基于UbD理論的《分式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)探析

任漢飛 周學(xué)勇

(信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 信陽 464000)

一、UbD的一般理論簡述

1998年，美國課程研究專家Grant Wiggins和Jay McTighe提出了理解為先(Understanding by Design，簡稱UbD)的教學(xué)設(shè)計(jì)方法。它立體構(gòu)建一個(gè)“理解”框架，提出“逆”于常態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì)的“逆向設(shè)計(jì)”，由“明確學(xué)習(xí)結(jié)果、確定恰當(dāng)?shù)脑u估方法、規(guī)劃相關(guān)教學(xué)過程”這三個(gè)階段構(gòu)成，認(rèn)為最好的設(shè)計(jì)應(yīng)該是“以始為終”，從學(xué)習(xí)結(jié)果開始的逆向思考[1]。以“理解”為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué)，確保了學(xué)生獲得更為有效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

UbD模式下的課程設(shè)計(jì)旨在對學(xué)習(xí)者頭腦中的重要概念和恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)證據(jù)的明確關(guān)注，讓學(xué)生積極主動(dòng)參與探究活動(dòng)。學(xué)生的任務(wù)不僅僅是參與，而是對活動(dòng)意義的深刻思考，提升學(xué)習(xí)遷移能力，而實(shí)現(xiàn)遷移無疑是所有教育的長期目標(biāo)。本文基于UbD模式，在比較整式方程和分式方程的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)上，圍繞大概念、基本問題和核心評估任務(wù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，探析《分式方程》的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，以幫助學(xué)生理解分式方程的概念及特殊意義，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、UbD模式下的分式方程教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

(一)階段一: 確定預(yù)期結(jié)果

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對分式方程這部分知識內(nèi)容做出了明確的要求，即“要能根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程式，體會(huì)分式方程刻畫出的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系模型，將復(fù)雜的分式方程轉(zhuǎn)化的簡單可解的一元一次方程”[2]。和其他設(shè)計(jì)領(lǐng)域一樣，教育工作者也必須考慮“用戶”體驗(yàn)，這也是UbD核心之一——理解。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式方程和分式四則運(yùn)算的知識內(nèi)容，對于整式方程特別是一元一次方程的解法和基本思路有一定的認(rèn)識，這對于學(xué)習(xí)分析方程有很大的幫助，但如何用分式方程表示實(shí)際問題中的等量關(guān)系，以及驗(yàn)根的必要性還缺乏理解，這其中滲透著“類比”“轉(zhuǎn)化”和“模型”的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生而言認(rèn)識還不足。

為了達(dá)到預(yù)期結(jié)果，在規(guī)劃《分式方程》教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要讓學(xué)生達(dá)成長期學(xué)習(xí)目標(biāo)，形成更深入的理解，具體需要考慮以下五個(gè)層次：目標(biāo)層次(Goal)、問題層次(Question)、理解層次(Understand)、知識層次(Knowledge)、技能層次(Skill)，具體如表1所示。

表1 “分式方程”單元逆向設(shè)計(jì)預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)

(二)階段二: 確定合適的評估證據(jù)

什么樣的證據(jù)可以證明學(xué)生已獲得真正的理解，教師需要設(shè)立評估標(biāo)準(zhǔn)來判斷學(xué)生的表現(xiàn)。教師應(yīng)該像“評估員一樣思考”，思考哪些“證據(jù)”可以證明學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了預(yù)期理解。實(shí)踐教學(xué)中評價(jià)方式包括隨堂檢測、小組互評、觀察、討論等。具體如表2所示。

以學(xué)習(xí)期望為導(dǎo)向，產(chǎn)生適合的教學(xué)行為，體現(xiàn)了UbD逆向設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、評估和過程的連貫性和一致性，使得教與學(xué)緊密結(jié)合。

(三)階段三: 設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)

1. 前測

教學(xué)開始前，先通過前測試題對學(xué)生學(xué)習(xí)分式方程的預(yù)備知識、技能、理解和態(tài)度進(jìn)行評估。

前測試題1.解方程x-12=x+252.計(jì)算(1)x+yx-y·y-xx+y(2)12p+3q+12p-3q3.x滿足什么條件時(shí),下面的分式有意義?1x(x-1)4.請結(jié)合之前學(xué)習(xí)方程和分式的經(jīng)驗(yàn),說說你準(zhǔn)備從哪些方面研究分式方程?

