考慮限制性賣空的多期模糊投資組合優(yōu)化模型

陳思豆，黃卓銓，楊興雨

（廣東工業(yè)大學 管理學院，廣東 廣州 510520）

投資組合選擇是指在可供選擇的多種資產(chǎn)上科學地分配財富，從而達到最大化收益、最小化風險等目的。Markowitz[1]提出了均值?方差(Mean-variance,MV)模型，為現(xiàn)代投資組合理論奠定了基礎(chǔ)。該模型假設(shè)資產(chǎn)的收益為隨機變量，分別用均值和方差度量資產(chǎn)組合的收益和風險。隨后，許多學者在MV模型的基礎(chǔ)上進行了廣泛的推廣[2-4]。

傳統(tǒng)的投資組合模型大多基于隨機環(huán)境，利用隨機變量來刻畫資產(chǎn)價格的不確定性。然而，在現(xiàn)實金融市場中投資組合決策往往受到許多非概率因素的影響，如專家意見、投資者情緒等，這些因素在很大程度上表現(xiàn)為模糊不確定性。自Zadeh[5]提出了模糊集合理論后，許多學者借助該理論研究不確定環(huán)境下的投資組合問題，并取得了豐富的研究成果[6-9]。上述文獻均采用可能性測度刻畫金融市場的模糊不確定性，但是可能性測度存在一定的局限性，即它不滿足自對偶性。為改善這一缺陷，Liu等[10]提出了一個具有自對偶性的模糊測度，即可信性測度。Kamdem等[11]定義了模糊變量的可信性矩和半矩，提出了一個均值?方差?偏度?半峰度模糊投資組合模型。王燦杰等[12]建立了帶融資約束的可信性均值?熵?偏度投資組合模型。Zhang[13]考慮交易費用對投資組合的影響，提出了具有不同交易費用的均值?方差隨機可信性投資組合模型。

賣空交易對證券市場穩(wěn)定以及價格發(fā)現(xiàn)都具有積極的作用。劉明明等[14]考慮了允許賣空的情形，在存在摩擦的金融市場中構(gòu)建了一個均值?絕對離差投資組合模型。張鵬等[15]假定賣空所得資金與自有資本的比例為定值且資產(chǎn)交易量具有上界限制，提出了限制性賣空情況下的均值?方差投資組合模型。李晨等[16]考慮了允許賣空情形下包含多約束的均值?絕對偏差投資組合模型。孫薇等[17]考慮允許賣空和不允許賣空的投資組合問題，建立了具有投資限制的模糊隨機均值?方差投資組合模型。

在現(xiàn)實投資決策中，投資者通常需要不斷地調(diào)整投資策略，即投資決策過程是多期的。Guo等[18]基于可信性理論研究資產(chǎn)具有不同投資期限情況下的投資組合問題，構(gòu)建了一個帶V型交易費用的多期模糊投資組合模型。Gupta等[19]研究了樂觀與悲觀情形下的投資組合問題，建立了多期直覺模糊投資組合選擇模型。在實際投資過程中，當投資者的財富低于預(yù)定水平時，其將面臨破產(chǎn)的情形，故有必要對破產(chǎn)事件的發(fā)生進行控制。徐維軍等[20]構(gòu)建了一個具有破產(chǎn)風險約束的多項目模糊投資組合模型。Liu等[21]提出了一個模糊環(huán)境下具有破產(chǎn)控制和反饋控制的多期投資組合模型。Cao[22]研究了一種基于破產(chǎn)風險控制的多期模糊投資組合模型。

本文研究模糊環(huán)境下考慮限制性賣空的多期投資組合優(yōu)化問題。假設(shè)投資者當前持有一個資產(chǎn)組合，計劃連續(xù)投資若干期，在每期期初將財富重新分配于各資產(chǎn)上?？紤]到現(xiàn)實證券交易中存在賣空操作，因此允許投資者在投資過程中進行有一定限額的賣空交易。首先，將資產(chǎn)收益視為梯形模糊數(shù)，用可信性期望和下半方差分別度量資產(chǎn)組合的收益和風險。其次，引入單期最低期望收益約束、破產(chǎn)控制約束與投資比例邊界約束等約束，以最大化終端累積財富和偏度、最小化終端累積風險為目標，構(gòu)建考慮限制性賣空的多期可信性均值?下半方差?偏度投資組合優(yōu)化模型，并采用加權(quán)極大?極小模糊規(guī)劃方法將該模型轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃模型。然后，設(shè)計一個多種群粒子群算法進行求解。最后，利用真實股票數(shù)據(jù)進行數(shù)值算例分析，說明所提出的優(yōu)化模型及求解算法的可行性和實用性。

