淺析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位與應(yīng)用

楊志遠(yuǎn)

【摘要】導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)間的重要紐帶，其為高中數(shù)學(xué)添加了不少新的活力.高中生對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)，有助于其對函數(shù)性態(tài)進(jìn)行理解與掌握，同時(shí)發(fā)展他們的思維能力，這對其日后學(xué)習(xí)以及發(fā)展大有裨益.基于此，本文在分析高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中導(dǎo)數(shù)具有的重要地位的基礎(chǔ)上，著重對高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用展開探究，希望能對實(shí)際教學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);地位;應(yīng)用

前言：高中階段的數(shù)學(xué)中包含很多把高等數(shù)學(xué)有關(guān)知識當(dāng)作背景的問題.在微積分中，導(dǎo)數(shù)屬于一個(gè)核心概念，其在高中數(shù)學(xué)中具有重要作用.為此，數(shù)學(xué)教師需對導(dǎo)數(shù)這個(gè)知識點(diǎn)加以重視，幫助高中生對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)而有效提升其學(xué)習(xí)效率及解題能力.

一、高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)具有的重要地位

（一）有助于高中生對函數(shù)性態(tài)進(jìn)行理解，幫助其對函數(shù)思想加以掌握

事實(shí)上，多數(shù)數(shù)學(xué)問題很難甚至無法借助初等數(shù)學(xué)有關(guān)方法加以解決.但借助函數(shù)思想，可以把實(shí)際問題抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)構(gòu)建有關(guān)函數(shù)關(guān)系，之后發(fā)揮出導(dǎo)數(shù)具有的工具性以及應(yīng)用性，這樣可以對問題加以有效解決.

進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)期間，高中生通過對函數(shù)值域、定義域、周期性、單調(diào)性、奇偶性以及有界性進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以對函數(shù)性態(tài)加以理解.其實(shí)，這些性態(tài)全都能在函數(shù)圖像中獲得.因此，數(shù)學(xué)教師可要求高中生通過描點(diǎn)法把函數(shù)圖像準(zhǔn)確地畫出來.然而，假設(shè)涉及的函數(shù)并非初等函數(shù)，是高階函數(shù)，那么其圖像更加復(fù)雜，若單純運(yùn)用描點(diǎn)法進(jìn)行繪圖，則難以準(zhǔn)確得到函數(shù)圖像.此時(shí)，就顯現(xiàn)出了導(dǎo)數(shù)具有的優(yōu)點(diǎn).高中生可借助函數(shù)具有的一階導(dǎo)數(shù)來對函數(shù)最值與最值區(qū)間、單調(diào)性加以確定，借助二階導(dǎo)數(shù)對函數(shù)拐點(diǎn)以及凹凸性進(jìn)行判斷，之后結(jié)合極限思想把水平與垂直的漸近線找出來，這樣可以對函數(shù)圖像進(jìn)行大致繪制.

（二）有助于高中生對其他的自然學(xué)科進(jìn)行學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)屬于基礎(chǔ)學(xué)科，具有工具性與基礎(chǔ)性的特征，其和物理以及化學(xué)這些自然學(xué)科存在著緊密聯(lián)系.實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)為微積分當(dāng)中的一個(gè)重要概念，研究對象為函數(shù)，把函數(shù)極限當(dāng)作基礎(chǔ)，涉及變化率這個(gè)問題，其在工程、天文、物理以及化學(xué)這些領(lǐng)域當(dāng)中有著廣泛運(yùn)用.比如，當(dāng)高中生對導(dǎo)數(shù)知識掌握以后，可以快速求出物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度以及瞬時(shí)加速度，快速求出化學(xué)中的冷卻速度與反應(yīng)速度.

（三）有助于發(fā)展高中生思維能力

在高中階段的數(shù)學(xué)知識中，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容屬于重要的構(gòu)成部分，受到教師的高度關(guān)注.如今，新課標(biāo)已經(jīng)明確指出，高中階段的數(shù)學(xué)教師需借助大量實(shí)例來讓高中生認(rèn)識以及理解導(dǎo)數(shù)知識，以此來提升其思維能力.高中生通過對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使其從有限、靜態(tài)、常量這種數(shù)學(xué)觀點(diǎn)逐漸過渡到無限、動(dòng)態(tài)、變量的這種數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，這樣有助于發(fā)展高中生思維能力.

二、高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）函數(shù)解題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.借助導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)單調(diào)性的問題.

利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)具有的單調(diào)性進(jìn)行判斷，主要包括4個(gè)步驟：第一，對函數(shù)f（x）的定義域加以確定;第二，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）;第三，在函數(shù)f（x）的定義域中，解不等式f′（x）>0或f′（x）<0;第四，對f（x）具體的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行確定.如果函數(shù)式中包含字母系數(shù)，那么通常需要進(jìn)行分類討論.

例如，求f（x）=x3+3x的單調(diào)區(qū)間.