前測試題包括解一元一次方程、分式的乘除、分式的加減，這些知識是學(xué)習(xí)分式方程的必備知識。第1道題考查學(xué)生對一元一次方程解法的掌握，題目有意設(shè)計(jì)為分?jǐn)?shù)間的等量關(guān)系可以更好的對比分式方程的概念，體會(huì)分式方程和整式方程的本質(zhì)區(qū)別，也為后面求解分式方程埋下伏筆，滲透數(shù)學(xué)的類比思想；第2題和第3題是對本章前三節(jié)知識的檢測，學(xué)生剛學(xué)習(xí)不久，答題時(shí)間應(yīng)控制在3分鐘之內(nèi)，教師通過巡視觀察學(xué)生的答題情況，收集學(xué)生的共性錯(cuò)誤，找出理解偏差；第4題為開放性題目，學(xué)生可自由發(fā)言，不判斷對錯(cuò)。整個(gè)前測時(shí)間應(yīng)盡可能控制在5分鐘之內(nèi)。

2. 逆向設(shè)計(jì)，明確教學(xué)目標(biāo)

(1)教學(xué)目標(biāo)：理解分式方程的意義；掌握分式方程可化為一元一次方程的基本思路和一般解法；理解分式方程可能無解時(shí)的原因，并掌握解分式方程驗(yàn)根的方法；列分式方程表示實(shí)際問題中的等量關(guān)系，體會(huì)分式方程的模型作用；經(jīng)歷“實(shí)際問題——分式方程——整式方程”的過程；進(jìn)一步感悟類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

(2)教學(xué)重點(diǎn)：可化為一元一次方程的分式方程的解法；分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法及其轉(zhuǎn)化思想。

(3)教學(xué)難點(diǎn)：如何能將實(shí)際問題的等量關(guān)系用分式方程表示；理解分式方程可能無根時(shí)的原因。

3. 復(fù)習(xí)舊知(以題點(diǎn)知)，引發(fā)思考

好的教學(xué)設(shè)計(jì)不應(yīng)該是一成不變的，而是靈活變通的，要根據(jù)前測情況及時(shí)做出調(diào)整，這應(yīng)該是一個(gè)常識。教師需要從整體把握知識體系之間的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，由舊知識入手，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生思考，建立新舊知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。根據(jù)前測情況，復(fù)習(xí)一元一次方程的概念、解法和應(yīng)用，分析指出前測試題中的一元一次方程與課本引言中的得到的方程的區(qū)別。

(板書出兩個(gè)方程)

x-12=x+259030+v=6030-v

師：這兩個(gè)方程有什么不一樣嗎？

(引發(fā)思考)

生1：第一個(gè)是分子中含有未知數(shù)，第二個(gè)是分母中含有未知數(shù)。

生2：第一個(gè)叫整式方程，第二個(gè)叫分式方程。

師：第一個(gè)明明也是寫成了分?jǐn)?shù)的形式，為什么是整式方程？

生2：第一個(gè)方程的分母是一個(gè)具體的數(shù)，去分母后就化簡成了一個(gè)一元一次方程，而一元一次方程一定是一個(gè)整式方程。

(學(xué)生開始注意到整式方程和分式方程的區(qū)別)

師：通過這兩個(gè)方程的比較，你能給分式方程下一個(gè)定義嗎？

(學(xué)生嘗試定義)

定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。(整式方程的未知數(shù)不在分母中)

(教師PPT展示或板書)

評注 從舊知入手，首先評估學(xué)生知識水平，根據(jù)反饋進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，有意識利用數(shù)學(xué)知識體系之間的節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，搭建新舊知識之間的“橋梁”，通過對比自然過渡到分式方程概念本身，讓學(xué)生自己感悟分式方程的定義，有利于學(xué)生加深對新知識的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“親切感”。

4. 情景引入，走進(jìn)生活

例：“東風(fēng)”號輪船在靜水中的最大航速為30 km/h，它沿江以最大航速順流航行90 km所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60 km所用時(shí)間相等，江水的水流速度是多少？

(教師PPT展示情景問題)

師：解決這個(gè)實(shí)際問題要用到什么知識呢？

生3：設(shè)未知數(shù)，列一個(gè)分式方程并求解。

師：這個(gè)方程的等量關(guān)系怎么找呢？

(拋出關(guān)鍵問題，引發(fā)學(xué)生思考)

師生：分析

師：這個(gè)實(shí)際問題中包含的等量關(guān)系是什么？

生4：速度乘以時(shí)間等于路程。

師：我們可以用一個(gè)表格清晰把路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系表示出來，列出表格。

表3 航行問題中的等量關(guān)系

師：現(xiàn)實(shí)生活中還有其他的等量關(guān)系嗎？

(進(jìn)一步延伸)

生5：工效乘以工時(shí)等于工作量。

師：很好，對于實(shí)際問題，只要我們找到等量關(guān)系就可以列出相應(yīng)的方程。

評注：學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，找到等量關(guān)系，運(yùn)用表格的形式更加清晰地表示三者之間的關(guān)系，有助于學(xué)生尋找題目中的等量關(guān)系，體會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程。

5. 制造沖突，深入主題

師：那如何求解這個(gè)分式方程？有沒有同學(xué)知道？

生6：去分母

(有些學(xué)生雖然知道要去分母，但并沒有認(rèn)識到解分式方程和解一元一次方程之間的聯(lián)系。)

