改進(jìn)的LS+AR模型在極移短期預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究

張軍杰

（上海市巖土地質(zhì)研究院有限公司，上海 200072）

0.引言

極移是指地球的極點(diǎn)在地球表面發(fā)生有規(guī)律的緩慢變化的現(xiàn)象，極移參數(shù)作為地固坐標(biāo)系和天球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)之一，在深空探測(cè)、衛(wèi)星定軌和激光測(cè)月等領(lǐng)域中均有著廣泛地應(yīng)用[1]。但是由于復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理過程，得到的最終極移參數(shù)存在著時(shí)間上的滯后性，無法滿足某些要求實(shí)時(shí)或準(zhǔn)實(shí)時(shí)極移參數(shù)的領(lǐng)域[2]。尤其是隨著北斗二代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的逐步拓展，對(duì)極移參數(shù)的時(shí)效性和精度的需求日益迫切[3]，因此，如何提高極移參數(shù)的短期預(yù)報(bào)精度成為亟需解決的問題。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于極移參數(shù)預(yù)報(bào)做了大量有益的研究工作，提出了很多非常實(shí)用的模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（Artificial Neural Network,ANN）是常見的模型之一。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量處理單元互聯(lián)組成的非線性、自適應(yīng)信息處理系統(tǒng)，王琪潔等人研究和探索了應(yīng)用非線性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，將大氣角動(dòng)量時(shí)間序列引入到地球自轉(zhuǎn)變化預(yù)報(bào)中，改善地球自轉(zhuǎn)參數(shù)（ERP）的預(yù)報(bào)精度，以及應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)預(yù)報(bào)El Nino南方濤動(dòng)（ENSO）事件，結(jié)果證實(shí)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的非線性預(yù)報(bào)能力。張志、廖瑛等人利用傅里葉分析法，獲得了插值基礎(chǔ)序列的周期，驗(yàn)證了極移參數(shù)基礎(chǔ)序列重采樣的可行性，然后提取插值后的基礎(chǔ)序列數(shù)據(jù)的趨勢(shì)項(xiàng)，利用多輸入—單輸出反向傳播（Back Propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)不同跨度的殘差序列項(xiàng),最后合并趨勢(shì)項(xiàng)和殘差序列得到最終的極移參數(shù)預(yù)報(bào)。

最小二乘和自回歸預(yù)報(bào)模型（Least squares and autoregressive,LS+AR）[4,5]也較常用。雷雨等人分別利用遞推、迭代和間隔3種預(yù)報(bào)方法對(duì)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。預(yù)報(bào)結(jié)果顯示，這3種方式對(duì)日長(zhǎng)變化（length of day，LOD）參數(shù)的所有跨度預(yù)報(bào)的精度相當(dāng),遞推方式在極移所有跨度的預(yù)報(bào)結(jié)果上精度最高，迭代方式預(yù)報(bào)結(jié)果最差。姚宜斌等人通過對(duì)LS+AR模型短期預(yù)報(bào)殘差的時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)臨期的模型預(yù)報(bào)殘差具有極高的相關(guān)性，由此提出利用上一期模型預(yù)報(bào)殘差和經(jīng)驗(yàn)調(diào)節(jié)矩陣對(duì)下一期預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行修正，從而提高了極移參數(shù)的超短期和短期預(yù)報(bào)精度。張昊、王琪潔等人利用最小二乘外推與ARIMA（P，1，0）組合模型對(duì)極移參數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，ARIMA的全稱為求和自回歸移動(dòng)模型，是d階差分運(yùn)算（對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行差分的階數(shù)）和ARIMA（p,q）模型的結(jié)合，p為AR模型的階數(shù)，q為WA模型的階數(shù)。ARIMA（p,d,q）進(jìn)行預(yù)報(bào)的思路是首先對(duì)原始極移參數(shù)時(shí)間序列進(jìn)行d階差分，然后運(yùn)用ARMA（p,q）對(duì)差分項(xiàng)進(jìn)行預(yù)報(bào)，最后逆運(yùn)算得到預(yù)報(bào)值結(jié)果。最小二乘外推與ARIMA(P,1,0)組合模型對(duì)于提高超短期極移參數(shù)預(yù)報(bào)精度有一定幫助。王小輝等人利用LS-SVM模型，將赤道向大氣角動(dòng)量（AAM）和赤道向海洋角動(dòng)量（OAM）時(shí)間序列引入到極移參數(shù)序列的預(yù)報(bào)中，改善了極移參數(shù)的預(yù)報(bào)精度。張昊根據(jù)最小二乘模型中錢德勒周期項(xiàng)的時(shí)變特性，提出了基于錢德勒參數(shù)時(shí)變修正的CLS模型,并利用CLS+AR模型對(duì)極移參數(shù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，CLS+AR模型在極移參數(shù)預(yù)報(bào)精度上較LS+AR模型有所改善。趙丹寧等人利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對(duì)LS+AR模型進(jìn)行改進(jìn)，首先利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法對(duì)極移序列進(jìn)行分解,獲得極移的高頻分量和低頻分量；然后采用最小二乘外推模型對(duì)極移低頻分量進(jìn)行擬合，獲得最小二乘擬合殘差；之后利用自回歸模型對(duì)極移高頻分量和最小二乘擬合殘差之和進(jìn)行建模預(yù)報(bào)；最后將最小二乘模型和自回歸模型外推值相加獲得極移參數(shù)的預(yù)報(bào)值。結(jié)果表明可以有效改善極移參數(shù)的預(yù)報(bào)精度。為檢驗(yàn)各種模型的極移預(yù)報(bào)精度，維也納理工大學(xué)舉行了全球性的EOP預(yù)報(bào)對(duì)比運(yùn)動(dòng)（Earth Orientation Parameters Prediction Comparison Campaign，EOP PCC），確定了目前預(yù)報(bào)精度最高的模型是諧波最小二乘外推+自回歸預(yù)報(bào)模型，即LS+AR模型。

