大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的HPM教學(xué)探索

蔡 奇 嶸

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌 300013)

一、引言

HPM(History and Pedagogy of Mathematics)，意指數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育，HPM有兩方面的含義：其一是指 HPM 國際研究團隊在國際數(shù)學(xué)教育會議上專門討論數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育融合；其二是指這個團隊的研究對象“如何更好地讓數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合在一起，共同促進學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展”[1]。

早在上世紀(jì)的八九十年代，有學(xué)者提出在未來的數(shù)學(xué)教育和研究中，必須越來越關(guān)注數(shù)學(xué)史有關(guān)的實證研究，這會給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育帶來意想不到的回報。2016年，在德國舉行的ICIM-13(國際數(shù)學(xué)教育大會)中，HPM專題研究小組讓我們看到了國外如何將數(shù)學(xué)史有機融入進教材中，包括在教學(xué)中的運用手段，史料的豐富性等方面，同時在研究的方式和內(nèi)容方面也呈現(xiàn)出了更為多元化的趨勢。

在大學(xué)數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中，如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)工作者越來越重視的課題，其中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)又起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)史即為數(shù)學(xué)文化的一個重要體現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點；讓學(xué)生能根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容追本溯源，了解整個知識體系的形成和發(fā)展；有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)；提升數(shù)學(xué)課堂的魅力，讓學(xué)生開闊視野，激發(fā)學(xué)習(xí)知識的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。因此，如何將數(shù)學(xué)史更好地融入教學(xué)的研究已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)教師關(guān)注的課題，同時，教師可以在進行HPM的教學(xué)實踐過程中不斷培養(yǎng)并完善數(shù)學(xué)學(xué)科的課程思政能力，廣大數(shù)學(xué)教師也能夠回歸到探索數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)中去。

二、HPM視角下的教學(xué)案例

(一)與極限有關(guān)的教學(xué)

極限概念是高等數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念之一，它的“ε-N”定義(“ε-σ”定義)也是大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中碰到第一個“攔路虎”，這種嚴(yán)密的邏輯化定義方式讓學(xué)生最初接觸時都有些不適應(yīng)。教師在講授極限概念的時候可以給學(xué)生簡單介紹概念發(fā)展的歷史，這樣由淺入深、循序漸進的方式可以讓學(xué)生更容易理解并接受。

極限概念的發(fā)展也經(jīng)歷一段非常漫長的過程，從最初的樸素直觀的定義方式到現(xiàn)代嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摱x，中間經(jīng)過了兩千多年的歷程。我國早在公元前三世紀(jì)的《莊子·天下篇》中就有記載：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。我國數(shù)學(xué)家劉徽也在他的“割圓術(shù)”中將極限思想運用于實際，這于古希臘數(shù)學(xué)家所提出的“窮竭法”有異曲同工之妙。當(dāng)然，這是極限概念的雛形。到十七世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨創(chuàng)立了微積分，其中必定會涉及到極限思想，但他們也并沒有明確提出極限概念，并且牛頓在極限概念的使用上是非常模糊不清的，甚至在某些關(guān)鍵之處出現(xiàn)了嚴(yán)重的邏輯錯誤，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的一次危機，數(shù)學(xué)家們開始意識到明確建立極限概念的必要性。經(jīng)過數(shù)學(xué)家們漫長的探索，在十九世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯終于完善了極限的定義，給出了極限定義的定性描述，即“ε-N”定義(“ε-σ”定義)，極限的嚴(yán)格化定義對于建立微積分學(xué)的基礎(chǔ)具有重大的意義。

教師在教授完極限定義之后，可結(jié)合數(shù)學(xué)史向?qū)W生介紹極限定義的應(yīng)用。古希臘有位哲學(xué)家芝諾，一生以構(gòu)想悖論而聞名，其中四個關(guān)于運動的悖論最著名，這里面第三個悖論“飛矢不動悖論”說到：任何一個物體待在一個地方叫不運動，可是飛動的箭在任意時刻不都是待在一個地方嗎？這樣的話，飛矢在任意時刻自然就是不動的。芝諾的論證看似簡單有道理，但我們也清楚知道運動的本質(zhì)是什么，要解決它就可以利用極限思想引入瞬時速度來說明。要求飛動的箭在某一時刻的瞬時速度，可以先求在這一時刻附近一個很小時間段內(nèi)的平均速度，而這一時刻的瞬時速度就是當(dāng)這個時間段Δt趨于零時平均速度所無限接近的那個數(shù)值，即極限值。有了瞬時速度的精確解釋后，我們就可以反駁芝諾的悖論，飛動的箭除了在起點和終點之外，任意時刻的瞬時速度都不是零，也就是說它不是靜止的。

(二)概率論的教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門重要課程，我們都知道它與實際有著密切的聯(lián)系，應(yīng)用領(lǐng)域已滲透到現(xiàn)代科學(xué)和社會生活的每一個角落，可以說，我們的生活離不開概率論。為了讓學(xué)生更好的了解并掌握概率論知識的具體應(yīng)用，教師在可結(jié)合概率論相關(guān)數(shù)學(xué)史給學(xué)生講授相關(guān)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)期望是概率論中的一個重要概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望時，對其本質(zhì)了解往往浮于表面，只生硬的記書本上的概念，要了解概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，我們在面對隨機現(xiàn)象需要做決策時，依據(jù)的就是這個隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)期望。期望是基于概率基礎(chǔ)上的，是對未知的預(yù)期，簡單的說期望就是在多次實驗之后，所預(yù)期的結(jié)果。教師在介紹完期望概念后，可給學(xué)生介紹概率論史上的一個有名悖論——“圣彼得堡悖論”：甲乙兩人約定賭局，甲擲硬幣直至擲出正面為止。若甲第一次就擲出正面，乙給甲1個盧布，若甲第一次擲出的為反面，第二次擲出正面，乙給甲2個盧布，若甲第一、二次均擲出反面，第三次擲出正面，乙給甲4個盧布……，以此類推，甲每多擲一次得到正面，乙就多付給甲一倍的錢。在這場賭博中，甲只贏錢不輸錢，為保證游戲的公平性，甲需先付給乙一定的錢來保證乙不吃虧，那么，甲需先給乙多少前才能保證游戲的公平呢？在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)期望后，學(xué)生們應(yīng)該知道，甲應(yīng)付的錢應(yīng)該是他在這場賭局中贏錢的期望值，我們可以讓學(xué)生來計算該期望值。若用X表示甲能贏得的錢數(shù)，則X的分布律如下表：

X124…2n-1…P1212 212 3…12 2…

三、結(jié)語

近年來，我國的HPM教學(xué)研究不論是從理論體系還是具體實施模式都越來越成熟，并建立起了相應(yīng)的規(guī)范、系統(tǒng)的體系。當(dāng)然，這條路依然很漫長，還需要繼續(xù)開發(fā)詳盡實用且高質(zhì)量的典型課堂案例，這就需要教師有良好的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，同時，繼續(xù)提高相應(yīng)的HPM教學(xué)的技能，這仍然是我們不斷努力的目標(biāo)。