牙膏銷售量問題的微分方程模型

王智峰 陳傳軍 孫豐云

【摘要】針對牙膏銷售量問題，本文改進了回歸分析模型，建立了微分方程模型進行銷售量的預(yù)測，最后給出了靈敏度分析和穩(wěn)定性分析.

【關(guān)鍵詞】牙膏銷售量;微分方程模型;回歸分析模型

【基金項目】高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心資助（No.CMC20190408），煙臺大學(xué)教學(xué)改革研究項目資助（No.jyxm2019041），山東省高等教育本科教改項目（No.Z2018S049）

一、引 言

在姜啟源、謝金星、葉俊編著的《數(shù)學(xué)建模》（第4版）[1]的第十章中，提出了牙膏銷售量問題.已知的數(shù)據(jù)包括三部分：某廠家的價格與其他廠家的價格差，廣告投入，牙膏銷售量.問題要求建立預(yù)測牙膏銷售量的數(shù)學(xué)模型.書中針對已知數(shù)據(jù)進行分析，如圖1，圖2所示，銷售量和價格差呈線性關(guān)系，銷售量與廣告費用呈二次函數(shù)關(guān)系.

基于以上的數(shù)據(jù)分析，書中建立了銷售量y與價格差x1、廣告費用x2之間的多元線性回歸分析模型為：

y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ε.（1）

其中βi，i=0，…，3是回歸系數(shù).

利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB[2]或SPSS[3]，結(jié)合已有的數(shù)據(jù)可以估計出回歸系數(shù)，得到預(yù)測銷售量的回歸分析模型為：

y=17.3+1.3x1-3.7x2+0.3x22.（2）

分析模型（2）可知：隨著x2增大，銷售量y會越來越大.當(dāng)x2趨于無窮時，銷售量y也趨于無窮.這個顯然不符合實際情況，因為銷售量會受市場影響，最終會達到市場飽和狀態(tài)，而不會趨于無窮.

二、模型改進

隨著廣告費用x2的增加，銷售量y會達到市場飽和量，這個變化趨勢與人口預(yù)測問題中的阻滯增長模型相似，因此，我們使用微分方程模型來研究這個問題.

以廣告費用x2為自變量，價格差x1為已知的變量，銷售量為因變量，結(jié)合阻滯增長模型，建立如下微分方程模型：

dydx2=（a+bx1）y1-yym，y（0，5.5）=7.5.（3）

其中ym代表市場飽和量，a，b是待定系數(shù).

根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，結(jié)合MATLAB[2]軟件可以得到待定系數(shù)a，b以及市場飽和量ym的估計值，因此，銷售量y與價格差x1、廣告費用x2之間的關(guān)系式如下：

y=149.2e（x2（0.03+0.31x1））19.9+15e（x2（0.03+0.31x1））-15.（4）

其中ym=9.95.

利用牙膏銷售量模型的解析解表達式（4）式，結(jié)合已知的價格差x1、廣告費用x2的數(shù)據(jù)，對銷售量y進行預(yù)測.

在圖3中，“”代表已有的銷售量數(shù)據(jù)，曲線代表將已有的價格差、廣告費用的數(shù)據(jù)代入表達式（4）中后，計算出來的銷售量的預(yù)測值.由圖3可知，微分方程模型可以很好地描述銷售量的變化趨勢，并能刻畫出銷售量隨著時間周期變化的情況.

三、模型檢驗

在使用模型解決問題之前，需要對模型進行檢驗分析.微分方程模型（3）的檢驗主要包括穩(wěn)定性分析和靈敏度分析兩個方面.首先我們根據(jù)定性分析[4]方法給出穩(wěn)定性分析.

微分方程模型（3）的右端項不顯含自變量x2，因此，模型（3）屬于一維自治系統(tǒng)，我們使用自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性原理進行分析.

我們記右端項為

F（y）=（a+bx1）y1-yym.（5）

令F（y）=0，可得兩個平衡點為：

y1=ym或y2=0.

現(xiàn)分析右端項的一階導(dǎo)數(shù)在兩個平衡點處的符號：

（1）當(dāng)x1<-ck=-0.09，F(xiàn)′（0）=a+bx1<0.

（2）當(dāng)x1>-ck=-0.09，F(xiàn)′（ym）=-（a+bx1）<0.

結(jié)合穩(wěn)定性原理可知：當(dāng)價格差大于-0.09時，銷售量隨著廣告費用的增加，最終會穩(wěn)定在市場飽和值ym.如果價格差小于-0.09，即比別的廠家價格高很多的時候，雖然廣告費用不斷增加，但是，最終的銷售量仍然會趨于0.這個結(jié)論是比較符合市場規(guī)律的，說明本文建立的微分方程模型可以很好地刻畫實際情況，也克服了回歸分析模型銷售量隨著廣告費用增加而趨于無窮的弊端.

然后，我們結(jié)合微分方程的解析解（4）式，進行關(guān)于價格差x1的靈敏度分析，如圖4所示.

在圖4中，我們?nèi)〔煌膬r格差x1=[0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6]，畫出牙膏銷售量y隨著廣告費用x2的變化曲線.當(dāng)價格差一定時，隨著廣告費用x2的增加，銷售量會逐漸趨于穩(wěn)定，到達飽和值ym.當(dāng)廣告費用投入比較少時，價格越實惠，銷售量就越大.當(dāng)廣告費用比較大的時候，價格差的作用就比較小了，銷售量會更快達到飽和值ym.這個結(jié)論也是符合市場規(guī)律的.

四、結(jié) 論

結(jié)合牙膏銷售量、價格差、廣告費三組數(shù)據(jù)，本文分析了回歸分析模型的不足之處.本文根據(jù)牙膏銷售量最終會趨于市場飽和量的市場規(guī)律，建立了基于阻滯增長模型的微分方程模型，使用已有的三組數(shù)據(jù)對模型中的未知參數(shù)進行了點估計，得到牙膏銷售量的預(yù)測模型.本文最后對模型進行了穩(wěn)定性分析和靈敏度分析，得到模型是符合市場客觀規(guī)律的結(jié)論.

【參考文獻】

[1]姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]司守奎，孫兆亮. 數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用：第2版[M].北京：國防工業(yè)出版社，2015.

[3]周靜. SPSS在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用實例[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報，2012，14（11）：93-96.

[4]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗：第4版[M].北京：高等教育出版社，2014.