從理想氣體壓強(qiáng)到大氣壓強(qiáng)的教學(xué)討論*

柳福提 張聲遙 盧 清

(宜賓學(xué)院理學(xué)部物理學(xué)院 四川 宜賓 644000)

在初中物理教學(xué)中，要求知道大氣壓強(qiáng)及其與人類(lèi)生活的關(guān)系[1]，“大氣壓強(qiáng)”這節(jié)內(nèi)容一般是安排在壓強(qiáng)、液體壓強(qiáng)的內(nèi)容之后，從非常直觀的固體壓強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出壓強(qiáng)概念，接著討論液體壓強(qiáng)、氣體壓強(qiáng)[2]，后續(xù)還有大氣壓強(qiáng)隨高度的變化、沸點(diǎn)與壓強(qiáng)的關(guān)系等相關(guān)問(wèn)題，這樣安排有其知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)的好處，但學(xué)生往往也容易采用類(lèi)比固體與液體壓強(qiáng)產(chǎn)生的機(jī)理來(lái)理解大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的原因，從而導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，再加上有些習(xí)題或教科書(shū)直接采用宏觀等效的處理辦法，讓學(xué)生認(rèn)為大氣壓強(qiáng)就是由大氣分子受到重力作用而產(chǎn)生的.在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)過(guò)大學(xué)物理后對(duì)大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的物理機(jī)制并不清楚也不是個(gè)別現(xiàn)象.如果沒(méi)有重力的作用，是不是就沒(méi)有大氣壓強(qiáng)呢？根據(jù)分子動(dòng)理論觀點(diǎn)，即使沒(méi)有重力作用，氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)依然會(huì)使分子頻繁地碰撞而產(chǎn)生壓強(qiáng).那大氣壓強(qiáng)的實(shí)質(zhì)究竟是什么呢？它為什么會(huì)隨高度發(fā)生變化呢？針對(duì)這一問(wèn)題，本文從理想氣體壓強(qiáng)到大氣壓強(qiáng)進(jìn)行分析討論，對(duì)學(xué)生建立物理認(rèn)知、培養(yǎng)科學(xué)思維、分析解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義.

1 理想氣體壓強(qiáng)

1.1 理想氣體模型

從分子動(dòng)理論的觀點(diǎn)看，如果分子本身的線度與分子之間的平均距離相比，可以忽略不計(jì)；只有兩個(gè)分子在比較接近時(shí)才有相互作用，即認(rèn)為除碰撞的瞬間外，分子之間以及分子與容器器壁之間無(wú)相互作用；當(dāng)氣體被貯存在容器中時(shí)，其分子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化并不很大，分子受的重力也可忽略；分子之間以及分子與容器器壁之間的碰撞是完全彈性的，即氣體分子的動(dòng)能不因碰撞而損失.我們把滿足以上條件的氣體稱(chēng)為理想氣體模型[3].

1.2 壓強(qiáng)公式

p=nkT

(1)

下面從微觀上來(lái)推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)，從而可以理解壓強(qiáng)產(chǎn)生的物理實(shí)質(zhì).取空間直角坐標(biāo)系Oxyz，在垂直于x軸的器壁上任意取一小塊面積dA，如圖1所示，假設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n， 則dt時(shí)間內(nèi)有∑nivixdtdA個(gè)分子向右運(yùn)動(dòng)與器壁碰撞，每一個(gè)分子與器壁發(fā)生彈性碰撞，動(dòng)量改變量為2mvix，利用沖量定理可求出器壁的壓強(qiáng)為

圖1 理想氣體分子運(yùn)動(dòng)示意圖

如果令

再根據(jù)氣體分子在平衡態(tài)時(shí)向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，即

就可以計(jì)算器壁的壓強(qiáng)為

(2)

(3)

該式表明氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān)，直接解釋了高中物理教材中“溫度是物質(zhì)分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能的標(biāo)志”的意義[6]，它從微觀的角度闡明了溫度的實(shí)質(zhì).從式(2)可以看出，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的理想氣體的壓強(qiáng),是由單位體積的粒子數(shù)及分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度兩個(gè)因素來(lái)決定，如果系統(tǒng)粒子數(shù)與溫度均勻分布，系統(tǒng)內(nèi)壓強(qiáng)也就處處相等.