本文將基于國(guó)際上公認(rèn)為最優(yōu)的LS+AR模型，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，以期進(jìn)一步提高極移參數(shù)的預(yù)報(bào)精度，達(dá)到國(guó)際先進(jìn)水平。

1.LS+AR模型

1.1 LS模型

自1900年國(guó)際緯度局利用目視天頂儀觀測(cè)極移以來，天文工作者對(duì)極移已進(jìn)行了近百年的研究。根據(jù)長(zhǎng)期的觀測(cè)和研究發(fā)現(xiàn)，極移參數(shù)存在多個(gè)基本的周期項(xiàng)，如，錢德勒項(xiàng)、周年項(xiàng)和半周年項(xiàng)等周期項(xiàng)。在利用最小二乘方法對(duì)極移參數(shù)序列進(jìn)行建模時(shí)，首先要確定其固定周期項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)，在本文中包含趨勢(shì)項(xiàng)、錢德勒項(xiàng)、周年項(xiàng)和半周年項(xiàng)等四項(xiàng)。LS模型的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（1）、式（2）所示：

式（1）中，a0為極移長(zhǎng)趨勢(shì)項(xiàng)；t為極移參數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，（單位為年）；a1為趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)；a2、a3為錢德勒項(xiàng)系數(shù)，對(duì)應(yīng)的T1為錢德勒周期項(xiàng)的周期時(shí)間1.183a；a4、a5為周年項(xiàng)系數(shù)；對(duì)應(yīng)的T2為周年項(xiàng)周期1a；a6、a7為半周年項(xiàng)的系數(shù)，對(duì)應(yīng)的T3為半周年項(xiàng)周期0.5a。極移Y分量對(duì)應(yīng)參數(shù)含義與式（1）中的一致。

LS模型的參數(shù)具體解算方法如式（3）～式（6）：

式（3）～式（6）中，X為最小二乘的模型參數(shù)矩陣；B為模型參數(shù)的系數(shù)矩陣；L為X分量的觀測(cè)值序列組成的矩陣。極移Y分量的計(jì)算方法與X分量的算法一致。

1.2 AR模型

AR模型是依據(jù)自身過去的時(shí)間序列的變化規(guī)律來預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的值，要求建模的時(shí)間序列是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)序列。所以建模之前需要對(duì)LS模型擬合后的殘差序列進(jìn)行預(yù)處理，通常是先進(jìn)行一階差分后再進(jìn)行建模。最終的極移預(yù)報(bào)值為L(zhǎng)S模型的外推值與AR模型預(yù)報(bào)值之和。AR模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可表示為隨機(jī)序列zt（t＝1，2，…，n）與t時(shí)刻以前的規(guī)律性變化和t時(shí)刻的白噪聲的關(guān)系：

式（7）中，η1，η2，…，ηp為模型參數(shù)；at為白噪聲序列；p為模型階數(shù)；式（7）中zt稱為p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR（P）。

建立AR模型就必須首先確定模型的階，然后再確定AR模型參數(shù)。定階方法主要有3種，分別是最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則、信息論準(zhǔn)則、傳遞函數(shù)準(zhǔn)則。理論上這三種方法是等效的，本文采用最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則來確定AR模型的階。

式（9）中，PM為用AR模型擬合zt（t=1，2，3，…，n）序列殘差的均方差，當(dāng)FPE（M）為最小值時(shí)取M作為AR模型的階。定階也可以利用Matlab高階統(tǒng)計(jì)量工具箱中的函數(shù)來解決，計(jì)算十分方便。

