，質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力加倍，在自由邊界條件下的反射規(guī)律是質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力為0，質(zhì)點(diǎn)速度加倍，對梁截面積無限大和無限小兩種特殊情況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)建立的控制方程能否回歸到經(jīng)典理論。

當(dāng)梁的截面積無限大時(shí)，可知結(jié)頭橫向位移w=0，對于各波形的質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)，取n=1且x1=t=0進(jìn)行分析，由式(1)可知

-(u0-u1)sinα-v1cosα=0

(10)

對于梁-索夾角α=π/2時(shí)，由此可知

u0=u1→B0=B1

(11)

式(11)中：B0、B1分別為入射波u0和反射波u1的幅度。吊索端部反射波與入射波疊加后的軸力為

(12)

由式(12)可知，反射波與入射波疊加后產(chǎn)生的軸力是入射波軸力N0的兩倍。

吊索端部反射波u1的質(zhì)點(diǎn)速度為v1，入射波u0的質(zhì)點(diǎn)速度為v0，疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度為

v=v0-v1=(B0-B1)iω

(13)

所以，吊索端部反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度為0。這符合縱波在固定邊界條件下的反射規(guī)律，即質(zhì)點(diǎn)速度為0，內(nèi)力加倍。

假設(shè)梁的截面積趨近與0，由式(12)可知，反射波與入射波疊加后的軸力N合為0，那么可以得到

B1=-B0

(14)

那么，反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)位移為

u0-u1=2u0

(15)

反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度v為

v=v0-v1=2v0

(16)

這種規(guī)律與應(yīng)力波在自由端邊界條件下的反射規(guī)律相同，即質(zhì)點(diǎn)速度加倍，內(nèi)力為0。

由以上的分析可知，對吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律所建立的控制方程，在梁截面積無限大和無限小的兩種特殊情況下，可以回歸到經(jīng)典理論，從側(cè)面驗(yàn)證了所建立控制方程的正確性。

2.2 梁截面尺寸對結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律的影響

采用有限元軟件ABAQUS建立模型，如圖4所示。上部結(jié)構(gòu)采用梁單元進(jìn)行模擬，吊索采用桁架單元進(jìn)行模擬。梁截面為正方形，邊長為a，長度為10 m，兩端采用固結(jié)邊界條件。索長度為5 m，與梁中點(diǎn)相連接。梁的材料參數(shù)為：楊氏模量E1=2.078×105N/mm2，泊松比=0.3，密度=7.85 t/m3；索的材料參數(shù)為：E2=1.95×105N/mm2；泊松比=0.3，密度=7.85 t/m3。重物采用半徑為0.05 m的圓球，初始沖擊速度為5 m/s。

圖4 有限元模型

圖5 吊索中點(diǎn)位置處軸力N1時(shí)程曲線

(17)

式(17)中：k表示時(shí)域中初始波信號的離散點(diǎn)的總數(shù)，取值為0～N/2，ReX[k]及ImX[k]為快速傅里葉轉(zhuǎn)換(FFT)后的實(shí)部及虛部。通過式(17)計(jì)算得到每個(gè)正弦波及余弦波的振幅及頻率后，可根據(jù)合成等式計(jì)算出初始波形，即

(18)

圖6 初始波形與擬合波形

式(18)可寫為

(19)

式(19)中：c0表示吊索中縱波的傳播速度。

為研究吊索上部結(jié)構(gòu)截面尺寸對吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律的影響，選取a為1、3、5、8、10 mm這5個(gè)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析。吊索上端的軸力時(shí)程曲線如圖7所示。

圖7 梁截面尺寸a對吊索上端位置軸力N1影響

圖7給出了梁截面尺寸a對吊索上端軸力N1影響的理論計(jì)算結(jié)果及有限元模擬結(jié)果。由圖7可以看出，梁截面尺寸分別為10、8、5、3、1 mm時(shí)，理論計(jì)算N1的最大值分別為139.8、131.9、101.4、54.1、4.9 N。而有限元模擬計(jì)算結(jié)果中，N1的最大值分別為113.3、108.8、83.1、37.3、10.4 N。從圖6中可以看出，初始入射波N0的最大值為75.6 N，通過理論計(jì)算與有限元模擬計(jì)算結(jié)果及初始入射波的對比，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律。

(1)理論計(jì)算結(jié)果中，各種梁截面尺寸參數(shù)下，吊索上端軸力時(shí)程曲線與初始入射波形相似，本小節(jié)中，在反射波和透射波的合成過程中，忽略了各余弦波及正弦波的相位變化，而采用與入射波相同的相位，即可得到與入射波相似的波形，驗(yàn)證了上一小節(jié)中關(guān)于反射波和透射波與入射波之間相位差需要被忽略的正確性。

(2)理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果有相同的規(guī)律，隨著梁截面尺寸a的增加，吊索上端軸力N1不斷增大。在理論計(jì)算結(jié)果中，當(dāng)梁截面尺寸a=3 mm，結(jié)頭處的反射波對入射波起卸載的作用，而當(dāng)梁截面尺寸a=5 mm時(shí)，結(jié)頭處的反射波對入射波起加載的作用，當(dāng)梁截面尺寸a=10 mm時(shí)，軸力N1則近似于入射波處軸力N0的兩倍。當(dāng)梁的抗彎剛度逐漸增大時(shí)，軸力N1逐漸增大，而質(zhì)點(diǎn)速度逐漸減小。

(3)有限元模擬結(jié)果略小于理論計(jì)算結(jié)果，但是兩種方法的計(jì)算結(jié)果有相同的變化規(guī)律，也驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

3 結(jié)論

針對吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波的傳播規(guī)律，依據(jù)內(nèi)力平衡性和位移協(xié)調(diào)性建立了控制方程，假設(shè)各反射波及透射波的波形方程，并將波形方程代入控制方程中，可求解出各反射波及透射波的波形，同時(shí)建立了吊索-梁結(jié)構(gòu)受小球沖擊的有限元模型，提取了吊索中點(diǎn)的軸力時(shí)程曲線，并以其中第一個(gè)波峰作為理論計(jì)算的入射波。由于該入射波是一組離散數(shù)據(jù)，不能直接代入控制方程計(jì)算，所以采用快速傅里葉轉(zhuǎn)換及合成等式相結(jié)合的方法，將這組離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成25個(gè)余弦波和25個(gè)正弦波線性疊加而的連續(xù)函數(shù)。對梁截面無限大和無限小兩種特殊情況，將控制方程回歸到經(jīng)典理論。最后，對梁截面尺寸進(jìn)行了參數(shù)分析，討論了這些參數(shù)影響下吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播的規(guī)律。通過研究可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

(1)當(dāng)梁截面尺寸無限大和無限小時(shí)，所建立的控制方程均能回歸到經(jīng)典理論。

(2)有限元及理論數(shù)值分析結(jié)果對比可知，理論方法的數(shù)值分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果的變化規(guī)律比較吻合，驗(yàn)證了理論方法是可行的。

(3)具有典型意義的是隨著梁截面尺寸a的不斷增大，索上端的軸力N1也是不斷增大，所以梁的抗彎剛度對吊索的受力有比較大的影響。