模態(tài)分析理論與工程應(yīng)用

郝 勇 王經(jīng)磊 劉 鉑 孫浩誠 韓蕓徽 陳 豐

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

0 前 言

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，一些高精密電子廠房，如芯片廠、面板廠等，以及一些大型橋梁在不斷地建設(shè).這些建筑不僅要滿足承載力要求，還要防止外界振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響.為獲取結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的相關(guān)參數(shù)，防止外界振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)安全及設(shè)備正常運(yùn)行產(chǎn)生不利影響，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)測試及相關(guān)數(shù)據(jù)分析.

模態(tài)分析是以識(shí)別振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)為目的的一種分析方法.它把振動(dòng)系統(tǒng)中相互耦合的運(yùn)動(dòng)方程通過模態(tài)坐標(biāo)變換，使方程組解耦，進(jìn)而求出各階模態(tài)參數(shù).由于模態(tài)分析技術(shù)在振動(dòng)控制方面存在巨大的應(yīng)用價(jià)值，自上世紀(jì)中期開始，模態(tài)分析技術(shù)迅速發(fā)展，如今在線性模態(tài)分析方面已發(fā)展至成熟階段.目前國內(nèi)外已研制出多款模態(tài)分析軟件，這些軟件為解決振動(dòng)問題發(fā)揮了巨大作用.

1 理論基礎(chǔ)

為引入模態(tài)參數(shù)，以n個(gè)自由度的無阻尼系統(tǒng)實(shí)模態(tài)分析為研究對(duì)象，闡述相關(guān)參數(shù)的物理意義[1].

(1)

1.1 自由振動(dòng)

(2)

設(shè)特解x=φejωt

其中φ為自由響應(yīng)的位移幅值列向量，將特解代入(1-2)式得(K-ω2M)φ=0

(3)

式(1-3)為n階齊次線性方程組，式中K-ω2M為系數(shù)矩陣，ω2為方程組特征值，φ為方程組特征向量，要使該方程組有非零解，則系數(shù)矩陣的行列式|K-ω2M|=0,設(shè)該方程無重根，可解得此方程有n個(gè)不等正根ω0i(i=1,2,…,n)，ω0i(i=1,2,…,n)即為結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的自振頻率，將ω0i(i=1,2,…,n)代入式(1-3)，可得n個(gè)線性無關(guān)的特征向量φi(i=1,2,…,n)，φi為第i階頻率對(duì)應(yīng)的振型.將φi(i=1,2,…,n)組合成一個(gè)n×n的方陣，即φ=[φ1,φ2,…,φn]，φ被稱為模態(tài)矩陣.

把其中一個(gè)特征值ω0i與其對(duì)應(yīng)的特征向量φi代入式(1-3)，并左乘另外一個(gè)特征向量的轉(zhuǎn)置φjT得φjT(K-ω0i2M)φi=0

(4)

然后再將第j個(gè)特征值ω0j和其對(duì)應(yīng)的特征向量φj代入式(1-3)得

(K-ω0j2M)φj=0

(5)

將式(1-5)進(jìn)行轉(zhuǎn)置(K、M為對(duì)稱矩陣)，右乘φi得

φjT(K-ω0j2M)φi=0

(6)

(1-4)與(1-6)相減得(w0j2-ω0i2)φjTMφi=0

(7)

當(dāng)i≠j時(shí)，ω0i2≠ω0j2，則φjTMφi=0.

當(dāng)i=j時(shí)，令mi=φiTMφi，定義mi為模態(tài)質(zhì)量，因?yàn)镸為正定矩陣，所以mi≥0.

當(dāng)i≠j時(shí)，因φjTMφi=0，故φjTKφi=0.

當(dāng)i=j時(shí)，令ki=φiTKφi，定義ki為模態(tài)剛度，因?yàn)镵為正定或半正定矩陣，所以ki≥0.

通過以上理論推導(dǎo)可知，各階模態(tài)的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，彼此之間不發(fā)生能量交換，且每階模態(tài)的能量守恒.

根據(jù)模態(tài)展開定理，可得物理坐標(biāo)系的自由響應(yīng)函數(shù)

(8)

式中yi(i=1,2,…,n)為向量x對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo).

