高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究

周理園 陳康輝

摘要：高中數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)中占有重要地位。長(zhǎng)期以來，受應(yīng)試教育的影響，教師在概念教學(xué)時(shí)容易走過場(chǎng)，輕概念，重解題的現(xiàn)象十分普遍。概念教學(xué)常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式，其結(jié)果是學(xué)生把握不了概念的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)在做題時(shí)出現(xiàn)這樣或那樣的概念性錯(cuò)誤。本文以函數(shù)的奇偶性為例，提出高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的六種策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

2003年4月教育部公布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，在這次的課程改革中針對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)明確提出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動(dòng)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡?！盵1]

高中數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞。長(zhǎng)期以來，受應(yīng)試教育的影響，教師不重視概念課，概念教學(xué)容易走過場(chǎng)，輕概念，重解題的現(xiàn)象十分普遍。許多老師沒有把概念教學(xué)的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中，概念教學(xué)往往先講數(shù)學(xué)定義，再講幾個(gè)注意點(diǎn)就結(jié)束概念教學(xué)，讓學(xué)生通過反復(fù)閱讀和記憶，把這些概念記熟，就完成教學(xué)任務(wù)，缺乏概念的生成過程。接著就是大量的習(xí)題，過分強(qiáng)調(diào)解題的技巧和方法。沒有給學(xué)生提供充分概括概念本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為多做幾道題更實(shí)惠，這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵和外延掌握不夠深入、透徹，生搬硬套的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，把握不了概念的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)在做題時(shí)出現(xiàn)這樣或那樣的概念性錯(cuò)誤。老師和學(xué)生為了提高成績(jī)，陷入了無休止的題海戰(zhàn)術(shù)之中。以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正。否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)耗費(fèi)了大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，數(shù)學(xué)育人終將落空。

筆者在2021年10月26日聆聽了本校高一年級(jí)數(shù)學(xué)組王老師的公開課，授課內(nèi)容是函數(shù)的奇偶性。本節(jié)課王老師很好地突破了本節(jié)課的重難點(diǎn)，是一節(jié)高質(zhì)量的概念課。筆者結(jié)合這節(jié)課王老師所采用的教學(xué)策略，談?wù)勛约宏P(guān)于高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略的一些思考與體會(huì)，并提出六點(diǎn)教學(xué)策略。

1.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在許多情況下，高中生不熱愛數(shù)學(xué)的一個(gè)重要原因是感覺高中數(shù)學(xué)知識(shí)太抽象，內(nèi)容枯燥無味，數(shù)學(xué)定義、符號(hào)、定理多，數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化表征與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系逐漸疏遠(yuǎn)，致使很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)表現(xiàn)毫無興趣，上數(shù)學(xué)課注意力不集中，不愿意參與課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)等等，老師感覺教學(xué)費(fèi)勁，學(xué)生學(xué)起來也吃力。創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫晨蓪⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)變得豐富多彩，使得數(shù)學(xué)知識(shí)更具有實(shí)際意義，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)興趣。需要注意的是，創(chuàng)設(shè)的情境應(yīng)符合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，為落實(shí)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)所設(shè)定的教學(xué)背景，以此背景為依托，將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于其產(chǎn)生和運(yùn)用的實(shí)際環(huán)境之中，為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)理解提供必要的概念框架。

王老師在講授函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先提出了兩個(gè)問題情境，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生的求知欲，使學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)下進(jìn)行學(xué)習(xí)。這種從新舊知識(shí)的連接點(diǎn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境的方法，既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，又揭示了新概念形成的合理性和必然性，是一種很自然的情境引入方法。兩個(gè)問題情境如下：

問題1：什么是軸對(duì)稱圖形？什么是中心對(duì)稱圖形？

問題2：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)是 ，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)是 ，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 。

2.以問題為驅(qū)動(dòng)，體現(xiàn)概念的生成過程。事實(shí)上，數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)就是關(guān)于問題的研究。

要使學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，就要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，而以問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)策略可以很好地解決這個(gè)難點(diǎn)。需要指出的是，問題驅(qū)動(dòng)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)置恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題促使學(xué)生研究和思考。多個(gè)問題形成的問題串，可以讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式下，經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維參與過程，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生通過對(duì)問題的研究，來挖掘問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維方法，還原概念形成的概括過程，讓學(xué)生來挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。這也是人民教育出版社研究室章建躍博士和深圳市教育科學(xué)院數(shù)學(xué)研究員李志敏特級(jí)教師一直所倡導(dǎo)的概念教學(xué)策略。

