非線性Lamb波脈沖激勵(lì)的零頻分量理論

孫曉強(qiáng) 張晉源 胡寧

摘要 為方便利用非線性Lamb波脈沖激勵(lì)零頻分量進(jìn)行板材結(jié)構(gòu)早期損傷超聲無(wú)損健康監(jiān)測(cè)，基于二次材料弱非線性，在基波和零頻分量群速度相等的情況下，推導(dǎo)非線性Lamb波脈沖激勵(lì)零頻分量的理論解。以漢寧窗調(diào)制的短脈沖激勵(lì)為例，建立仿真模型，提取仿真零頻信號(hào)，制作零頻信號(hào)傳播動(dòng)畫，展示對(duì)稱模態(tài)零頻分量克服相速匹配條件的限制進(jìn)而可持續(xù)累積的特征。理論仿真結(jié)果與分析討論表明，零頻模態(tài)為對(duì)稱模態(tài)，零頻形貌與窗函數(shù)形貌相似，基波群速度失配和色散可以分散零頻分量能量進(jìn)而影響零頻形貌，零頻分量可持續(xù)累積特性不受其影響，與二次諧波和混合波檢測(cè)技術(shù)相比，非線性Lamb波零頻分量檢測(cè)技術(shù)具有一定的優(yōu)勢(shì)。

關(guān) 鍵 詞 結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè);非線性Lamb波;零頻分量;材料弱非線性;材料早期損傷

中圖分類號(hào) TG115.285;TB553? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

文章編號(hào)：1007-2373（2021）06-0001-12

Abstract For the convenience of using nonlinear Lamb wave pulse excitation zero frequency component to monitor plate-like material early stage damage， based on the quadratic weak material nonlinearity， the theoretical solution of zero frequency component induced by nonlinear Lamb wave pulse is derived under the condition that the group velocities of fundamental wave and zero-frequency component are equal. A simulation model is established. A Hanning windowed tone burst signal is adopted as the excitation signal. The propagation animation of zero frequency component is obtained. The limitation of phase-velocity matching is overcome and the energy carried by zero frequency component can accumulated continuously. Theoretical results simulation results and discussion analysis show that the shape of the symmetric mode zero frequency component is similar to the shape of the window function. The shape of zero frequency component is influenced by zero frequency component energy dispersion which induced by the group velocity mismatch and dispersion of the fundamental wave. The sustainable accumulation characteristics of the zero frequency component are not affected. Compared with the second harmonic and mixing wave detection technology， nonlinear Lamb wave zero-frequency component inspection technique has certain advantages.

Key words structural health monitoring; nonlinear Lamb wave; zero frequency component; weak material nonlinearity; material early stage damage

0 引言

板殼結(jié)構(gòu)性能優(yōu)異，被各行各業(yè)廣泛采用。這些板殼類結(jié)構(gòu)材料在使用過(guò)程中，或多或少會(huì)受到應(yīng)力、高溫、高壓和腐蝕等的作用，非常容易產(chǎn)生疲勞、塑性、腐蝕和蠕變等損傷，使得板材性能逐漸退化，容易引起爆炸、斷裂和危險(xiǎn)物質(zhì)泄露等安全事故，造成重大社會(huì)和經(jīng)濟(jì)損失。因此，研究強(qiáng)有力的無(wú)損監(jiān)測(cè)技術(shù)，對(duì)這些板殼結(jié)構(gòu)定期進(jìn)行可靠性檢測(cè)評(píng)價(jià)和維護(hù)，是我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)及生活中一個(gè)非常重大的研究課題。

經(jīng)過(guò)多年的研究和發(fā)展，目前已經(jīng)存在多種，相對(duì)較為成熟的無(wú)損檢測(cè)和評(píng)價(jià)技術(shù)。如液體滲透、磁粉、渦流、X射線和線性超聲波等技術(shù)。然而，這些傳統(tǒng)技術(shù)，只能檢測(cè)材料中的宏觀缺陷損傷（一般為毫米級(jí)），比如宏觀裂紋、夾雜、脫層和氣孔等;而針對(duì)微納尺度早期損傷，如材料位錯(cuò)和滑移等早期損傷，并不敏感[1]。已有的研究表明，一般情況下，在材料產(chǎn)生宏觀損傷之前，材料早期損傷占據(jù)了材料使用壽命的絕大部分。尤其是，當(dāng)材料[2]發(fā)生疲勞損傷時(shí)，材料整個(gè)疲勞壽命的80%～90%[1-3]都是由材料早期損傷性能退化占據(jù)。故研究發(fā)展和優(yōu)化針對(duì)材料早期損傷的無(wú)損檢測(cè)方法，對(duì)保障生產(chǎn)生活安全，意義重大。