令初始條件y0=φ-1x0，的模態(tài)坐標(biāo)自由響應(yīng)函數(shù)yi=yisin(ω0it+θi)

(9)

將式(1-9)代入式(1-8)可得物理坐標(biāo)系的自由響應(yīng)函數(shù)

1.2 頻響函數(shù)

無阻尼振動(dòng)受簡諧激勵(lì)，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為與激勵(lì)同頻的簡諧運(yùn)動(dòng)，令f(t)=Fejωt穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為x(t)=Xejωt,將x(t)與f(t)代入式(1-1)可得(K-ω2M)X=F，令X=H(ω)F，所以H(ω)=(K-ω2M)-1，H(ω)被稱為頻響函數(shù)或傳遞函數(shù).

1.2.1 頻響函數(shù)的模態(tài)展開式

(10)

設(shè)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)函數(shù)y=Uejet，代入式(1-10)，整理得

(11)

頻響函數(shù)是模態(tài)分析中頻域法參數(shù)識(shí)別的基礎(chǔ).

2 模態(tài)參數(shù)測試流程

模態(tài)測試系統(tǒng)包含三個(gè)部分：①激振系統(tǒng)；②傳感系統(tǒng)；③分析系統(tǒng).其中激振系統(tǒng)主要包括激振器、功率放大器和信號(hào)源.傳感系統(tǒng)主要包括傳感器、連接線等.分析系統(tǒng)主要包括數(shù)據(jù)接收裝置、機(jī)箱及相關(guān)軟件等.分析儀接受傳感器產(chǎn)生的信號(hào)，并進(jìn)行數(shù)字分析與計(jì)算.測試相關(guān)流程見圖1.

圖1 模態(tài)測試流程

以錘擊法為例，利用LMS測試系統(tǒng)[2]對(duì)模態(tài)測試流程進(jìn)行詳細(xì)敘述.

在測試之前首先應(yīng)設(shè)置力錘通道和加速度傳感器通道，然后進(jìn)行錘擊示波，定義示波的帶寬及頻率分辨率.用力錘(如圖2)敲擊被測結(jié)構(gòu)，錘擊力度應(yīng)盡量保持一致，通過錘擊示波使系統(tǒng)確定一個(gè)合適的量程范圍.

接下來進(jìn)行錘擊測試的設(shè)置，包括觸發(fā)級(jí)設(shè)置，帶寬、窗函數(shù)及錘擊點(diǎn)的選取.

用力錘錘擊被測結(jié)構(gòu)，直到在電腦屏幕上看到脈沖，選取應(yīng)用建議值，軟件可自動(dòng)進(jìn)行觸發(fā)級(jí)設(shè)置.然后繼續(xù)錘擊被測結(jié)構(gòu)，觀察頻率帶寬范圍內(nèi)激勵(lì)點(diǎn)譜的分布來檢查所定義帶寬是否合適.錘頭的選擇應(yīng)根據(jù)頻率帶寬來確定.對(duì)窗函數(shù)的選擇仍然需要用力錘錘擊被測結(jié)構(gòu)，通過錘擊，軟件可以自動(dòng)選擇窗函數(shù)，也可以手動(dòng)設(shè)置.激勵(lì)點(diǎn)的選取應(yīng)對(duì)被測結(jié)構(gòu)的不同位置進(jìn)行錘擊，通過驅(qū)動(dòng)點(diǎn)設(shè)置菜單可以將所測驅(qū)動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行顯示和比較，選取能夠有效激起各階模態(tài)的激勵(lì)點(diǎn)作為最佳激勵(lì)點(diǎn).以上設(shè)置完成后，可進(jìn)行正式的模態(tài)測試.

圖2 力錘 圖3 三軸加速度傳感器

圖4 數(shù)字式頻率分析儀

模態(tài)測試中，要在結(jié)構(gòu)的X向、Y向和Z向分別選取一個(gè)最佳激勵(lì)點(diǎn).將三軸加速度傳感器(如圖3)依次放置在測點(diǎn)上.用力錘依次錘擊三個(gè)最佳激勵(lì)點(diǎn)，即可記錄每個(gè)測點(diǎn)上的激勵(lì)響應(yīng).力錘和傳感器將激勵(lì)和響應(yīng)的時(shí)域信號(hào)傳輸?shù)椒治鰞x(如圖4)，通過分析儀和電腦軟件的相關(guān)處理與計(jì)算可獲得結(jié)構(gòu)的非模態(tài)參數(shù)，如頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù).對(duì)頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)一步分析得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性.

3 模態(tài)分析的應(yīng)用

隨著振動(dòng)理論的發(fā)展，基于承載力和位移的設(shè)計(jì)指標(biāo)已不再滿足結(jié)構(gòu)工程的設(shè)計(jì)要求，尤其是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)和對(duì)振動(dòng)較敏感的結(jié)構(gòu).為了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，模態(tài)分析技術(shù)在解決工程振動(dòng)問題中得到了廣泛的應(yīng)用，如對(duì)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行模態(tài)分析，推算原型的動(dòng)力特性，或通過模態(tài)分析診斷結(jié)構(gòu)缺陷等.

