超空間上的MCM,K-MCM空間和函數(shù)插入

胡星宇，肖經(jīng)淵，彭良雪

（1. 北京工業(yè)大學(xué) 理學(xué)部，北京 100124；2. 廣州工商學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，廣東 廣州 510850）

自1983年MASHHOUR[1]給出超拓?fù)淇臻g的定義以來(lái)，超空間上的各種性質(zhì)就被廣泛研究．如：張國(guó)芳[2]在超拓?fù)淇臻g上引入超可數(shù)緊空間、超仿緊空間[3]，研究了它們的若干性質(zhì)，給出了超半連續(xù)函數(shù)的概念，并且利用這些概念給出了超可數(shù)緊空間的一些刻畫(huà)[4]；DEVI等[5]引入了超α開(kāi)集，并探討了它的相關(guān)性質(zhì)；SAYED[6]引入了一個(gè)新的集合類，把它命名為超b開(kāi)集，利用它給出了超b開(kāi)（閉）映射的概念，并討論了它們之間的關(guān)系；MUSTAFA[7]研究了超拓?fù)淇臻g中的弱分離性；AL-SHAMI[8]研究了超拓?fù)淇臻g中特殊的一些超覆蓋和超分離公理；在文獻(xiàn)[9-10]中，AL-SHAMI繼續(xù)引入了超α緊性，幾乎超α緊性，以及弱超α緊性等相關(guān)概念，并且研究了它們之間的關(guān)系；張國(guó)芳[11-13]研究了超拓?fù)淇臻g上超星覆蓋的若干性質(zhì)，超拓?fù)淇臻g上的可乘性質(zhì)和相對(duì)超分離公理.

近年來(lái)，一般拓?fù)淇臻g上的函數(shù)插入問(wèn)題受到廣泛的關(guān)注，尤其是某些廣義度量空間和函數(shù)插入的關(guān)系更是被深入研究．如：燕鵬飛[14]得到了半層空間、K-半層空間和函數(shù)插入之間的關(guān)系；謝利紅[15]通過(guò)研究單調(diào)遞減的集合列，給出了可數(shù)亞緊、可數(shù)仿緊、完全正規(guī)空間和函數(shù)插入之間的關(guān)系．受此啟發(fā)，本文嘗試在超空間中對(duì)某些廣義度量空間進(jìn)行研究，討論它們和函數(shù)插入之間的關(guān)系．

1 基本概念

定義1[3]若X上的子集族μ滿足μ包含X和?并且μ的任意子族的并仍在μ中，則稱μ為X上的超拓?fù)洌紝?duì) ),(μX稱為超拓?fù)淇臻gμ中的元素叫做超開(kāi)集，超開(kāi)集的補(bǔ)集叫做超閉集．

定義 2[3]設(shè)(X,μ)是一個(gè)超拓?fù)淇臻g，x∈X，如果U是X的一個(gè)子集，存在一個(gè)超開(kāi)集μ∈V，使得x∈V?U，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)超鄰域．

定義3[3]設(shè)E是超空間(X,μ)的一個(gè)子集，那么包含E的所有超開(kāi)集的交叫作E的超閉包，記作scl(E) ．

定義4[3]在超拓?fù)淇臻g (X,μ)中，若每一個(gè)超閉子集F和每一點(diǎn)Fx∈，都存在2個(gè)不相交的超開(kāi)集G、H分別包含F(xiàn)、x，則稱X是超正則空間，也稱X是 3ST空間．

定義5[3]一個(gè)超拓?fù)淇臻g (X,μ)，若2個(gè)不相交的超閉集F1和F2，存在不相交的超開(kāi)集G和H分別包含F(xiàn)1和F2，則稱超拓?fù)淇臻g (X,μ)是超正規(guī)空間，也稱X是 ST4空間．

定義6[4]設(shè) (X,μ)是超拓?fù)淇臻g，是賦予通常拓?fù)涞膶?shí)直線．f:X→是超上半連續(xù)函數(shù)（超下半連續(xù)函數(shù))，若對(duì)任意r∈,集合{x∈X:f(x)＜r} (或 {x∈X:f(x)＞r})是超開(kāi)集.

定義7[2]定義一個(gè)超拓?fù)淇臻g),(μX，若對(duì)于X的任意超開(kāi)覆蓋均有一個(gè)有限的超子覆蓋，則稱它為超緊空間．

定義8[16]空間X被稱作單調(diào)可數(shù)亞緊空間MCM，如果存在一個(gè)算子S，將X中的每一個(gè)相交為空集的遞減的閉集列{Fn}都對(duì)應(yīng)X的超開(kāi)集列S(n, {Fn}))，并且滿足：

定義 9[17]滿足下述條件的空間X稱為K-M C M空間：存在X上的g函數(shù)，使得對(duì)X的任一序列{xn}及緊集C，若對(duì)于任意n∈ω(ω代表自然數(shù)的基數(shù)），有則序列{xn}在X中有聚點(diǎn)．

文獻(xiàn)[17]中稱K-MCM空間為kβ空間．

定義10對(duì)于超拓?fù)淇臻g ),(μX，將X上的全體超下（上）半連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記作CLSC(X)(CUSC)(X)．

定義 11令{An}和{Bn}是超拓?fù)淇臻g(X,μ)的2個(gè)超子集序列．為了簡(jiǎn)便，對(duì)于任意n∈，如果An?Bn，則把{An}和{Bn}的關(guān)系記作．此外，令

