基于虛擬孔徑擴展的稀疏嵌套陣設(shè)計

閆肅

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

近年來稀疏陣列因其在減少陣元和增加自由度方面的優(yōu)勢而備受關(guān)注[1-2]. 通過對接收信號的協(xié)方差矩陣矢量化，能生成一個等效的差分共陣(difference co-array,DCA)，其自由度(degree of freedom,DOF)從O(N)增大到O(N2)[1]. 在虛擬陣列上使用子空間方法[2]或壓縮感知方法[2]，可以檢測到空間中的更多信源，獲得更高的空間分辨率. 基于該方法，許多稀疏結(jié)構(gòu)[1-6]及應(yīng)用[7-10]相繼被提出，其中最著名的是嵌套陣[1]和互質(zhì)陣[2-3].

基于子陣的陣元間距和陣元數(shù)的互質(zhì)性，提出的互質(zhì)陣列[2-3]，被用來避免空間混疊，降低陣元間耦合，其自由度沒有明顯提升. 嵌套陣列(nested array,NA)[1]由N1+1個位于Sd={l|l∈[1,N1+1]}且陣元間距為1個單位的密集陣元，與N2個位于Ss={(N1+1)l|l∈[2,N2+1]}且相鄰陣元間距為N1+1個單位的稀疏陣元組成. 其任意兩陣元的位置差可以產(chǎn)生任意非負整數(shù)v=v1(N1+1)+v2，其中v1∈[0,N2]，v2∈[0,N1]. 因此，其DCA連續(xù)長度為N2(N1+1)+N1. 由于受到其無孔特性的限制，如果不擴展物理孔徑，嵌套陣將無法獲得更高自由度. 為解決這個問題，文獻[7]提出的ANAI結(jié)構(gòu)，將密集子陣分為兩個子陣R11和R12(R11∪R12=Sd)，并把R12移到稀疏子陣的右側(cè). 因此，在[0,N2(N1+1)+N1]范圍內(nèi)的虛擬陣元仍然是連續(xù)的. 此外，由v=N2(N1+1)+v2(其中v2∈R11⊕R12)產(chǎn)生的額外虛擬段會使自由度增加. (符號⊕代表兩個子陣的直和. )基于ANAI概念，進一步提出了改進的嵌套陣列(improved nested array,INA)[9]和ANAI-2[5]. 本文將這種中間具有稀疏均勻線陣(uniform linear array,ULA)且兩側(cè)具有兩個稀疏非均勻線陣的嵌套陣列，稱為三段式嵌套陣(3-segment nested arrays,3sNA). 此結(jié)構(gòu)能有效地增大DOF. 但由于R11和R12中的最大元素不大于N1，其最大自由度不會超過(N1+1)N2+2N1-1. 為突破這一限制，需要放寬R11∪R12=Sd這個條件.

本文根據(jù)v=v1(N1+1)+v2=(v1-1)(N1+1)+(N1+1+v2)這種變形表示，提出了通過減少中間子陣傳感器數(shù)目和擴大N1+1單側(cè)子陣陣元間距來生成非負整數(shù)v，構(gòu)造分布更加稀疏的嵌套陣列方法. 基于該方法，本文進一步提出一種新型稀疏結(jié)構(gòu)——單側(cè)稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA). 與最大陣元間距約束(maximum inter-element spacing constraint,MISC)[10]結(jié)構(gòu)不同的是，OS-SNA的N1既可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù). 并且提供了更高的DOF和完整的結(jié)構(gòu)解析表示.

1 差分共陣概念

(1)

(2)

DS=S-S={Δp=pi-pj|?pi∈S,?pj∈S}

在{Δp|Δp∈[-Lu,Lu]}處提取等效的ULA，其中Lu為自由度，并且在z中平滑相應(yīng)的行，可獲得虛擬單快拍

(3)

2 稀疏嵌套陣策略及OS-SNA結(jié)構(gòu)

2.1 稀疏嵌套陣策略

定義一個整數(shù)ξ和集合A的加法：ξ±A={ξ±a|ξ∈Z,a∈A}. 為了后續(xù)研究方便，本文用相對位置代替物理位置表示稀疏陣.