筆者聽的這節(jié)公開課，王老師很好地執(zhí)行的以問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)策略，既有情境性問題，也有鋪墊性問題，也有辨析性問題。下面簡(jiǎn)單列出他本節(jié)課所提出的一些問題。

問題3：利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像，觀察圖像，請(qǐng)你說說它們有什么共同特征？你能說說什么叫做軸對(duì)稱圖形嗎？

問題4：填寫表格，并觀察表格，請(qǐng)你說說哪些點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱？這些點(diǎn)的對(duì)稱能用坐標(biāo)的關(guān)系表示嗎？這些點(diǎn)的特點(diǎn)與函數(shù)解析式有什么聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)函數(shù)圖像的幾何特征過渡到代數(shù)特征的關(guān)注，把圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行研究。

王老師以問題串的形式，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，帶領(lǐng)學(xué)生一起自主研究，探究合、合作交流，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)概念的生成過程，概念的講解水到渠成，問題設(shè)置很有針對(duì)性，本節(jié)課很好地突破了本節(jié)課的概念難點(diǎn)，讓學(xué)生總結(jié)出偶函數(shù)的定義。

3.類比策略，挖掘類似概念的本質(zhì)特征。類比法用于概念教學(xué)時(shí)，比較適用于兩個(gè)平行或者說并列的概念，這樣學(xué)生才會(huì)有比較好的學(xué)習(xí)效果。在類比的過程中，學(xué)生完全可以通過自己思維活動(dòng)的實(shí)踐，主動(dòng)建構(gòu)對(duì)應(yīng)并列概念的理解。類似這樣的概念，在高中數(shù)學(xué)課本中有很多，比如，奇函數(shù)與偶函數(shù)，增函數(shù)與減函數(shù)，等差數(shù)列與等比數(shù)列，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，平面向量與空間向量，橢圓與雙曲線等等。在教學(xué)過程中，我們而已借助它們之間這種特殊關(guān)系，利用已有的概念來實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)概念的理解與建構(gòu)，并且這種概念生成過程可以由學(xué)生自主完成，教師在其中充當(dāng)引導(dǎo)著。利用類比策略教學(xué)時(shí)，理解被類似概念的涵義是前提和關(guān)鍵，同時(shí)又可以反過來促進(jìn)概念的鞏固和理解，進(jìn)一步可以挖掘概念的本質(zhì)內(nèi)涵與外延。

在本節(jié)的函數(shù)奇偶性課上，王老師也很好地采用類比的教學(xué)策略，通過先引導(dǎo)學(xué)生得出偶函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言定義，再通過類比策略，利用畫圖描點(diǎn)，觀察圖像特征，自變量與函數(shù)值特征，讓學(xué)生概括出奇函數(shù)的定義。概念的生成過程水到渠成，不失為本節(jié)課的一大亮點(diǎn)。

4.優(yōu)化概念變式訓(xùn)練，進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)。變式訓(xùn)練是指通過變式的方法與途徑引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練的教學(xué)方式。變式教學(xué)，變的是問題的條件、結(jié)論、形式，不變的是問題的根本屬性，促使學(xué)生對(duì)通過變式，讓學(xué)生在變式中思維，在變式中把握知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律，在變式中深化對(duì)知識(shí)的理解，在變式中進(jìn)一步對(duì)概念的理解，從而提高學(xué)生的綜合能力和素養(yǎng)。在概念教學(xué)中，變式訓(xùn)練聚焦于學(xué)生體現(xiàn)概念的正反例子，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行辨別判斷，增強(qiáng)它們對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的理解、掌握以及運(yùn)用。例如，在本節(jié)函數(shù)的奇偶性課上，王老師列舉了幾個(gè)重要的變式訓(xùn)練，具體如下：

變式訓(xùn)練1：

若函數(shù)滿足，能否說明函數(shù)是上的偶函數(shù)？

變式訓(xùn)練2：若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則滿足。

以上2個(gè)變式訓(xùn)練能夠很好地幫助學(xué)生理解奇偶函數(shù)的概念及注意要點(diǎn)，推導(dǎo)出奇偶函數(shù)的定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反之，不成立?？傊兪接?xùn)練不但可以幫助教師更有針對(duì)性指引學(xué)生在變的表征中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)屬性，從不變的根本屬性中探尋變的規(guī)律。同時(shí)還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力方面有著不可低估的作用。