1.3 精度評(píng)定

為了便于評(píng)估預(yù)測(cè)精度，本文采用國(guó)際上通用的平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error,MAE）作為精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)公式如式（10）所示：

式（10）中，n為預(yù)報(bào)次數(shù)；k為預(yù)報(bào)長(zhǎng)度；εi，j為預(yù)報(bào)值與真值的差值。

2.改進(jìn)的LS+AR模型

極移是用來描述地極在地球表面位置隨時(shí)間而變化的現(xiàn)象，其自身激發(fā)機(jī)制十分復(fù)雜，包括太陽輻射、月球引力、海洋潮汐和地下水分布，還有季節(jié)的變化引起的降雪變化和大氣流動(dòng)變化等因素。極移現(xiàn)象激發(fā)因素的不確定性，導(dǎo)致極移分量的周期項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)具有時(shí)變性的特征。為了提高極移參數(shù)的預(yù)報(bào)精度，本文在獲得基本的極移參數(shù)后，利用基本的趨勢(shì)項(xiàng)和德勒項(xiàng)、周年項(xiàng)和半周年項(xiàng)等周期項(xiàng)進(jìn)行初步擬合，在獲得一次擬合后的殘差項(xiàng)后，利用頻譜分析探測(cè)殘差項(xiàng)中隱含的殘差周期項(xiàng)，此時(shí)殘差項(xiàng)依然包含比較明顯的未知趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)，利用LS模型建模對(duì)殘差項(xiàng)再次進(jìn)行擬合，獲得第一次殘差項(xiàng)的趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)，然后對(duì)二次殘差項(xiàng)進(jìn)行一階差分，對(duì)差分結(jié)果進(jìn)行AR建模，然后利用AR模型對(duì)差分項(xiàng)進(jìn)行預(yù)報(bào)，最后根據(jù)LS模型得到的兩次趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)以及AR模型預(yù)報(bào)的殘差差分項(xiàng)獲得最終的預(yù)報(bào)極移參數(shù)。具體流程（如圖1所示）：

圖1 極移參數(shù)預(yù)報(bào)流程

3.基礎(chǔ)序列的選取

極移運(yùn)動(dòng)成因復(fù)雜，不同長(zhǎng)度的基礎(chǔ)序列對(duì)短期預(yù)報(bào)結(jié)果的精度也是不同的，本文首先以2a、4a、6a、8a和10a作為基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度對(duì)極移參數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，尋找更加合適的基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度。基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度并非越長(zhǎng)越好，主要是因?yàn)殡S著時(shí)間間隔的增加，地球季節(jié)性變化、海洋潮汐、月球引力、太陽輻射等各種偶然物理影響因素也會(huì)隨之增加，極移序列之間的相關(guān)性會(huì)逐步下降。因此在利用LS+AR模型對(duì)極移參數(shù)進(jìn)行建模時(shí)，基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度不宜過長(zhǎng)，這樣不僅可以提高預(yù)報(bào)效率，還可以保障預(yù)報(bào)精度的穩(wěn)定性。對(duì)比基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度與預(yù)報(bào)精度的關(guān)系（如圖2、圖3所示），結(jié)果顯示當(dāng)基礎(chǔ)序列為4a時(shí)預(yù)報(bào)精度最佳，所以本次預(yù)報(bào)采用4a長(zhǎng)度作為預(yù)報(bào)極移參數(shù)的基礎(chǔ)序列。

圖2 Xpole參數(shù)2、4、6、8年的預(yù)報(bào)精度

圖3 Ypole參數(shù)2、4、6、8年的預(yù)報(bào)精度

4.預(yù)報(bào)結(jié)果與精度分析

本次預(yù)報(bào)所用到的數(shù)據(jù)來自國(guó)際地球自轉(zhuǎn)和參考系服務(wù)組織（IERS）所發(fā)布的EOP 08C04序列（https://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/EarthOrientationData/eop.html）。該序列包含從1962年1月1日至今的極移參數(shù)的Xpole、Ypole分量，時(shí)間間隔為1天。本文自2005年1月1日（MJD：55317）起開始預(yù)報(bào)，每7天預(yù)報(bào)一次，一共預(yù)報(bào)了350期，預(yù)報(bào)長(zhǎng)度為50天。為進(jìn)一步削弱一次擬合后的殘差項(xiàng)里隱含周期項(xiàng)對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響，首先用LS模型對(duì)極移參數(shù)進(jìn)行擬合，采用傅里葉分析法對(duì)一次擬合后的殘差項(xiàng)時(shí)間序列進(jìn)行頻譜分析，目的是將時(shí)間域中的隱藏波形轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域的頻譜，顯示其隱藏周期。每140天對(duì)極移X和Y分量的殘差項(xiàng)的時(shí)間序列去趨勢(shì)項(xiàng)和功率譜分析，對(duì)極移參數(shù)第一次擬合后的殘差結(jié)果的頻譜分析值（如表1所示），在18次的頻譜分析值中，每次頻譜分析的周期值變化差異較大，說明了十分有必要對(duì)其進(jìn)行二次擬合，削弱明顯周期項(xiàng)的影響。