1 預(yù)備知識

本節(jié)簡要地介紹本文所涉及的模糊數(shù)學相關(guān)知識。

對于任意的x ∈R，隸屬函數(shù)μ(x)表示模糊變量ξ=x的可能性。若模糊變量ξ的隸屬函數(shù)μ(x)滿足如下形式

則稱ξ為梯形模糊數(shù)，記為ξ=(a,b,α,β)。

定義1[23]設(shè)模糊變量ξ的隸屬函數(shù)為μ(x)。對于任意的γ ∈(0,1]，稱集合{x ∈R:μ(x)≥γ}為模糊變量ξ 的γ水平截集。

易知，梯形模糊數(shù)ξ=(a,b,α,β)的γ水平截集為

定義2[10]對于任意的r ∈R，模糊事件{ξ ≤r}的可能性、必要性與可信性分別定義為

稱Pos、Nec與C r分別為可能性、必要性與可信性算子。

容易看出， Cr具有自對偶性，即Cr{ξ ≤r}+Cr{ξ ＞r}=1。

對于梯形模糊數(shù)ξ=(a,b,α,β)，模糊事件{ξ ≤r}的可信性為

引理1[23]設(shè)ξ=(a1,b1,α1,β1) 和η=(a2,b2,α2,β2)為兩個相互獨立的梯形模糊數(shù)，ρ 為實數(shù)，則有

表2 投資組合的最優(yōu)投資策略Table 2 The optimal investment strategy of the portfolio

圖2 MPSO與PSO算法的收斂過程Fig.2 The convergence processes of the MPSO and PSOs

圖3 MPSO算法在4次測試中的收斂過程Fig.3 The convergence processes of the MPSO in four tests

由圖2可知，MPSO算法所得到的解最佳，PSO算法在5次運行中的收斂結(jié)果不穩(wěn)定。這說明了MPSO算法與PSO算法相比具有更好的性能。由圖3可知，MPSO算法在4次測試中的收斂結(jié)果差異較小，說明該算法具有較好的穩(wěn)定性。綜上所述，MPSO算法可以有效地求解復(fù)雜優(yōu)化問題，且穩(wěn)定地保持良好的性能。

為討論投資比例邊界約束對投資決策的影響，利用所設(shè)計的算法分別對具有不同投資比例上界和下界的投資組合模型進行求解，結(jié)果如表3和4所示。

表3 不同投資比例上界u i下的最優(yōu)投資策略(li=?0.2)Table 3 The optimal investment strategy under different upper bounds ui of the portfolio (li=?0.2)

由表3可知，當投資比例上界較大時，投資者可選擇的策略相對較多，其更傾向于集中投資少量股票，所獲得的終端累積財富較多，且終端累積偏度較大；當投資比例上界較小時，投資者可選擇的策略相對較少，其更傾向于選擇較為分散的投資策略，所承擔的終端累積風險較小。由表4可知，當投資比例下界較小時，特別是允許賣空操作時，投資者可選擇的策略相對較多，其更傾向于賣空資產(chǎn)，所獲得的終端累積財富較多，且終端累積偏度較大；當投資比例下界較大時，投資者可選擇的策略相對較少，其更傾向于選擇較為保守的策略，即較少或不進行賣空操作，所承擔的終端累積風險較小。

表4 不同投資比例下界li下的最優(yōu)投資策略(ui=0.6)Table 4 The optimal investment strategy under different lower bounds li of the portfolio (ui=0.6)

為討論不同目標偏好對投資決策的影響，求解不同目標權(quán)重下的模型 P5，結(jié)果如表5所示。

由表5可知，不同權(quán)重偏好的投資者的最優(yōu)投資組合策略不同。當投資者看重終端累積財富時，會賦予財富目標較高的權(quán)重，其所獲得的終端累積財富較多；當投資者看重終端累積風險時，會賦予風險目標較高的權(quán)重，其所承擔的終端累積風險較低；當投資者看重終端累積偏度時，會賦予偏度目標較高的權(quán)重，其所構(gòu)建的投資組合的終端累積偏度較高。因此，本文所提出的模型可以有效地為不同目標偏好的投資者提供決策支持。投資者可以根據(jù)自身需要，靈活地選取模型中各個目標的權(quán)重。

5 結(jié)論

考慮到賣空交易是金融市場上常見的一種投資行為，本文建立了考慮限制性賣空的多期模糊均值?下半方差?偏度投資組合優(yōu)化模型，并設(shè)計了一個多種群粒子群算法進行求解。同時，利用真實股票數(shù)據(jù)進行實例分析，說明了所設(shè)計算法具有良好的性能和穩(wěn)定性，所構(gòu)建的多期模糊投資組合模型可以為投資者提供決策支持。在實際投資過程中，存在許多影響投資決策的現(xiàn)實因素，本文僅考慮了限制性賣空與交易費用，未來擬對考慮更全面的現(xiàn)實因素的多期模糊投資組合問題作進一步探討。

表5 不同權(quán)重下的最優(yōu)投資策略Table 5 The optimal investment strategy under different weights