近年來(lái)大量研究發(fā)現(xiàn)[1-15]，非線性超聲波檢測(cè)技術(shù)對(duì)材料微觀結(jié)構(gòu)的改變，如位錯(cuò)密度和微裂紋密度等的變化，十分敏感，能夠有效地檢測(cè)和評(píng)價(jià)材料的早期損傷及其損傷的程度。尤其是針對(duì)板材發(fā)展起來(lái)的非線性Lamb波導(dǎo)波檢測(cè)技術(shù)，因其傳播距離遠(yuǎn)，檢測(cè)范圍廣，對(duì)早期損傷敏感等優(yōu)點(diǎn)，吸引了眾多研究者的關(guān)注和研究。

在傳統(tǒng)非線性Lamb波早期損傷檢測(cè)領(lǐng)域，針對(duì)二次諧波檢測(cè)技術(shù)，人們發(fā)表了大量的理論仿真和實(shí)驗(yàn)研究成果[1-14]。目前，針對(duì)二次諧波的研究，少有較新穎的成果見刊，二次諧波的研究在傳統(tǒng)的框架下已經(jīng)逐漸趨向成熟。而二次諧波檢測(cè)技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用，卻存在著較多的技術(shù)難題。Lamb波本身具有復(fù)雜的色散和多模態(tài)特性;二次諧波可累積需要滿足兩個(gè)條件：非零能量流從基波流入二次諧波，基波和二次諧波相速度相等，實(shí)際應(yīng)用時(shí)如果為了方便信號(hào)處理，還需要基波和二次諧波群速度相等;通常情況下，二次諧波的能量是微弱的，容易受到噪聲的干擾;來(lái)自于傳感器、電路、耦合劑等的非線性信號(hào)與待測(cè)材料的非線性信號(hào)疊加在一起，難以判斷測(cè)得的非線性是來(lái)自待測(cè)材料還是測(cè)試系統(tǒng)。

相速匹配條件不滿足時(shí)，隨著基波傳播距離增加，二次諧波將周期性振蕩而不能線性累積，這限制了二次諧波的應(yīng)用。一般地，材料二次非線性是一種較弱的非線性，在相速失配限制二次諧波可持續(xù)線性累積后，二次諧波信號(hào)通常比較弱且容易被噪聲淹沒(méi)[16]。為了克服相速失配，研究者們大致提出了兩種解決辦法。第一種是通過(guò)尋找頻率模態(tài)對(duì)，篩選出的基波和二次諧波的相速度剛好相同，從而達(dá)到二次諧波強(qiáng)度隨著基波傳播而線性增長(zhǎng)的目的。人們利用S1-S2模態(tài)對(duì)（S1是一階對(duì)稱模態(tài)基波，S2是二階對(duì)稱模態(tài)二次諧波）來(lái)測(cè)量材料非線性[17-18]，如拉伸塑性損傷和疲勞損傷[19-20]、溫度疲勞損傷[21]、蠕變損傷[22-24]。另外，對(duì)其他的模態(tài)對(duì)，如A2-S4[25]，S2-S4[26]等，也有所研究。然而，這種方法也存在不少需要克服的問(wèn)題[27]。比如，這些頻率模態(tài)對(duì)是分散的，而且數(shù)量有限，不能實(shí)現(xiàn)寬頻帶范圍內(nèi)的相速度匹配;實(shí)際應(yīng)用中，激發(fā)信號(hào)的中心頻率很難嚴(yán)格符合預(yù)期選定的頻率，并且接收到的信號(hào)通常是復(fù)雜難處理的[27]。第二種是利用低頻S0模態(tài)波的低色散性，使相速匹配條件近似滿足，使得二次諧波能量在基波傳播較大距離范圍內(nèi)近似線性累積。低頻S0模態(tài)波在較寬頻率范圍內(nèi)近似滿足相速匹配條件，突破了單個(gè)頻率對(duì)的限制，魯棒性好;單個(gè)低頻S0模態(tài)信號(hào)更容易激發(fā)，色散相對(duì)較弱，信號(hào)處理也較簡(jiǎn)單。近年來(lái)，低頻S0模態(tài)得到了研究者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[28-29]利用Lamb波S0模態(tài)波檢測(cè)微裂紋，文獻(xiàn)[27]指出低頻S0模態(tài)波可以彌補(bǔ)模態(tài)頻率對(duì)的不足，為低頻S0模態(tài)波做了系統(tǒng)性的模擬研究。文獻(xiàn)[30]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和模擬研究確認(rèn)了低頻S0模態(tài)檢測(cè)材料非線性的有效性。