定義1相對位置(relative position，RP) 對于中心子陣有N2個元素位于(N1+1)l,l∈[2,N2+1]的三段式嵌套陣，相對位置定義為

(4)

式中物理傳感器的位置為S,其相對位置可以表示為{l,l∈S}.

注意0∈R11且0∈R12. 根據(jù)相對位置表達式，可以通過S={N1+1-r|r∈R11}∪{(N1+1)r|r∈[2,N2]}∪{(N1+1)(N2+1)+r|r∈R12}獲得相應(yīng)的傳感器物理位置. 如圖1所示，在一個N1=5，N2=3的ANAI-2結(jié)構(gòu)中，物理傳感器位于S={1,2,4,6,12,18,24,25,27},其相對位置為R11={0,2,4,5},R2={6,12,18},R12={0,1,3}.

(5)

圖1 N1=5和N2=3的ANAI-2結(jié)構(gòu)的虛擬段和RP表示Fig.1 The RP representation and the virtual lags generation of ANAI-2 with N1=5 and N2=3

為了突破上述極限，一個可行方法是增大陣元的間距，增大R1和R2中的最大數(shù). 但陣元的稀疏分布可能會造成差分共陣的不連續(xù). 為了獲得盡可能大的連續(xù)范圍，本文提出了以下稀疏嵌套策略. 當(dāng)v1∈[1,N2],v2∈[0,N1]時，將v=v1(N1+1)+v2重新寫成v=(v1-1)(N1+1)+(v2+N1+1). 可以發(fā)現(xiàn)v3=v2+N1+1是v2的有效替代. 這說明可以在中間子陣放置較少的傳感器和增加兩側(cè)子陣的離散度，在差分共陣中生成一個無孔的Vbody. 例如，對于N1=10的情況，數(shù)字12可以代替1獲得整數(shù)11n+1，其中的n可以是從1開始增大的任一整數(shù). 也就是說，如果在R11或R12中存在1，那么23可以由11×2+1表示；如果R11或R12中沒有1，23也可以由11×1+12表示. 對于以上所述的稀疏嵌套陣的相關(guān)概念，只要在R[R11∪R12]N1+1中的余數(shù)能夠包含的[0,N1]所有整數(shù),虛擬段[N1+1,(N1+1)(N2+1)-1]就是連續(xù)的.R[N]m是{n/m|n∈N}的余數(shù). 因此，大可不必將傳感器放置得很密集，更廣的稀疏度依然可以生成連續(xù)段.

2.2 單邊稀疏嵌套陣結(jié)構(gòu)

基于之前的策略，本文提供一種解析結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)將右側(cè)子陣元素從v2∈[0,N1]拓展到N1+1+v2∈[N1+1,2N1+1]，用以生成更長的連續(xù)范圍.

定義2單邊稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA)對正整數(shù)N1=2l，l≥5且N2≥1，OS-SNA由整數(shù)集合定義為

(6)

對N1=2l-1，l≥6的結(jié)構(gòu)，整數(shù)集合具有下列形式：

(7)

該結(jié)構(gòu)具有下列性質(zhì).

定理1對N1≥10的偶數(shù)，OS-SNA的自由度可以表示為Lu=(N1+1)N2+3N1-3. 對N1≥11的奇數(shù)，OS-SNA的自由度可以表示為Lu=(N1+1)N2+3N1-2.

證明

1) 考慮偶數(shù)N1=2l≥10，根據(jù)上述的相對位置表達式,可以推斷：

②R[R11∪R12]N1+1={0,l∶2l-3,2l,1∶l-1,2l-2,2l-1}=[0,N1]；

③R11?R12={0,l,l+2∶2l-3,2l‖l+1,2l+1,2l+3∶3l-2,3l+1‖2l+2,3l+2,3l+4∶4l-1,4l+2‖2l+3,3l+3,3l+5∶4l,4l+3‖…‖3l,4l,4l+2∶5l-3,5l‖4l-1,5l-1,5l+1∶6l-4,6l-1‖4l,5l,5l+2∶6l-3,6l}?[2l+2,6l-3]=[N1+1,3N1-3].

