求空間角的三種思路

陳玲

立體幾何中的空間角問題在高考數(shù)學(xué)試題中扮演著“常客”的角色，主要考查立體幾何中異面直線之間所成角、直線與平面所成的角、二面角的定義以及求法.下面.筆者重點介紹三種求空間角的思路，以幫助同學(xué)們提升解題的效率.

一、采用平移法求空間角

平移法是指將某個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，利用平移變換及其性質(zhì)解題.值得注意的是，平移前后圖形的大小、形狀不改變，對應(yīng)點之間的距離都相等，且都等于平移的距離.運用平移法求解立體幾何中的空間角問題，一般需將所求的直線或者平面平移到與另一條直線或者平面相交的位置，而所得的夾角與所求的空間角的大小相等.再根據(jù)勾股定理、點到直線的距離公式、三角形的性質(zhì)、正余弦定理、三角函數(shù)的定義便可求得夾角的大小.

在運用向量法求立體幾何的空間角時，還應(yīng)結(jié)合圖形對空間角的大小作出大致的判斷，以便確定所求向量之間的夾角等于空間角的平面角還是其補角，進(jìn)而得到正確的結(jié)果.

三、借助垂面法求空間角

垂面法是借助垂面與平面之間的垂直關(guān)系來解題的方法.我們知道，以二面角的公共直線上的任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.運用垂面法求解空間角問題，需根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征找到或作出與兩平面之間的交線的垂面，便可根據(jù)二面角的平面角的定義確定所求二面角的平面角，再在垂面中借助平面幾何知識，如正余弦定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)等求出二面角的平面角的大小.

例4.如圖7，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD ，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，PA= AD= 2 ， E是AD的中點，求二面角A-PD-C的正弦值.

我們根據(jù)題意和圖形可發(fā)現(xiàn)，AD為平面APD與平面PDC的交線，于是過點E作EM⊥PD于M，連接CM，便作出平面APD與平面PDC的垂面EMC，得出二面角A-PD-C的平面角為∠EMC，再在垂面EMC上根據(jù)勾股定理求得二面角的平面角.

相比較而言，第一種思路較為簡單、直接，應(yīng)用較多；第二種思路只適用于求解方便建立空間直角坐標(biāo)系的問題；第三種思路僅適用于求解二面角的兩個半平面相交的二面角問題.

（作者單位：甘肅省敦煌中學(xué)）