為了確認(rèn)非線性的來(lái)源，實(shí)現(xiàn)損傷定位，近年來(lái)混頻檢測(cè)技術(shù)得到了廣泛研究[31-44]。自1963年Jones[45]給出了針對(duì)體波混頻技術(shù)的共振條件之后，混頻技術(shù)研究越來(lái)越活躍?；旌喜夹g(shù)的核心對(duì)象是非線性波解中的和頻與差頻，混合波和二次諧波理論上同出一轍，使用混合波技術(shù)時(shí)，往往是讓兩束波束在某個(gè)位置相遇，如果材料存在非線性，兩束波相遇互相作用后將激發(fā)出對(duì)應(yīng)的和頻與差頻成分波，新產(chǎn)生的特定的和頻以及差頻成分，被稱為混合波。由于混合波只會(huì)在兩束基波混合區(qū)域產(chǎn)生，如果混合區(qū)域存在材料早期類型的損傷，比如位錯(cuò)、微裂紋等，那么這個(gè)混合波就對(duì)應(yīng)于該處的損傷特征，于是混合波便可用于檢測(cè)材料早期損傷。耦合劑、電路、傳感器探頭等檢測(cè)系統(tǒng)自身的非線性，一般情況下，對(duì)混合波沒(méi)有貢獻(xiàn)，因?yàn)榛ú](méi)有在電路和傳感器等處相遇混合，這樣混合波檢測(cè)技術(shù)就克服了二次諧波檢測(cè)技術(shù)難以辨識(shí)非線性來(lái)源的困難。對(duì)于平行發(fā)射的共線基波，一種情況是，兩個(gè)先后同向平行發(fā)射的基波，先發(fā)射的基波速度慢一些，后發(fā)射的速度快一些，當(dāng)兩者相遇時(shí)，如果相遇區(qū)域存在損傷，將會(huì)激發(fā)損傷混合波信號(hào);另外一種情況是，兩個(gè)基波在材料兩端對(duì)向發(fā)射，然后在某個(gè)區(qū)域混合，這樣產(chǎn)生的混合波稱為對(duì)向混合波。對(duì)于非平行發(fā)射的非共線基波，基波在損傷區(qū)域相遇混合相互作用，也可激發(fā)混頻信號(hào)。

然而，混頻信號(hào)的產(chǎn)生也需要滿足一定的條件[46-48]，需要輸入的基波滿足一定的頻率比以及滿足一定的輸入角度;并且混合波技術(shù)還存在一些技術(shù)難題，由于混合波混合的區(qū)域大小有限，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，事先并不知道損傷發(fā)生的局部位置，對(duì)于大面積檢測(cè)，需要不斷移動(dòng)混合區(qū)域進(jìn)行掃描檢測(cè)，這對(duì)信號(hào)的發(fā)射和處理提出了一定的挑戰(zhàn)。

實(shí)際上，波在非線性介質(zhì)中傳播，除了激發(fā)倍頻、和頻與差頻，還會(huì)激發(fā)零頻。零頻分量，又被稱為靜態(tài)位移或者直流分量，在體波中很早就受到了研究者們的關(guān)注。20世紀(jì)早期出現(xiàn)了一些和靜態(tài)位移導(dǎo)致的應(yīng)力相關(guān)的討論，1925年，Brillouin[49]認(rèn)為零頻導(dǎo)致的應(yīng)力與波動(dòng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量時(shí)間平均值的變化有關(guān)，其他一些研究者[50]認(rèn)為零頻導(dǎo)致的應(yīng)力直接相關(guān)于材料的非線性特性。20世紀(jì)80年代早期，Narasimha[51]使用傳感器來(lái)接收零頻信號(hào)，并用零頻項(xiàng)來(lái)測(cè)量材料的非線性系數(shù)，指出零頻形貌為直角三角形樣形狀。2006年，Jacob[52]使用激光來(lái)探測(cè)零頻，通過(guò)濾波手段展示了有限寬脈沖基波激發(fā)的零頻的大致形貌，其形貌與基波脈沖的波包類似，并非直角三角形樣形狀，并指出零頻分量隨著基波能量增加而線性增加。2007年，Narasimha等[51]使用傳感器探測(cè)零頻應(yīng)變分量，并提出了一種新的信號(hào)處理提取零頻分量的方法。隨后Narasimha等、Qu等和Jacob等針對(duì)零頻分量做了一些出色的研究[53-55]，奠定了使用零頻測(cè)量材料非線性的基礎(chǔ)。

