巧變換、妙解題、悟化歸

張玲玲 戚有建

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“解題過程就是不斷變更題目的過程，我們必須一再變更它的形式，重新敘述它，改變觀察問題的角度，使問題呈現(xiàn)出新的面貌，引發(fā)我們新的思考、新的聯(lián)想，直到最后成功地找到一些有用的東西為止．”而變換恰恰就是變更題目的一個(gè)重要途徑，高中階段常見的變換有：平移變換、對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、伸壓變換．通過變換，可以改變問題的呈現(xiàn)形式，凸顯問題間的相互聯(lián)系，揭示問題的內(nèi)在本質(zhì)，可以將陌生問題化歸為熟悉問題、將復(fù)雜問題化歸為簡單問題．本文結(jié)合實(shí)例談?wù)剶?shù)學(xué)變換在優(yōu)化解題中的巧妙應(yīng)用．

一、平移變換

例1（2021年江蘇聯(lián)考題）已知函數(shù)y=kx+b與函數(shù)y=ex-1-e1-x的圖象交于A,B,C，且則實(shí)數(shù)k=_______．

分析本題是調(diào)研考試的最后一道填空題，難度較大．不少同學(xué)選擇聯(lián)列方程組處理，但是由于參數(shù)較多，計(jì)算煩雜，只能放棄．由于平移不改變線段的長度和直線的斜率，此題可以將函數(shù)y=ex-1-e1-x的圖象向左平移1 個(gè)單位長度，得到奇函數(shù)y=ex-e-x的圖象，從而利用函數(shù)的對稱性解決問題．

收納袋

1．平移不改變線段的長度和直線的斜率．

2．函數(shù)y=ex-a-ea-x的圖象具有對稱性，對稱中心為(a,0)．

解析通過平移，問題簡單化為：

“已知函數(shù)y=kx+b′與函數(shù)y=e-xe-x的圖象交于A′,B′,C′，且，則實(shí)數(shù)k=_______．”

此時(shí)奇函數(shù)y=e-xe-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，且是遞增函數(shù)，由可知直線l′經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)B′(0,0)．

設(shè)A′(x,ex-e-x),x＞0，由得

觀察出x=1 滿足要求，下面說明唯一性，

令f(x)=e2x+e-2x+x2(x＞0)，則f′(x)=2e2x-2e-2x+2x＞0，所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞增，所以方程①僅有一根x=1，此時(shí)可求得

點(diǎn)評：本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=ex-1-e1-x的對稱性，通過平移將函數(shù)y=ex-1-e1-x轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)y=ex-e-x；另外通過平移同時(shí)將問題進(jìn)行了簡化，此時(shí)容易由及單調(diào)性發(fā)現(xiàn)直線l′經(jīng)過對稱中心．由于平移僅改變圖形的位置，而不改變大小和形狀，這一特性給我們解決問題會帶來意想不到的效果．

二、對稱變換

例2（2020·山東卷）已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析本題處理方法很多，例如：1.直接研究f(x)min；2．先從必要條件入手求出參數(shù)a的初步范圍，然后再研究f(x)min；3．主元法，以a為主元，研究h(a)=aex-1-lnx+lna(a＞0)．

當(dāng)然，也可構(gòu)建同構(gòu)式，借助單調(diào)性處理；或者抓住對稱性（即反函數(shù)）處理．

解析1 構(gòu)建同構(gòu)式，借助單調(diào)性處理.

因?yàn)閍=elna，所以aex-1-lnx+lna≥1等價(jià)于elna+x-1+lna-1≥lnx．

兩邊加上x得elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx=elnx+lnx．

令g(t)=et+t,則g(lna+x-1)≥g(lnx),

可證得g(t)為單調(diào)增函數(shù)，所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1．

令h(x)=lnx-x+1,則h′(x)=所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，所以h(x)max=h(1)=0，所以lna≥0，即a≥1．

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借助原函數(shù)、反函數(shù)的對稱性命題的思路：先給定一個(gè)含參函數(shù)g(x)=ex+t，然后構(gòu)建不等式g(x)≥g-1(x)（即ex+t≥lnx-t），再替換參數(shù)（令lna-1=t），最后對其變形改寫即得不等式aex-1-lnx+lna≥1．

解析2 借助對稱變換處理.