2 大氣壓強(qiáng)

地球周?chē)錆M大氣，假設(shè)溫度均勻分布，無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)會(huì)使氣體分子均勻分布于它們所能達(dá)到的空間，而大氣分子同時(shí)由于受到重力的作用，會(huì)使氣體分子向地球表面聚集，在這兩種作用達(dá)到平衡時(shí)，氣體分子在地球周?chē)姆植季褪欠蔷鶆虻模簿蜁?huì)導(dǎo)致大氣壓強(qiáng)會(huì)隨著高度發(fā)生變化.

2.1 大氣分子按高度的分布

根據(jù)麥克斯韋速度分布律，當(dāng)系統(tǒng)在重力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)，其坐標(biāo)介于區(qū)間x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vx→vx+dvx，vy→vy+dvy，vz→vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為

(4)

式中n0表示在勢(shì)能εp為零處單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為玻爾茲曼分布律.如果取上式對(duì)所有可能的速度積分，考慮到麥克斯韋分布函數(shù)所應(yīng)滿足的歸一化條件

則式(4)可寫(xiě)為

即單位體積內(nèi)的分子數(shù)為

(5)

即分子按勢(shì)能的分布律，說(shuō)明在重力場(chǎng)中，由于分子受重力作用，在地球表面(z=0)處的分子數(shù)密度最大用n0表示，分子數(shù)密度n隨著高度z的增加按指數(shù)規(guī)律減小，當(dāng)z為無(wú)窮大時(shí)，n趨近于零，具體變化關(guān)系如圖2所示.

圖2 重力場(chǎng)中粒子數(shù)密度隨高度的變化關(guān)系

2.2 大氣壓強(qiáng)隨高度的變化

把式(5)代入式(1)很容易確定大氣壓強(qiáng)隨高度的變化規(guī)律，即

(6)

該式稱(chēng)為等溫氣壓公式，p0為高度z=0處的壓強(qiáng)，隨著高度的增加，大氣壓減小.當(dāng)z→∞時(shí)，因?yàn)榱Ｗ訑?shù)密度n趨于零，所以p→0.利用式(6)可以通過(guò)測(cè)量溫度(假設(shè)地球大氣等溫)，測(cè)出飛機(jī)起飛前、后機(jī)艙中的壓強(qiáng)，就可以計(jì)算出飛機(jī)距離地面的高度，在生活生產(chǎn)中有廣泛應(yīng)用.

2.3 大氣壓強(qiáng)與重力的關(guān)系

如圖3所示，設(shè)底面積為S的圓柱，在高度為z處取一個(gè)高為dz的圓柱體積元，由于dz很小，近似認(rèn)為這個(gè)體積內(nèi)的氣體分子均勻分布，粒子數(shù)密度用n表示，下表面處的壓強(qiáng)為p，上表面處的壓強(qiáng)為p+dp，根據(jù)平衡受力分析可得pS=nmgSdz+(p+dp)S，化簡(jiǎn)為

dp=-ρgdz

(7)

其中ρ=nm，上式實(shí)際上也可以由式(6)兩邊微分得出，結(jié)果一樣.