表1 擬合殘差的頻譜分析周期表

利用頻譜分析得到的殘差周期再次對(duì)極移殘差序列進(jìn)行擬合，圖4和圖5中藍(lán)色為一次擬合后的殘差序列，紅色為兩次擬合后的殘差序列。可以明顯看出極移分量?jī)纱螖M合后的殘差時(shí)間序列更加趨向于平穩(wěn)、零均值，不包含明顯的周期項(xiàng)。然后對(duì)得到的兩次擬合后的殘差項(xiàng)進(jìn)行一階差分，利用AR模型對(duì)差分后的極移殘差序列進(jìn)行建模，得到一階差分項(xiàng)的預(yù)報(bào)值，最后將兩次擬合值和一階差分值預(yù)報(bào)值逆運(yùn)算結(jié)果相加，獲得最終極移參數(shù)預(yù)報(bào)值。

圖4 Xpole參數(shù)第二次擬合前后殘差對(duì)比

圖5 Ypole參數(shù)第二次擬合前后殘差對(duì)比

為便于比較最小二乘和自回歸預(yù)報(bào)（LS+AR）模型改進(jìn)后的預(yù)報(bào)精度，本文將采用三種預(yù)報(bào)方式進(jìn)行短期預(yù)報(bào)。方案一：最小二乘和自回歸預(yù)報(bào)模型（LS+AR）；方案二：首先利用最小二乘進(jìn)行擬合，然后對(duì)殘差項(xiàng)進(jìn)行一階差分，最后對(duì)差分項(xiàng)進(jìn)行自回歸預(yù)報(bào)（LS+一階差分+AR）；方案三：首先利用最小二乘進(jìn)行擬合，然后對(duì)殘差項(xiàng)進(jìn)行頻譜分析，獲得一次擬合后的殘差周期項(xiàng)，再次進(jìn)行擬合，最后對(duì)二次擬合后的殘差項(xiàng)進(jìn)行一階差分，利用自回歸模型對(duì)差分項(xiàng)進(jìn)行預(yù)報(bào)（LS+LS（頻譜分析）+一階差分+AR）。最終試驗(yàn)的預(yù)報(bào)結(jié)果（如圖6、圖7所示）：

圖6 Xpole參數(shù)預(yù)報(bào)精度比較

圖7 Ypole參數(shù)預(yù)報(bào)精度比較

由圖6和圖7可以看出：前10天三種預(yù)報(bào)方案預(yù)報(bào)精度差別不大，10～50天之間方案2和方案3的極移參數(shù)預(yù)報(bào)精度比方案1的極移參數(shù)預(yù)報(bào)精度有著明顯提高，再次驗(yàn)證了AR模型要求建模的時(shí)間序列必須是平穩(wěn)的隨機(jī)序列。方案2和方案3的極移參數(shù)預(yù)報(bào)精度整體比較接近，圖8是方案3較之方案2的精度提高百分比，可以明顯看出極移X分量的預(yù)報(bào)精度提高較為明顯，極移Y分量除了在3～6日有少許下降外，其他時(shí)間段預(yù)報(bào)精度均有明顯提升。由此得出改進(jìn)后的LS+AR模型是三種方案里預(yù)報(bào)精度最高的，驗(yàn)證了本文所提出改進(jìn)方法的可行性。

圖8 精度提高百分比

5.結(jié)束語

本文考慮到極運(yùn)動(dòng)周期時(shí)變性的特征，對(duì)LS+AR預(yù)報(bào)模型進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)首次擬合后的極移參數(shù)殘差序列進(jìn)行頻譜分析，利用頻譜分析得到的周期再次進(jìn)行擬合，然后再對(duì)殘差項(xiàng)進(jìn)行一階差分，最后對(duì)一階差分項(xiàng)進(jìn)行自回歸預(yù)報(bào)，有效地提高了極移參數(shù)的預(yù)報(bào)精度。該方法僅從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行極移參數(shù)短期預(yù)報(bào)，并未分析頻譜分析得到周期的實(shí)質(zhì)的物理意義。研究極移序列潛在周期的具體激發(fā)源，并進(jìn)一步改進(jìn)將是下一步的工作重點(diǎn)。此外，本文推薦以4年作為極移基礎(chǔ)序列進(jìn)行短期預(yù)報(bào)較為合適。