5.先學(xué)后教，提前熟悉相關(guān)概念內(nèi)容。傳統(tǒng)教學(xué)往往忽視學(xué)生得主體作用，課堂教學(xué)把學(xué)生作為灌輸?shù)脤?duì)象，學(xué)生的頭腦成了知識(shí)的容器，照本宣科，一講到底的現(xiàn)象普遍存在。長(zhǎng)期以來，教師講，學(xué)生被動(dòng)聽，教師示范，學(xué)生練習(xí)已經(jīng)成立主要的教學(xué)方法，其結(jié)果是教師講的辛苦，學(xué)生學(xué)得吃力，教學(xué)效果不好。為了改變這一傳統(tǒng)的注入式教學(xué)方式，我們認(rèn)為先學(xué)后教的教學(xué)策略，可以有效克服傳統(tǒng)教學(xué)的弊端，不僅使學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，而且可以有效提高教師課堂教學(xué)效率，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

所謂先學(xué)后教就是先在上新概念課時(shí)讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，這里教師可以提出教學(xué)目標(biāo)和具體的學(xué)習(xí)要求，讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)自主學(xué)習(xí)相關(guān)的概念及問題。自主學(xué)習(xí)的材料包括教材、課外資料和網(wǎng)上資料等等，教師也可推送相關(guān)的學(xué)習(xí)視頻和學(xué)習(xí)素材，通過布置一些具體的學(xué)習(xí)問題讓學(xué)生提前自學(xué)。老師第二天再組織課堂教學(xué)。在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，課堂教學(xué)主要開展三個(gè)方面工作：一是生生互動(dòng)，即學(xué)生之間分組討論，互幫互學(xué)，并提交小組不能解決的難點(diǎn)和疑點(diǎn)。二是師生互動(dòng)，即學(xué)生向老師提出問題，或老師向?qū)W生提出值得進(jìn)一步討論的問題，要求學(xué)生進(jìn)行思考和研究。三是反饋補(bǔ)償，即教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，編制相關(guān)的達(dá)標(biāo)測(cè)試題，進(jìn)行診斷性測(cè)試，并根據(jù)測(cè)試情況給予補(bǔ)償。

6.信息技術(shù)與教育相融合，深度理解概念的本質(zhì)。隨著互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、人工智能等技術(shù)在教育中的應(yīng)用，智慧教育、數(shù)字化校園、慕課與微課、翻轉(zhuǎn)課堂等以網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)為支持的新教育模式蓬勃興起，教育正迎來信息技術(shù)引發(fā)的改革創(chuàng)新的新時(shí)代。我們的教師也應(yīng)該跟上這個(gè)快速變革的時(shí)代，學(xué)會(huì)利用信息技術(shù)來輔助的概念教學(xué)。在傳統(tǒng)的概念教學(xué)基礎(chǔ)上，適當(dāng)引進(jìn)多媒體輔助教學(xué)，可以利用幾何畫板、幾何圖霸、圖形計(jì)算器等多種數(shù)學(xué)工具，以輔助教學(xué)，可以有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也可以適一些抽象的數(shù)學(xué)概念變得更加具體生動(dòng)，通過數(shù)形結(jié)合的方面，能夠有效地幫助學(xué)生理解概念的根本屬性。例如，在講解函數(shù)的奇偶性、橢圓的概念、三角函數(shù)的單位圓定義，就可以借助多媒體輔助教學(xué)。事實(shí)證明，教學(xué)效率良好，學(xué)生學(xué)起來也不那么費(fèi)勁

綜上所述，教師在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，要根據(jù)本班學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，努力提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。以問題為驅(qū)動(dòng)，努力揭示概念的生成和發(fā)展過程。教師通過問題啟發(fā)，把實(shí)質(zhì)性的概括機(jī)會(huì)留給學(xué)生。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、合作探究等學(xué)習(xí)方式，注重學(xué)生思維參與和感悟概念的形成過程。同時(shí)借助多媒體輔助技術(shù)，通過典型的變式訓(xùn)練和例題，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和總結(jié)概念的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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