3.1 模態(tài)分析在汽輪機(jī)基礎(chǔ)中的應(yīng)用

汽輪機(jī)的正常運(yùn)行會(huì)對(duì)其基礎(chǔ)產(chǎn)生持續(xù)振動(dòng)，通過LMS Test Lab系統(tǒng)對(duì)汽輪機(jī)基礎(chǔ)的自振特性進(jìn)行測試，可獲得結(jié)構(gòu)的各階自振頻率、振型及阻尼比等相關(guān)參數(shù).

汽輪機(jī)是一個(gè)連續(xù)的結(jié)構(gòu)，故其階數(shù)有無窮多階，在實(shí)際工程中，一般只取前50至前80階自振頻率及對(duì)應(yīng)的振型進(jìn)行研究.通過對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的對(duì)比研究(見表1)發(fā)現(xiàn)，汽輪機(jī)的工作頻率一般在50Hz左右，為防止結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，基礎(chǔ)各階振型所對(duì)應(yīng)的自振頻率在50Hz左右的范圍內(nèi)分布不應(yīng)太密，越稀疏越有利于汽輪機(jī)的安全運(yùn)行.在低階振型范圍內(nèi)，汽輪機(jī)基礎(chǔ)主要以整體平動(dòng)為主，在高階振型的范圍內(nèi)，汽輪機(jī)基礎(chǔ)主要以局部彎曲、扭轉(zhuǎn)為主.基礎(chǔ)整體平動(dòng)對(duì)汽輪機(jī)的安全運(yùn)行影響較小，而基礎(chǔ)局部的扭轉(zhuǎn)、彎曲對(duì)汽輪機(jī)的安全運(yùn)行影響較大.

表1 汽輪機(jī)基礎(chǔ)自振特性的對(duì)比研究

除對(duì)汽輪機(jī)基礎(chǔ)進(jìn)行模態(tài)分析，獲得各階自振頻率、阻尼比及振型外，還應(yīng)對(duì)擾力點(diǎn)的振動(dòng)線位移進(jìn)行計(jì)算.擾力點(diǎn)的位置一般為汽輪機(jī)軸承所在位置，擾力值一般由汽輪機(jī)生產(chǎn)廠家提供.在LMS Virtual.Lab軟件中應(yīng)建立汽輪機(jī)基礎(chǔ)模型，在擾力點(diǎn)位置施加X、Y、Z三個(gè)方向的擾力.通過軟件計(jì)算可知各測點(diǎn)的振動(dòng)線位移響應(yīng)，檢測各測點(diǎn)的振動(dòng)線位移是否符合《動(dòng)規(guī)》要求.對(duì)于振動(dòng)線位移響應(yīng)較大的測點(diǎn)，應(yīng)對(duì)相關(guān)測點(diǎn)加強(qiáng)振動(dòng)控制，如增加減震裝置或加強(qiáng)局部剛度等.

3.2 模態(tài)分析在結(jié)構(gòu)損傷檢測和損傷預(yù)警中的應(yīng)用

利用模態(tài)分析對(duì)結(jié)構(gòu)損傷檢測和損傷預(yù)警有多種方法，對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行研究(見表2)，常見方法有剛度法、模態(tài)置信因子法、模態(tài)柔度法等.其原理都是由結(jié)構(gòu)損傷引起的結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度發(fā)生改變，這兩種因素的改變會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的模態(tài)發(fā)生變化.對(duì)比損傷前與損傷后某一模態(tài)參數(shù)的變化或?qū)p傷后某一模態(tài)參數(shù)進(jìn)行研究，可確定結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度.

表2 模態(tài)分析在結(jié)構(gòu)損傷檢測及損傷預(yù)警中的研究

4 結(jié) 論

通過對(duì)模態(tài)分析基本理論的研究，得出各階模態(tài)正交的理論依據(jù)及頻響函數(shù)的推導(dǎo)過程，為模態(tài)分析中參數(shù)識(shí)別法的研究奠定基礎(chǔ).

對(duì)于現(xiàn)場模態(tài)測試，由于受多種環(huán)境因素的影響，一般多采用錘擊法測試模態(tài).把所測數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析，其分析結(jié)果可為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、振動(dòng)控制和結(jié)構(gòu)損傷及損傷預(yù)警等工程問題提供幫助.