不等式aex-1-lnx+lna≥1即aex-1+lna-1≥lnx，令lna-1=t，則a=et+1，原不等式轉(zhuǎn)化為ex+t≥lnx-t．

因?yàn)楹瘮?shù)y=ex+t與y=lnx-t的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以ex+t≥lnx-t轉(zhuǎn)化為ex+t≥x．

令g(x)=ex+t-x，則g′(x)=ex+t-1，當(dāng)x<-t時(shí)，g(x)遞減，當(dāng)x>-t時(shí)，g(x)遞增，故g(x)min=g(-t)=1+t≥0，所以t≥-1，所以a≥1．

點(diǎn)評：解法1 從題目的結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)建同構(gòu)式，借助單調(diào)性處理不等式，非常簡潔，但其中改寫成同構(gòu)式的變形過程技巧性較強(qiáng)，不容易想到．解法2 則是從對稱性入手，將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系，從而簡化了問題．

三、旋轉(zhuǎn)變換

例3（2020·福建聯(lián)考題）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，定點(diǎn)A(-4,0)，則線段AP長度的最小值是________．分析構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值，即研究的最小值，但是目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需對其變形改寫,此外也可以將原函數(shù)通過變換變形改寫．

解法1 換元處理.

令t=x+2，則所以當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，g(t)min=12，故AP長度的最小值為此時(shí)

收納袋

解法2 借助旋轉(zhuǎn)變換處理.

先向右平移2 個(gè)單位長度，再向下平移2 個(gè)單位長度，將函數(shù)簡化為從而得到一個(gè)等價(jià)問題：

“已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，定點(diǎn)A(-2,-2)，則線段AP長度的最小值是________．”

“已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，定點(diǎn)則線段AP長度的最小值是________．”

此時(shí)，就轉(zhuǎn)化為我們很熟悉的雙曲線中的最值問題，于是有：

設(shè)P(x,y)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以AP長度的最小值為此時(shí)

點(diǎn)評：通過圖象的平移、旋轉(zhuǎn)變換，在函數(shù)與圓錐曲線間建起了一座橋梁，使得“天塹變通途”，將原本較為復(fù)雜的一個(gè)函數(shù)最值問題最終轉(zhuǎn)化為較為簡單的圓錐曲線中的最值問題，揭示了問題的實(shí)質(zhì)．另外，方法1 中的換元實(shí)際上就是平移變換，但是我班同學(xué)并不是很輕松地想到了換元，值得反思．

四、伸壓變換

例4（2014·全國卷）已知點(diǎn)A(0,-2)，橢圓的離心率為F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

分析第（2）中，可以構(gòu)建關(guān)于面積的目標(biāo)函數(shù)來研究最值，也可以通過壓縮轉(zhuǎn)化為圓中的最值問題來處理．

解析（1）（過程略）．

（2）解法1：構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值．

當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)直線l∶y=kx-2，代入得(1+4k2)x2-16kx+12=0．

當(dāng)Δ=16(4k2-3)＞0，即k2＞時(shí)，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則從而

又點(diǎn)O到直線PQ的距離所以

解法2：借助伸壓變換處理．

先將橢圓沿x軸方向壓縮為原來的變成單位圓，從而轉(zhuǎn)化為圓中的問題，即下面這道題：

“過點(diǎn)A(0,-2) 的直線l與圓x2y2+=1 相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．”

此時(shí)非常簡單，由于S△OPQ=OP×OQ×sin ∠POQ=sin ∠POQ，

故當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，

此時(shí)設(shè)直線l:y=kx-2，則由∠POQ=90°得解得

點(diǎn)評：方法1 是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來處理，是通法，但是對我們的運(yùn)算要求較高，而方法2 是將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題來處理，由于圓具有很強(qiáng)的幾何性質(zhì)，所以問題得到了簡化．另外，解法2 充分彰顯了橢圓和圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，也揭示了問題的幾何本質(zhì)和命題背景．

小結(jié)變換的實(shí)質(zhì)是對應(yīng),通過變換可以揭示不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上來把握數(shù)學(xué)問題．高中階段常見的變換有：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、伸壓等等，通過這些變換，可以化山重水復(fù)為柳暗花明，降低計(jì)算難度，明晰解題方向，優(yōu)化解題過程，可以將陌生問題熟悉化、將復(fù)雜問題簡單化．變換解題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)也彰顯了數(shù)學(xué)的神奇和魅力！

波利亞說過：“如果我們不將題目變更，就幾乎不能有什么進(jìn)展，當(dāng)原問題看起來不可解時(shí)，你不要忘記了人類的高明之處，就在于會遷回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問題，會更自覺地變更題目．”