然而，這些報(bào)道的研究對(duì)象均為體波中的零頻，之后多年均無(wú)零頻相關(guān)研究報(bào)告。2017年Sun等[56]在廈門舉辦的無(wú)損檢測(cè)大會(huì)上首次報(bào)道了Lamb波中零頻分量的相關(guān)理論研究結(jié)果，并指出Lamb波激發(fā)的零頻累積條件只有一個(gè)，即非零能量流從基波流入零頻，而二次諧波累積所需要的相速度匹配條件不再是零頻可累積的必要條件，零頻可持續(xù)累積;指出Lamb波基波激發(fā)的零頻項(xiàng)積分值，比同一個(gè)Lamb基波激發(fā)的二次諧波積分值更大;指出零頻模態(tài)為對(duì)稱模態(tài)。2018年Wan等[57]通過(guò)COMSOL仿真研究了Lamb波激發(fā)的零頻，研究結(jié)論與Sun等的理論結(jié)果相符，并進(jìn)一步展示了Lamb波零頻的大致形貌與基波波包形狀類似;指出Lamb波零頻傳播群速度和相速度均相同且與S0色散曲線上的頻率為零處對(duì)應(yīng)的速度值相等。隨后，Sun等[13]通過(guò)理論仿真和實(shí)驗(yàn)再次驗(yàn)證了Lamb波零頻分量用于板材早期損傷檢測(cè)的可行性，指出與Lamb波二次諧波相比，Lamb波零頻分量檢測(cè)技術(shù)具備一定的優(yōu)勢(shì)。2020年，文獻(xiàn)[58]通過(guò)理論和仿真研究了塊體材料中均布隨機(jī)裂紋產(chǎn)生的零頻，指出體波零頻檢測(cè)技術(shù)可用于塊體材料早期微裂紋損傷檢測(cè)。針對(duì)PZT探頭是否響應(yīng)零頻的爭(zhēng)論，文獻(xiàn)[15]通過(guò)PZT實(shí)驗(yàn)和激光實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了PZT可以有效探測(cè)到零頻信號(hào)，并利用PZT探測(cè)零頻信號(hào)，進(jìn)一步利用零頻檢測(cè)技術(shù)檢測(cè)了材料局部彎曲塑性損傷。Deng[59]用常規(guī)探頭有效探測(cè)零頻信號(hào)，Chen等[60]實(shí)驗(yàn)探測(cè)了非線性Lamb波零頻分量信號(hào)，再次證實(shí)了零頻信號(hào)可持續(xù)累積特性。非線性零頻檢測(cè)技術(shù)，尤其是針對(duì)板殼材料的非線性Lamb波零頻分量檢測(cè)技術(shù)，有望中和二次諧波和混合波的優(yōu)勢(shì)，克服其對(duì)應(yīng)的缺點(diǎn)，應(yīng)用潛力巨大。

非線性Lamb波脈沖激勵(lì)的零頻分量相關(guān)理論是零頻檢測(cè)技術(shù)的基礎(chǔ)，搞清楚相關(guān)理論是有必要的，目前相關(guān)理論研究比較稀少。Sun等[13，56]發(fā)表了一些相關(guān)理論研究結(jié)果，然而，其理論主要考慮的是單一頻率無(wú)限寬信號(hào)激勵(lì)，實(shí)際更為常用的激勵(lì)信號(hào)為脈沖激勵(lì)，有必要開展相關(guān)研究。

1 理論

1.1 無(wú)限寬時(shí)域信號(hào)激勵(lì)

仿照文獻(xiàn)[5-6，8，10]，設(shè)[E]為Green-Lagrange 應(yīng)變張量，[u（X，t）]為位移張量，則有：

式中：X表示物體質(zhì)點(diǎn)微元的初始構(gòu)型坐標(biāo);H表示位移梯度。 通常采用Landau and Lifshitz 超彈性模型[61]來(lái)描述材料的弱非線性各向同性本構(gòu)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為

