一個(gè)具有Robin自由邊界的雙曲腫瘤生長(zhǎng)模型解的定性分析

周 云，衛(wèi)雪梅

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

1 問(wèn)題的提出

有關(guān)于腫瘤生長(zhǎng)的偏微分模型的方程類(lèi)型總共有3類(lèi)：一類(lèi)是Byrne-Chaplain型腫瘤模型，只含反應(yīng)擴(kuò)散方程；另一類(lèi)是King-Ward型腫瘤模型，既含反應(yīng)擴(kuò)散方程又含守恒率方程；以及流體型腫瘤模型，不僅含有以上兩類(lèi)方程而且還含有Stokes方程[1](由Franks等[2-5]提出)。本文研究的模型屬于King-Ward型腫瘤模型，該模型的腫瘤來(lái)源于實(shí)驗(yàn)室，專(zhuān)門(mén)培育出來(lái)用于研究腫瘤生長(zhǎng)問(wèn)題[6-7]。該模型由關(guān)于繁殖細(xì)胞密度、休眠態(tài)細(xì)胞密度以及死細(xì)胞密度的一階雙曲方程組，一個(gè)關(guān)于營(yíng)養(yǎng)物濃度的橢圓方程和用來(lái)描述腫瘤自由邊界運(yùn)動(dòng)的常微分方程所耦合的自由邊界問(wèn)題。在營(yíng)養(yǎng)物濃度是線性反應(yīng)擴(kuò)散方程和Dirichlet邊界條件下，文獻(xiàn)[8-10]得到了整體解的適定性和腫瘤半徑的一些性質(zhì)。

腫瘤的生長(zhǎng)依賴(lài)于新生血管，當(dāng)腫瘤細(xì)胞分泌生長(zhǎng)因子時(shí)，會(huì)促進(jìn)血管的再生。而新生的腫瘤血管組織，仍然可以作為輸送途徑吸收營(yíng)養(yǎng)物[11-12]，因此本文假設(shè)

本文在前述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮營(yíng)養(yǎng)物濃度C為線性橢圓方程的Robin問(wèn)題。該模型中描述腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)的兩個(gè)雙曲型偏微分方程，包含繁衍態(tài)的腫瘤細(xì)胞密度 P 、休眠態(tài)的腫瘤細(xì)胞密度 Q和已經(jīng)死亡但尚未消解的腫瘤細(xì)胞密度 D[1], N代表這3類(lèi)細(xì)胞混合體的密度且為正常數(shù)，有

細(xì)胞在腫瘤內(nèi)做連續(xù)運(yùn)動(dòng)，其中包括細(xì)胞的增殖和細(xì)胞的壞死。本文用速度場(chǎng)v表示此運(yùn)動(dòng)速度，將腫瘤組胞視為多孔介質(zhì)，因此根據(jù)Darcy’s定律，有

假設(shè)腫瘤表面的壓力即表面張力，則在細(xì)胞邊界處有

σ=γκ

其中κ表示平均曲率，γ 為正常數(shù)。

本文研究的具體模型為

其中λ是非負(fù)常數(shù),|x|≤R(t) (x ∈R3)表示腫瘤在時(shí)刻t所占的空間區(qū)域，KB(C), KP(C), KQ(C)分別表示繁衍態(tài)細(xì)胞的繁殖速率，休眠態(tài)細(xì)胞變?yōu)榉敝臣?xì)胞的轉(zhuǎn)換速率和繁殖細(xì)胞變?yōu)樾菝邞B(tài)細(xì)胞的轉(zhuǎn)換速率，KA(C) 和KD(C)分別表示繁衍態(tài)細(xì)胞和休眠態(tài)細(xì)胞的死亡速率[1]，其中KB(C), KP(C)隨著C 的增大而增大，K(C), K(C), K(C)隨著C 的增大而減小。另外，由于增殖率大于凋亡率，所以KB(C)＞KA(C)。 KR表示死亡細(xì)胞的消解速率，這個(gè)速率是一個(gè)非負(fù)的且與C 無(wú)關(guān)的常數(shù)[8]。

由式(8)～(9)可得，只要給定了v和R(t)，則σ 能夠直接被確定，因此在本文后面的計(jì)算中忽略σ 。

給定初始條件

在本文的第2節(jié)中，將徑向?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為固定域中的方程組。在第3～4節(jié)中，證明了方程組整體解的存在性和唯一性。最后，在第5節(jié)中，考慮一個(gè)特殊情況：腫瘤中的死亡細(xì)胞根本沒(méi)有消解，即KR=0,并證明了當(dāng)t →∞時(shí)，有R(t)→∞。

2 轉(zhuǎn)換方程組

為了能夠更簡(jiǎn)便地求解以上方程組，本文將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)與之等價(jià)的固定區(qū)域進(jìn)行求解?？紤]營(yíng)養(yǎng)物濃度的方程及邊界條件[12]，可得