2 主要結(jié)果

首先給出C-MCM，C-K-MCM半層空間的概念．

定義12[18]空間X被稱作單調(diào)超可數(shù)亞緊空間C-MCM，如果存在一個(gè)算子U,將X中的每一個(gè)相交為空集的遞減的超閉集列{Fn}都對(duì)應(yīng)X的超開(kāi)集列U(n,{Fn}))，并且滿足：

定義13[18]設(shè)X為超拓?fù)淇臻g ),(μX，函數(shù)g：是X上的超g函數(shù)，如果對(duì)于x∈X和n∈，有x∈g(n+1,x)?g(n,x)成立．

下面，利用超g函數(shù)和遞減的超閉集列刻畫(huà)C-K-M CM空間．

定義14[18]滿足下述條件的超拓?fù)淇臻g ),(μX稱為C-K-MCM空間：存在X上的超g函數(shù)，使得對(duì)X的任一序列{xn}及超緊空間K，如果對(duì)于任意n∈，都有成立，則序列{xn}在X中有聚點(diǎn)．

接下來(lái)討論C-K-MCM空間性質(zhì)，由文獻(xiàn)[17]的定理4易得以下結(jié)論:

定理1設(shè)X為超拓?fù)淇臻g(X,μ)，則下列條件相互等價(jià)：

(1)X是C-K-MCM空間；

(2) 存在一個(gè)算子U，將X中的每一個(gè)相交為空集的遞減的超閉集列{Fn}都對(duì)應(yīng)為X的超開(kāi)集列{U(n, {Fn})}，使得下面這些結(jié)論成立．

(ii) 對(duì)于X的任一超緊子集K，存在n∈，使得

如果算子U滿足定義12或者定理1的條件，那么它被稱作C-MCM算子或者C-K-MCM算子．

定理2設(shè)X是超拓?fù)淇臻g(X,μ)，則下列等價(jià)：

(1)X是C-MCM空間；

(2) 存在保序算子映射

證明：(1) (2)? . 根據(jù)定義12，假設(shè)算子U是X上的C-MCM算子．對(duì)于任意h∈ CLSC+, 令Fn(h) = {x:h(x) ≤ 1/n- 1}，在這里n＞ 1, 并且F1(h） =X．那么{Fn(h) }是相交為空集的遞減的超閉集列．當(dāng)時(shí)，定義φ(h) :X→，并且φ(h)(x) = 1/n，所以

此外，對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)r，都存在n∈，使 得是超開(kāi)集．

現(xiàn)在假設(shè)h,h‘ ∈CLSC+(X)，并且h≤h‘，因?yàn)閔‘(x) ≤ 1/n-1，所以h(x) ≤ 1/n-1，所以，對(duì)于任意n∈，都有Fn(h‘ ) ?Fn(h)成立．那么，對(duì)于任意n∈，都有成立．

對(duì)于任意x∈X，存在n∈，使得

取定這些n，有成立，所以

所以，φ(h)(x) = 1/n，并且因此h(x)＞ 1/n．綜上所述，φ(h)＜h．

(2) ? (1)．假設(shè){Fn}是X中相交為空集的遞減超閉子集序列，可以假設(shè)F1=X．當(dāng)時(shí)，令h{Fn}:X→ [0,1]，并且，因此

這足以證明U是X上的C-MCM算子，下面展開(kāi)證明．

顯而易見(jiàn)，每一個(gè)U（n,{Fn})都是超開(kāi)集．因?yàn)閤∈Fn，當(dāng)且僅當(dāng)h{Fn}(x)≤ 1/n，所以對(duì)于任意n∈，都有Fn?U(n,{Fn})成立．對(duì)于任意x∈X，都存在n∈，使得φ(h{Fn})(x) ＞ 1/n．取定這些n，有成立，這意味著

現(xiàn)在假設(shè){Fn}和 {Fn‘}是2個(gè)相交為空集的遞減超閉子集序列，并且，那么所以，這意味著對(duì)于每一個(gè)n∈，都有成立．因此U是X上的C-MCM算子．證畢．

定理3設(shè)X是超拓?fù)淇臻g ),(μX，則下列結(jié)論等價(jià)：

(1)X是C-K-MCM空間；

(2) 存在保序算子映射φ: CLSC+(X) → CUSC+(X)滿足以下條件：

(ii)對(duì)于X的每一個(gè)超緊子集K，對(duì)于所有的xK∈，都存在實(shí)數(shù) 0r＞，使得φ(h)(x)＞r．

證明：(1) (2)? ．根據(jù)定理1，假設(shè)U是X上的C-K-MCM算子，對(duì)于每一個(gè)令Fn(h) = {x:h(x) ≤ 1/n- 1}，在這里n＞ 1,并且F1(h）=X．那么{Fn(h) }是相交為空集的遞減的超閉集列．

現(xiàn)在令K是X的超緊子集，存在n∈，使得．令r= 1/n，根據(jù)φ(h)的定義，

對(duì)于所有的x∈K，都有φ(h) (x) ＞r成立．

(2) (1)? ．假設(shè){ }nF是相交為空集的遞減的超閉子集列．可以假設(shè)F1=X，當(dāng)x∈Fn-Fn+1時(shí)，定義h{Fn}:X→ [0,1]，并且h{Fn}(x) = 1/n成立.因此h{Fn}∈CLSC+(X)．

再令

由定理2的證明可知，U是X上的C-MCM算子．

令K是X的超緊子集，存在 0r＞，對(duì)于所有的x∈K，都有成立．

又因?yàn)橐欢ù嬖趎∈，使得1/n＜r，取定這些n，有K∩U(n,{Fn})=?成立．證畢．