特例法

張艷 胡躍華

特例法是研究、解決數(shù)學問題的一種簡單、常用的方法，它來源于特殊與一般的數(shù)學思想，其原理依據(jù)清晰、直觀、自然。是我們學習數(shù)學知識必須理解和掌握的基本方法之一。 它在解答數(shù)學各種題型或研究數(shù)學問題中都有巧妙的應用，是一種得分的基本方法。

特殊與一般的數(shù)學思想：

根據(jù)數(shù)學原理，要證明一個命題是真命題，必須證明所有滿足條件的情形命題成立才行;而要否定一個命題，只要找到一個反例即可，即反駁。反例：即找到一個滿足條件而不能得出結論的例子，就可以否定這個結論。

一般成立特殊一定成立;

特殊成立一般不一定成立;

特殊不成立一般一定不成立.

我們可以巧妙地運用特例法來解決數(shù)學問題。由于特例法是一種特殊的方法，它的應用具有一定的局限性，雖然不能用來解決所有數(shù)學問題，但它是一種比較好的數(shù)學方法。主要有如下幾類問題可以使用特例法來解決。

一、利用特例法解答選擇題

有些選擇題可以用符合題設條件的某些特殊值代替有關字母;或者用符合題設條件的某個特殊圖形代替有關的一般圖形進行具體的演算和推理，從而判斷各個選擇支的正確或錯誤的方法。特例法是通過找特例來判斷錯誤的選擇支，就能肯定正確的選擇支的方法， 它必須與排除法一起結合使用。

如果所給的問題比較難，比較抽象，比較復雜，可以通過特例法來解決。利用特殊與一般的思想，將一個較難的問題轉化為一個相對較簡單的問題來解決。

通過比較，特例法是一種非常好的解答方法。

利用特例法解答選擇題需要注意以下幾個方面：

注意1：特例一定要滿足條件。它只能用來否定選項，而不能用來肯定選項。

注意2：選擇特例時要注意特例的類型。同一類型的特例選擇的次數(shù)不要太多，一般一種類型選擇一次。

注意3：特例選擇得越復雜，一次成功的概率就越大。但相對的運算或分析就越復雜，要兩者兼顧。

注意4：越是難的問題，越劃算用特例法。

注意5：如果問題本身就是特殊情形的，不可以使用特例法。

注意6：答案中應該有的元素，在選項中沒有，則該選項是錯誤的。答案中不應該有的元素，在選項中有，則該選項是錯誤的。

注意7：選項也是問題的條件，在選擇特例時，要注意選項之間的關系。

特例法適用題型特點：

如果一個選擇題中含有動態(tài)的量，這個選擇題就可以考慮使用特例法。

如：問題知含有變量、幾何圖形可以變化等。可從不同的角度來取特例，也可同時取不同的量的特例。

特例法使用情況統(tǒng)計：

在2005年全國Ⅲ文理科高考試卷中有7題選擇題可以使用特例法。

在2016年全國新課標理科卷Ⅲ中有第1，5，8，11，12，17題可以使用特例法。

在2018年全國新課標理科卷Ⅲ中有第3，4，5，10，12，15題可以使用特例法。

利用特例法能夠準確，快速地解答選擇題！雖然不可以解決所有的問題，但利用到它，就能為我們節(jié)約大量的時間。特別是越是難的問題，越劃算用特例法來解決，因為一個一般性的問題的解決是不容易的，特別在考試時可能是無法解決的，而選擇題沒有必要去找出一般性解答。

二、利用特例法解答填空題

當題目提供的信息暗示答案確定時，可選取符合題設條件的特例來求解的方法。

在利用特例法解答填空題時，“暗示”的理解比較困難，想到就簡便了。

三、利用特例法與解答題

有些解答題可以用符合題設條件的某些特殊值代替有關字母;或者用符合題設條件的某個特殊圖形代替有關的一般圖形進行具體的演算和推理，來肯定或否定某個結論，可以達到快速解決簡答題的相關問題。

3. 檢查代數(shù)式的化簡

當遇到比較復雜的代數(shù)式的變形或化簡時，可以根據(jù)特殊與一般的思想，利用特例來檢驗其結果的正確性。如果用一組特殊的數(shù)值檢驗某個代數(shù)式，變形前后的答案不同，則說明變形過程出現(xiàn)錯誤，提醒檢查變形過程，并及時改正。解決一個問題的方法已經(jīng)掌握了，若過程或運算出現(xiàn)錯誤，太不劃算了。

在高考試題中，解析幾何大題的運算量是比較大的，如果能利用特例法進行驗證，避免在運算方面出錯，或及時發(fā)現(xiàn)錯誤并改正，也是一種多得分的策略。

4. 檢驗結論或答案

在結論是含有動態(tài)的量的時候，可利用特例法來檢結論或答案是否正確。

如，在利用“錯位相減法”求解數(shù)列求和問題時，大部分同學的化簡或計算會出現(xiàn)問題，如能利用特例法取n=1或2（最好利用在解答過程最好沒有用過的數(shù)據(jù)）來驗證，可以保證該題拿到滿分。用n=1時檢驗答案就是錯誤的，說明解答過程已經(jīng)出錯了。

5.尋找解答問題的方法

當一個一般性的數(shù)學問題感覺比較難，無從下手時，可以利用特例法來研究這個問題，再研究在一般情況下是否成立，這就是降格策略。如果是解答題，雖然不能得到滿分，但可以得到部分分數(shù)。

注意特例法只能用來否定。特例法是解決數(shù)學問題的一種重要的方法。