式中保留到[H]的二次項(xiàng)。

考慮均勻各向同性厚度為[2h]的薄板，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)限制在[x1-x3]平面內(nèi)，其中Lamb導(dǎo)波沿[x1]方向傳播，[x3]方向與板面法向量[n3]方向重合。Lamb波薄板上下兩個(gè)邊界為自由無(wú)約束邊界，其波動(dòng)方程和邊界條件可寫為

采用攝動(dòng)微擾法，設(shè)式（8）的解可以分解為

方程（10）可以拆解為兩組方程，第一組方程組為一階線性近似波動(dòng)控制方程組：

這正是線性Lamb波問(wèn)題的波動(dòng)控制方程和邊界條件，易知其解為

式（22）為時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)基波信號(hào)激勵(lì)零頻分量的理論表達(dá)式。非線性源的二次平方屬性與三角函數(shù)倍角公式，保證了零頻與二次諧波兩項(xiàng)之前常系數(shù)的相等關(guān)系;且零頻分量在產(chǎn)生和傳播過(guò)程中相位不變，自動(dòng)滿足相速匹配條件或者說(shuō)不需要相速匹配條件，零頻總是相長(zhǎng)疊加進(jìn)而可持續(xù)累積：式（22）也可以通過(guò)取相速匹配時(shí)的二次諧波解直接得到[13]。如果記基波幅值為[A1]，零頻幅值為[A0（A0?A1）]，則基波二次諧波及零頻的示意圖如圖1所示，圖中黑色正弦波代表基波，亮綠色直線代表零頻，紅色正弦波代表二次諧波，其中二次諧波掛在零頻上，二次諧波的平衡位置正好與零頻偏置重合。

1.2 脈沖信號(hào)激勵(lì)

時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)基波信號(hào)激勵(lì)零頻分量的理論解，是零頻分量發(fā)生激勵(lì)最基礎(chǔ)的理論，由此可以推導(dǎo)出其他復(fù)雜的零頻分量發(fā)生激勵(lì)理論解。比如，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中常用的檢測(cè)信號(hào)，基波信號(hào)通常為脈沖信號(hào)，時(shí)域?qū)挾仁怯邢薜?，此時(shí)，各種脈沖信號(hào)激勵(lì)的零頻理論解，只需要在式（22）的基礎(chǔ)上乘上相應(yīng)的脈沖調(diào)制窗函數(shù)即可。顯然，脈沖信號(hào)激勵(lì)的零頻分量解為

式中：[w（x1-vgt）]定義為伴隨窗函數(shù);[vg]為零頻傳播群速度。伴隨窗函數(shù)包含兩層含義：一層含義是初始基波脈沖對(duì)應(yīng)的加窗函數(shù);一層含義是基波脈沖在材料中傳播時(shí)加窗函數(shù)受到材料的影響和調(diào)制，比如多模態(tài)和色散等對(duì)窗函數(shù)的影響和調(diào)制。

為了簡(jiǎn)單，暫不考慮Lamb波的色散和多模態(tài)，并假定基波和零頻群速度相等，即認(rèn)為伴隨窗函數(shù)形狀并不發(fā)生變化，只是隨著基波傳播而由近及遠(yuǎn)地平行移動(dòng)，且零頻脈沖最大幅值可持續(xù)累加而隨著波傳播距離增加線性增大。圖2展示了一個(gè)中心頻率為200 kHz的矩形窗調(diào)制正弦脈沖激勵(lì)的零頻脈沖示例，黑色實(shí)線表示基波脈沖，藍(lán)色虛線表示矩形窗函數(shù)，亮綠色點(diǎn)劃線表示相應(yīng)頻率無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)在該處激勵(lì)的零頻偏置，亮綠色實(shí)線表示零頻脈沖，紅色線表示非線性波，其中二次諧波掛在零頻脈沖之上，易知此時(shí)零頻形貌與矩形窗函數(shù)相似。若將該矩形窗改為常用的漢寧窗，如圖3所示，類似地，基波經(jīng)漢寧窗調(diào)制的脈沖信號(hào)，激勵(lì)的零頻脈沖形貌依然與漢寧窗函數(shù)形貌類似。