圖3 大氣層中體積元的受力分析圖

設(shè)大氣層的厚度為z，當(dāng)z→，由于粒子數(shù)密度n→0，因此p→0，對(duì)式(7)兩邊積分

(8)

式中的p0就是z=0的大氣壓強(qiáng)，G為z=0處至大氣層頂部的氣柱的重力大小.所以式(8)表明地球表面處大氣壓強(qiáng)的大小就等于單位橫截面積上整個(gè)空氣柱的重力，因此就出現(xiàn)“大氣壓是由于大氣層受到重力作用而產(chǎn)生的” 這一等效說(shuō)法，這僅僅表明大氣壓強(qiáng)與相應(yīng)空氣柱的重力的數(shù)值關(guān)系.如估算大氣層氣體的總重量，就可以根據(jù)式(8)得G=p0S=p04πR2，只要知道地球半徑R和地表大氣壓強(qiáng)p0的大小就可近似求出大氣層氣體的總重量[7].

從宏觀的角度看，大氣壓強(qiáng)的大小與其單位面積上整個(gè)空氣柱的重力相等，但不能因此就認(rèn)為大氣壓強(qiáng)是由空氣重力引起的.如果對(duì)于初中階段不涉及大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的微觀機(jī)理，這種等效是一種迫不得已的變通說(shuō)法，可以讓學(xué)生感知大氣壓強(qiáng)的存在，但不利于理解大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的原因，從而形成正確的物理觀念.

3 討論

在高度變化不是很大的情況下，我們討論的大氣分子由于勢(shì)能變化很小，認(rèn)為系統(tǒng)中的分子近似均勻分布，大氣可以近似為理想氣體；當(dāng)高度變化比較大，明顯導(dǎo)致分子分布不均勻時(shí)，我們必須根據(jù)粒子按勢(shì)能分布律考慮粒子數(shù)密度隨高度變化，從而導(dǎo)致壓強(qiáng)變化的情況.弄清楚大氣壓強(qiáng)的物理實(shí)質(zhì)，就很容易理解大氣壓的一些相關(guān)問(wèn)題.

問(wèn)題一：如果將一個(gè)開(kāi)口的容器置于空氣中，假設(shè)此時(shí)大氣壓為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(101.325 kPa)，如果將瓶口密封，這時(shí)瓶?jī)?nèi)空氣壓強(qiáng)怎么變化[4]？按照大氣壓強(qiáng)與空氣柱重力的關(guān)系，密封之后上面的空氣柱重力變小，那瓶?jī)?nèi)空氣壓強(qiáng)是否會(huì)變小呢？開(kāi)口時(shí)瓶?jī)?nèi)空氣壓強(qiáng)的大小可以等效為瓶口以上單位面積上直至大氣層頂端空氣柱的重力，而當(dāng)瓶口密封后，考慮容器本身的高度不是很大，分子勢(shì)能變化可以忽略，可以把容器里面的氣體近似看作理想氣體，由于粒子數(shù)密度、溫度與密封前相比較沒(méi)有發(fā)生改變，因此壓強(qiáng)不會(huì)發(fā)生變化，仍為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓.

問(wèn)題二：關(guān)于地面附近的大氣壓強(qiáng)，我們可以說(shuō)“這個(gè)壓強(qiáng)是由地面附近那些做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的空氣分子對(duì)每平方米地面的碰撞造成的.”也可以說(shuō)“這個(gè)壓強(qiáng)與地面上方單位體積內(nèi)氣體分子數(shù)有關(guān)，又與地面附近的溫度有關(guān).”還可以說(shuō)“這個(gè)壓強(qiáng)就是地面每平方米面積的上方整個(gè)大氣柱的壓力，它等于該氣柱的重力.”[8]其實(shí)第一種說(shuō)法就是根據(jù)壓強(qiáng)的定義闡述了大氣壓強(qiáng)產(chǎn)生的微觀物理機(jī)制；而第二種說(shuō)法是把大氣的局部看作理想氣體，根據(jù)壓強(qiáng)p=nkT的正確表述；第三種說(shuō)法是大氣壓強(qiáng)與空氣重力關(guān)系的表述，在數(shù)值上是相等的，因此很容易看出3種說(shuō)法都是正確的.

4 小結(jié)