(在黑板板書求解過程，分別標(biāo)注每一步的名稱)

師：哪位同學(xué)類比這種方法，大膽嘗試解下方程？

生7：解：方程兩邊同乘以(30+v)(30-v)，得

90(30-v)=60(30+v)

2700-90v=1800+60v

150v=900

v=6

生8：解：方程兩邊同乘以x2-25，得到

x+5=10

x=5

師：大家說這位同學(xué)求解的正確嗎？

(發(fā)現(xiàn)問題，討論交流)

師：將x=5代入原分式方程檢驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)分母都為0，那么分式也就無意義了，因此，x=5是整式方程x+5=10的解，而不是原分式方程的解，實(shí)際上，這個(gè)分式方程無解。通過這兩個(gè)方程的求解，我們能總結(jié)出解分式方程的步驟和注意事項(xiàng)嗎？

(教師點(diǎn)撥，PPT或板書說明)

一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)做檢驗(yàn)(驗(yàn)根)：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。

評注: 這是本節(jié)課的重難點(diǎn)，也是高潮部分所在，學(xué)生通過類比整式方程的解法，大膽嘗試，體驗(yàn)到成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心，初步體會(huì)到解分式方程的基本思路，在學(xué)生得意之時(shí)，拋出一個(gè)無解的分式方程并檢驗(yàn)，學(xué)生必充滿疑問，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也能加深知識的理解。在探究解分式方程的步驟時(shí)，可以引導(dǎo)追問學(xué)生“我們的推導(dǎo)方法是如何產(chǎn)生的呢？解方程過程是否嚴(yán)密？我們在推導(dǎo)過程中運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想？”求解分式方程的A-M-T目標(biāo)如表4所示。

表4 求解分式方程的A-M-T目標(biāo)

6. 評估學(xué)習(xí)所得

例2 聯(lián)系實(shí)際問題，編出關(guān)于分式方程的應(yīng)用題，并求出應(yīng)用題的答案。

評注: 例題的選取分別考查學(xué)生對分式方程解法和實(shí)際問題解決的掌握，第一題為常規(guī)性題目，學(xué)生易作答，但應(yīng)注意驗(yàn)根；第二題結(jié)合生活實(shí)際，自編題目并解答，分式方程的構(gòu)建需要學(xué)生能從實(shí)際問題中提出數(shù)學(xué)等量關(guān)系，引導(dǎo)追問學(xué)生“分式方程的實(shí)際應(yīng)用中，你能總結(jié)出哪些等量關(guān)系？”學(xué)生可思考行程問題、工程問題、水航問題等，“授之以魚”兼“授之以漁”，這樣的設(shè)計(jì)十分有意義，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想。

在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師提出問題以幫助學(xué)生加深理解：這節(jié)課研究了什么?我們是怎么研究的?我們的研究結(jié)果是什么?我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？積極鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)回答，學(xué)生結(jié)合分式方程用自己的話具體闡述，對本節(jié)課有一個(gè)清晰的知識網(wǎng)絡(luò)體系。

三、實(shí)踐感悟

(一)目標(biāo)導(dǎo)向清晰，聚焦學(xué)生深層次理解

逆向設(shè)計(jì)的第一階段，教師基于課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容，研制清晰的學(xué)習(xí)目標(biāo)，在準(zhǔn)確把握教學(xué)預(yù)期的前提下，更加合理調(diào)整和分配教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生投入到更深層次學(xué)習(xí)活動(dòng)中。分式方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，根據(jù)具體問題情景，引導(dǎo)學(xué)生審題、分析數(shù)量關(guān)系、有效建立等量關(guān)系從而正確列出方程，并對比解整式的步驟進(jìn)而探究求解分式方程的方法，激發(fā)學(xué)生探索問題的欲望，引導(dǎo)學(xué)生理解題意，解決問題，通過探索、提煉、應(yīng)用和總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)和掌握模型思想。

(二)設(shè)計(jì)與目標(biāo)匹配，聚焦學(xué)習(xí)評價(jià)

學(xué)習(xí)評價(jià)是師生教與學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，凸顯教學(xué)評價(jià)為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)作用，學(xué)生可以及時(shí)在課堂上聯(lián)系和遷移知識，教師能夠及時(shí)反饋，有利于保障學(xué)習(xí)效果。同時(shí)UbD模式強(qiáng)調(diào)的是多樣化評價(jià)，有助于學(xué)生獲得多維度評價(jià)。UbD模式下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同時(shí)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：第一，學(xué)生對知識的探究、規(guī)劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)過程；第二，教師對學(xué)生學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)結(jié)果等的追問、反饋與評價(jià)，不僅僅包括師評、互評，也包括學(xué)生的自評。

分式方程的教學(xué)設(shè)計(jì)，以問題驅(qū)動(dòng)為主線，以“類比”——“轉(zhuǎn)化”——“模型”思想貫穿整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生不斷反思、設(shè)問、評估，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展和學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。