需要說(shuō)明的是，針對(duì)高頻Lamb基波脈沖，由于色散和多模態(tài)等的影響，[w（x1-vgt）]將變得多樣化和復(fù)雜化，理論上零頻脈沖的積分面積依然隨基波傳播距離線性累積，即基波群速度和色散只影響零頻脈沖的形貌，不改變零頻累積特性。另外，若基波群速度和零頻群速度不一致，不同時(shí)間激勵(lì)的零頻將存在一定的分散而無(wú)法完全重疊，此時(shí)只需在式（23）基礎(chǔ)上對(duì)分散的零頻求和即可，該思路與文獻(xiàn)[9]提取時(shí)域二次諧波脈沖信號(hào)的思路類似，相應(yīng)示例可參見文獻(xiàn)[60]，對(duì)此不再做過(guò)多的討論。由于零頻來(lái)源于平方非線性中的平方常數(shù)項(xiàng)，二次平方確保了零頻的對(duì)稱性為對(duì)稱模態(tài)。

2 有限元仿真

2.1 零頻形狀特征

在工程應(yīng)用中，最長(zhǎng)使用的超聲檢測(cè)脈沖為漢寧窗函數(shù)調(diào)制的波包，現(xiàn)以漢寧窗函數(shù)調(diào)制脈沖為例展開仿真研究。不考慮阻尼，采用商用有限元分析軟件Abaqus（Version 6.14，Dassault Systems Simulia Corp.，Providence，RI，USA）建模分析非線性Lamb波相關(guān)問(wèn)題。Landau-Lifshitz弱非線性超彈性本構(gòu)模型用戶子程序，通過(guò)FORTRON進(jìn)行二次開發(fā)，集成于軟件Abaqus中，材料本構(gòu)模型的具體參數(shù)如表1所示。

仿真模型為長(zhǎng)2 500 mm，寬68 mm，厚2 mm的鋁板，考慮到Lamb問(wèn)題為平面應(yīng)變問(wèn)題，建立如圖4所示的二維模型，模型厚度為2 mm，為了消除反射波的影響，模型長(zhǎng)設(shè)置為2 400 mm，為了消除仿真整體模型在加載時(shí)發(fā)生剛性位移，模型右端施加位移固定約束。漢寧窗位移激勵(lì)函數(shù)滿足方程：[x（t）=A2sin（2πft）（1-cos（2πfNt）]，其中，f（f =200 kHz）為激勵(lì)信號(hào)中心頻率，N（N=10）為單個(gè)激勵(lì)脈沖所含的周波數(shù)，t為時(shí)間，A（A=0.000 1 mm）為激勵(lì)脈沖的振幅。更改f和N，可以得到經(jīng)漢寧窗窗函數(shù)調(diào)制后的，中心頻率為f的漢寧窗函數(shù)調(diào)制脈沖信號(hào)。以中心頻率為200 kHz，周波數(shù)為10的漢寧窗函數(shù)調(diào)制脈沖信號(hào)為激勵(lì)信號(hào)。該位移激勵(lì)直接施加在模型的左端，可以激發(fā)S0模態(tài)Lamb波。模型中設(shè)置了19個(gè)信號(hào)接收點(diǎn)，在距離左端邊界150 mm位置處設(shè)置第一個(gè)信號(hào)接收點(diǎn)，隨后每間隔100 mm分別設(shè)置一個(gè)信號(hào)接收點(diǎn)。模型網(wǎng)格尺寸為0.05 mm，而所要模擬的波的最短波長(zhǎng)大約為2.7 mm，一個(gè)波長(zhǎng)范圍至少含有54個(gè)單元，確保了計(jì)算精度。圖4下半部分所示為在模型左端施加位移激勵(lì)后某時(shí)刻的位移云圖，從云圖可以粗略判斷，波沿傳播方向（即[x1]方向）的位移關(guān)于鋁板中性面對(duì)稱，即位移規(guī)律滿足S0模態(tài)Lamb波特性。

為了驗(yàn)證零頻形貌特征，需要將零頻從信號(hào)中提取出來(lái)。為此，我們建立4個(gè)模型，分為s和a兩組：s組模型激發(fā)S波，且這2個(gè)模型中，1個(gè)模型的初始激勵(lì)波相位為零，另外1個(gè)模型的初始激勵(lì)波相位為π，即兩初始激勵(lì)波相位相反;a組模型激發(fā)A波，同樣地，在這2個(gè)模型中，1個(gè)模型的初始激勵(lì)波相位為零，另外1個(gè)模型的初始激勵(lì)波相位為π，即2初始激勵(lì)波相位相反。對(duì)于每組模型，在相同位置處接收信號(hào)，將相同位置得到的來(lái)自于相反相位激勵(lì)的信號(hào)相加。在二次平方非線性作用下，相位為零和相位為π的兩個(gè)基波激發(fā)的非線性波的相位是相同的，而基波的相位剛好相反，于是疊加對(duì)應(yīng)的2個(gè)接收信號(hào)，可以消除基波，保留零頻和二次諧波等非線性波。