分析 首先應(yīng)當(dāng)對函數(shù)f（x）的定義域進(jìn)行確定，之后借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

解 很顯然，函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），

f′（x）=3x2-3x2=3（x2+1）（x+1）（x-1）x2，

根據(jù)f′（x）>0，能夠得到x<-1或x>1;又根據(jù)f′（x）<0，能夠得到：-1

通過此題我們能夠看到，借助導(dǎo)數(shù)來對函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷非常簡單，只需要把函數(shù)f（x）對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f′（x）求出來，之后解不等式f′（x）>0以及f′（x）<0即可.這樣一來，高中生在解答此類問題時(shí)即可擁有非常明確的解題思路，能夠快速以及準(zhǔn)確解題.

再如，函數(shù)f（x）=x2eax，其中a≤0，求f（x）具有的單調(diào)性.

解 先求導(dǎo)，f′（x）=x（ax+2）ex.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此時(shí)x=0，說明f（x）在x=0處單調(diào)性改變.

而當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）>0，說明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)x<0時(shí)，f′（x）<0，說明f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此時(shí)x=0或x=-2a.

當(dāng)x<0時(shí)，f′（x）<0，

說明f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減;

當(dāng)00，

說明f（x）在0，-2a上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>-2a時(shí)，f′（x）<0，

說明f（x）在-2[]a，+∞上單調(diào)遞減.

2.借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域、最值與極值.

導(dǎo)數(shù)不僅可以用于對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，還在對函數(shù)值域、極值以及定義域的求解問題中起著重要作用.導(dǎo)數(shù)可以對求函數(shù)極值、最值以及值域這些問題加以簡化.

例如，求函數(shù)f（x）=2x+1-x+2的值域.

分析 我們首先應(yīng)當(dāng)對函數(shù)f（x）的定義域進(jìn)行確定，并且準(zhǔn)確求出函數(shù)f（x）對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f′（x），并且對f′（x）具有的正負(fù)進(jìn)行判斷，從而把函數(shù)f（x）的值域求出來.

解 很顯然，函數(shù)f（x）的定義域是-12，+∞.

f′（x）=12x+1-12x+2=2x+2-2x+12x+22x+1，而2x+2-2x+1=2x+72x+2+2x+1，

由此可見，

當(dāng)x>-12時(shí)，f′（x）>0，

因此f（x）=2x+1-x+2在-12，+∞上為增函數(shù).

又因?yàn)閒-12=-62，

所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?62，+∞.

（二）在求曲線切線方程中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

f′（x）具有的幾何意義實(shí)際上等同于曲線y=f（x）的切線斜率，則曲線在點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)中的試題，我們極易發(fā)現(xiàn)其中含有大量的函數(shù)知識，而借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，能夠使得問題得以簡化.

比如，曲線y=x4的一條切線m與直線x+4y-5=0垂直，求直線m方程.針對此題，我們設(shè)出切點(diǎn)，表示出斜率，即可根據(jù)已知條件求出具體方程.

（三）探究方程根具體分布時(shí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，f′（x）在（a，b）上保持符號不變，如果f（a）f（b）<0，那么f（x）=0在（a，b）上存在唯一實(shí)根，如果f（a）f（b）>0，那么f（x）=0在（a，b）上無實(shí)數(shù)根.

（四）不等式證明中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)的試題中，函數(shù)經(jīng)常與不等式一同考查，尤其是最近幾年在核心素養(yǎng)及素質(zhì)教育之下，數(shù)學(xué)命題更加趨向于綜合化，進(jìn)而使得不等式和函數(shù)的結(jié)合變得更加緊密.而對這類試題進(jìn)行求解，導(dǎo)數(shù)是最佳的解題方法.

例如，已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），其中0

證明 先求出f′（x），其中f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

由f（x）在x=s與x=t時(shí)取到了極值，可知s，t為二次方程f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

又因?yàn)閒′（0）=ab>0，f′（a）=a2-ab=a（a-b）<0，

f′（b）=b2-ab=b（b-a）>0，所以f′（x）在（0，a）和（a，b）上分別有一實(shí)數(shù)根，再由s

上述例題先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法對函數(shù)進(jìn)行降冪，將問題轉(zhuǎn)化成求區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根這一問題，然后根據(jù)實(shí)數(shù)根分布相關(guān)理論，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，對不等式加以證明.

結(jié) 論

綜上可知，在高中階段的數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)具有重要地位，對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有助于高中生對函數(shù)性態(tài)進(jìn)行理解，幫助其對函數(shù)思想加以掌握，有助于高中生對其他的自然學(xué)科進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且有助于發(fā)展高中生思維能力.所以，數(shù)學(xué)教師需對導(dǎo)數(shù)知識加以重視，積極帶領(lǐng)高中生對導(dǎo)數(shù)知識在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開探究.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳沛東，潘康林.高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)問題的學(xué)習(xí)研究——以廣西北海為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（06）：140-141，143.

[2]李樹凡.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（04）：36.

[3]龔斌.淺析高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（23）：30.

[4]時(shí)好運(yùn).論高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題策略及教學(xué)方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（20）：125.

[5]熊德忠.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)實(shí)踐[J].華夏教師，2019（22）：38.