所以,上述的相對位置表達式能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-3]范圍內(nèi)連續(xù). 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-3.

2) 考慮奇數(shù)N1=2l-1≥11，則

②R[R11∪R12]N1+1={0,l-1,l+1,2l-3∶2l-1,1∶l-2,l,l+2∶2l-4}=[0,2l-1]=[0,N1].

③R11?R12={0,l+1,2l+1∶3l-2,3l,3l+2∶4l-4‖l-1,2l,3l∶4l-3,4l-1,4l+1∶5l-5‖2l-3,3l-2,4l-2∶5l-5,5l-3,5l-1∶6l-7‖2l-2,3l-1,4l-1∶5l-4,5l-2,5l∶6l-6‖2l-1,3l,4l∶5l-3,5l-1,5l+1∶6l-5}={0,l-1,l+1}∪[2l,6l-5]?[2l,6l-5]=[N1+1,3N1-2].

所以,上述相對位置表達式的OS-SNA結(jié)構(gòu)能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-2]范圍內(nèi)連續(xù). 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-2.

圖2 N1=10，N2=2時的OS-SNA的結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The SNA concept illustrated by the proposed OS-SNA with N1=10 and N2=2

3 仿真實驗

3.1 自由度

首先，將NA、ANAI-2、INA、MISC的自由度與提出的OS-SNA的自由度進行比較. 假設(shè)以上所有結(jié)構(gòu)中有N2個元素位于(N1+1)l，l∈[2,N2+1] 的子陣中. 如表1所示，OS-SNA 的自由度是最大的，其次是MISC、INA、ANAI-2和NA. 對于MISC，在N1為偶數(shù)時表達式不存在. 對這幾種不同的結(jié)構(gòu)分別能達到的自由度上限來說，本文提出的策略在理想情況下有可能自由度達到(N1+1)N2+3N1. OS-SNA結(jié)構(gòu)可以識別比上限少2～3個數(shù)量的信源. MISC實際上是SNC概念的框架，它滿足定理1，但是自由度比OS-SNA低.

表1 不同的三段式嵌套陣的自由度比較

3.2 DOA估計

在NA、INA、ANAI-2、MISC、MRA和提出的OS-SNA 6種結(jié)構(gòu)中，假設(shè)有D=23個不相關(guān)信源均勻入射在-30°～30°的區(qū)間內(nèi). 圖3給出了這6種嵌套陣的單次DOA估計結(jié)果. 傳感器數(shù)N=13,N1=11,N2=1.Smra={1,2,3,9,16,17,27,37,47,50,54,56,59}. 信噪比為10 dB. 蒙特卡洛次數(shù)K=2 000. 本文進行了200次蒙特卡洛試驗. 可以看出，NA、INA、ANAI-2、MISC的MUSIC估測結(jié)果中，DOA估計是有明顯錯誤的. 只有OS-SNA和MRA有著更高的自由度，能夠得到正確的預(yù)測.

圖3 6種結(jié)構(gòu)的DOA估計Fig.3 DOA estimations for six kinds of nested arrays

然后，考慮了14個傳感器11個信源的情況(N1=11,N2=2). 其他參數(shù)與上述實驗相同. 圖4(a)為在-15～20 dB的信噪比和快拍數(shù)為2 000下的均方根誤差結(jié)果；圖4(b)為固定信噪比為10 dB時的快拍數(shù)與均方根誤差的變化. 如圖4所示，OS-SNA比其他4種嵌套陣均方根誤差更小且更接近MRA.

圖4 均方差估計Fig.4 RMSEs

4 結(jié) 論

為了在三段式嵌套陣中擴展連續(xù)段的長度，本文提出了一種策略，該策略通過將中心子陣借出N1+1長度到兩側(cè)子陣來使陣形更加稀疏化. 在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的具有完整解析表達式的結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)具有比現(xiàn)有嵌套陣列更高的自由度. 仿真結(jié)果驗證了其有效性.