在模型中任意位置劃一橫截線，即豎線上各點(diǎn)的[x1]坐標(biāo)相同（150 mm），提取橫截線上各點(diǎn)信號(hào)，進(jìn)行分析處理。圖5至圖6所示橫截線的數(shù)據(jù)圖均來(lái)自s組模型。其中，圖5為通過(guò)疊加相位相反的基波得到的非線性波信號(hào)，材料非線性具有的二次平方屬性導(dǎo)致非線性波為對(duì)稱模態(tài)，橫截線上不同厚度位置處質(zhì)點(diǎn)位移[x1]分量均相同，且二次諧波掛在零頻上，或者說(shuō)零頻描繪了二次諧波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的平衡位置。通過(guò)對(duì)圖5中的數(shù)據(jù)進(jìn)行低通濾波，濾除高頻成分即濾除二次諧波，得到零頻的大致形貌如圖6所示。圖6顯示，橫截線上不同厚度位置處質(zhì)點(diǎn)位移[x1]分量完全重合，符合對(duì)稱模態(tài)預(yù)期，同時(shí)漢寧窗脈沖激勵(lì)的零頻形貌與所加漢寧窗形狀相似，與之前理論相符。

對(duì)于a組模型，即激勵(lì)基波模態(tài)為反對(duì)稱模態(tài)時(shí)，按照與s組相同的步驟分析處理數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果與s組結(jié)果類似。故對(duì)二次平方非線性假設(shè)下單頻率激勵(lì)，無(wú)論激勵(lì)Lamb波基波為對(duì)稱模態(tài)還是反對(duì)稱模態(tài)，基波激發(fā)產(chǎn)生的非線性Lamb波，主要包括零頻和二次諧波，均為對(duì)稱模態(tài)（可參考文獻(xiàn)[13， 57]），零頻形貌描繪了二次諧波平衡位置的軌跡，與所加窗函數(shù)形貌相似。

2.2 零頻傳播動(dòng)畫

為了一目了然地觀察非線性Lamb波隨基波傳播的演化規(guī)律，通過(guò)數(shù)值仿真和信號(hào)處理，制作非線性Lamb波傳播規(guī)律動(dòng)畫視頻。仿真模型與圖7所示模型保持一致，為了動(dòng)畫連續(xù)性，設(shè)置200個(gè)信號(hào)提取點(diǎn)，且信號(hào)提取點(diǎn)之間的間隔為1 mm。為了縮短計(jì)算模型長(zhǎng)度，必須縮小二次諧波變換空間周期，即需要提高基波頻率，設(shè)置激勵(lì)基波頻率為500 kHz，通過(guò)計(jì)算[6]得到二次諧波變化空間距離周期為41 mm左右。圖中TOE表示材料參數(shù)采用表1中列出的材料參數(shù)。

提取所有信號(hào)點(diǎn)時(shí)域數(shù)據(jù)，依次播放各點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以得到波隨傳播距離變化動(dòng)畫;通過(guò)反相位相加去掉各點(diǎn)數(shù)據(jù)含有的基波信號(hào)，依次播放各點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以得到非線性波隨傳播距離變化動(dòng)畫;再通過(guò)帶通濾波器處理各點(diǎn)數(shù)據(jù)，依次播放各點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以得到非線性二次諧波隨傳播距離變化動(dòng)畫;最后通過(guò)低通濾波器處理各點(diǎn)數(shù)據(jù)，依次播放各點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以得到非線性零頻隨傳播距離變化動(dòng)畫。以上動(dòng)畫互動(dòng)視頻可以通過(guò)PPT附件“附件-波傳播動(dòng)畫視頻”查看，從對(duì)應(yīng)動(dòng)畫觀看相應(yīng)信號(hào)的傳播規(guī)律。

2.3 零頻可持續(xù)累積特性

為了得到材料非線性的表征參數(shù)即超聲非線性系數(shù)[β]隨基波傳播的變化規(guī)律，將得到的時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，采用零頻幅值與基波幅值平方之比定義零頻超聲非線性系數(shù)[β0]，采用二次諧波幅值與基波幅值平方之比定義二次諧波超聲非線性系數(shù)[β2]。如圖8所示，藍(lán)色直線表示零頻突破了相速匹配條件的限制，零頻超聲非線性系數(shù)隨基波傳播距離增加而線性累積;黑色曲線表示二次諧波超聲非線性系數(shù)受相速匹配條件的制約，隨著基波傳播距離的增加，呈現(xiàn)周期波動(dòng)變化規(guī)律而無(wú)法持續(xù)線性累積：符合相關(guān)理論預(yù)期。

由于基波脈沖激發(fā)的零頻相位始終相同且在傳播過(guò)程中保持相位不變，并且零頻具有與S0曲線上頻率為零處的相速度相等的相速度[57]，使得傳播的基波脈沖前后不同時(shí)刻激發(fā)的零頻脈沖的疊加始終為相長(zhǎng)疊加。如果基波群速度和零頻群速度不相等，則先后產(chǎn)生的零頻不能完全重合，對(duì)不同時(shí)間產(chǎn)生的零頻求和，零頻形貌會(huì)出現(xiàn)一些新的特征，通常零頻會(huì)存在一定程度的展寬。如果基波脈沖群速度不相等且具有強(qiáng)烈的色散，基波色散可改變零頻形狀特征，即隨著基波傳播不斷改變伴隨窗函數(shù)的形貌，使得零頻展現(xiàn)出復(fù)雜的形貌特征，但零頻相長(zhǎng)疊加特性決定了零頻隨基波傳播的無(wú)限可累積特性。一般情況下，由于強(qiáng)色散，基波隨著傳播距離增加，波包數(shù)量增多，波包總寬度增寬。截取更多波包，相應(yīng)的零頻超聲非線性系數(shù)也隨之增強(qiáng)，筆者在文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)中得到了類似的結(jié)果。

3 結(jié)論與展望

本文在基波群速度和零頻群速度相等以及不考慮色散的情形下，得到了Lamb波脈沖激勵(lì)零頻分量理論解，色散和群速度可影響零頻分量最終的形貌，不影響零頻分量隨著基波傳播的持續(xù)累積特性，為非線性Lamb波零頻分量早期無(wú)損健康檢測(cè)實(shí)際應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。本文聚焦Lamb波脈沖激勵(lì)的零頻理論研究，主要強(qiáng)調(diào)了比較實(shí)用的零頻可累積特性，同時(shí)提供了仿真驗(yàn)證，更多關(guān)于零頻的仿真結(jié)果可參考文獻(xiàn)[13，57-58]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以參見文獻(xiàn)[15，59-60]。

實(shí)用中，選擇低色散和基波與零頻群速度相等（或近似相等）的脈沖激勵(lì)，無(wú)疑會(huì)帶來(lái)極大便利。只需要截取相應(yīng)的完整波包進(jìn)行傅里葉變換，用零頻幅值與基波幅值平方之比定義的零頻超聲非線性系數(shù)，作為材料損傷指數(shù)即可。當(dāng)所使用的激勵(lì)信號(hào)具有較強(qiáng)色散以及基波和零頻群速度不相等時(shí)，需要截取更寬的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，以確保激發(fā)的零頻均被求和積分。

理論求解中，取兩頻率相等的極限，便可以得到零頻理論解。從求解過(guò)程不難理解，除了單頻激勵(lì)之外，還存在同一頻率相遇的情況。比如橫波先發(fā)射，縱波后發(fā)射，縱波速度快，在縱波追上橫波并與之相遇混合時(shí)，是否能夠激勵(lì)混合零頻。更進(jìn)一步地，相同頻率以一定角度相遇，是否能夠在新的方向上激勵(lì)出混合零頻，甚至不同頻率混合后是否能夠產(chǎn)生混合零頻分量。如果能，零頻檢測(cè)技術(shù)將能繼承混合波檢測(cè)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)損傷的定位功能，前景將是誘人的。針對(duì)這些問(wèn)題，研究者已展開相關(guān)理論和仿真研究，目前取得了混合波激發(fā)零頻的初步研究結(jié)果。零頻檢測(cè)技術(shù)有望繼承混頻檢測(cè)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)損傷定位功能，且相關(guān)受限條件更少。零頻檢測(cè)技術(shù)，在結(jié)合二次諧波和混合波優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，能夠克服相關(guān)缺點(diǎn)，應(yīng)用潛力巨大，接下來(lái)將開展一系列的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證研究。

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