伴流聲場(chǎng)計(jì)算的有限元方法及其應(yīng)用

范一良，季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

聲波是由于介質(zhì)的彈性效應(yīng)引起的，相對(duì)于介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)[1]。在消聲器和管路系統(tǒng)中都存在氣體的流動(dòng)，氣體的流動(dòng)直接影響聲波的傳播，進(jìn)而影響消聲器的聲學(xué)特性。對(duì)于等截面或漸變截面管道，假定管道內(nèi)流體在垂直于軸線的橫截面上以均勻速度流動(dòng)，此時(shí)管道內(nèi)的聲傳播可用解析方法求解[1-2]。但是多數(shù)消聲器內(nèi)部的流場(chǎng)是非均勻的，需要使用三維數(shù)值方法計(jì)算消聲器內(nèi)的流場(chǎng)并考慮流場(chǎng)對(duì)聲場(chǎng)影響。由于問(wèn)題的復(fù)雜性，通常假設(shè)傳輸聲波的是無(wú)旋、無(wú)粘的運(yùn)動(dòng)介質(zhì)，于是速度可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)被稱(chēng)為速度勢(shì)。速度勢(shì)可以進(jìn)一步分解為不隨時(shí)間發(fā)生變化的平均量和小擾動(dòng)的聲學(xué)量，結(jié)合流體的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和狀態(tài)方程得到伴流下的聲波波動(dòng)方程。

Danda等[3-4]在研究渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇通道的聲輻射時(shí)給出了勢(shì)流中的波動(dòng)方程，討論了與之相關(guān)的聲學(xué)邊界條件，并在邊界上采用近似方法用FEM編程計(jì)算出聲場(chǎng)的分布，但是省略了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，后續(xù)相關(guān)研究[2]也是直接引用其結(jié)論。Myers[5]建立了掠過(guò)流下無(wú)粘流體中邊界面上法向聲質(zhì)點(diǎn)振速與聲質(zhì)點(diǎn)法向位移、法向位移的梯度、平均流和圓頻率之間的關(guān)系，法向位移又與聲壓通過(guò)聲阻抗建立起聯(lián)系，但表達(dá)式比較復(fù)雜，很難在FEM中編程實(shí)現(xiàn)。Eversman[6]在Myers的基礎(chǔ)上研究聲阻抗邊界時(shí)，受到Moehring[7]的啟發(fā)，得到了更加簡(jiǎn)化、準(zhǔn)確、容易編程實(shí)現(xiàn)的表達(dá)式，隨后該表達(dá)式被Eversman應(yīng)用在可壓縮勢(shì)流的逆流定理與聲學(xué)互易性[8]和管道內(nèi)可壓縮勢(shì)流聲學(xué)互易的數(shù)值實(shí)驗(yàn)[9]研究中，但Eversman只探討了阻抗邊界條件，對(duì)于聲激勵(lì)邊界、穿孔阻抗邊界和無(wú)反射邊界則沒(méi)有涉及。徐貝貝等將有限元法應(yīng)用于計(jì)算穿孔管消聲器的傳遞損失[10]，分析了穿孔率對(duì)消聲器聲學(xué)性能的影響，但僅限于無(wú)流情況。

Eversman省略了推導(dǎo)勢(shì)流中的聲波方程的過(guò)程，并且聲邊界條件的探討也僅限于阻抗邊界。本文補(bǔ)充勢(shì)流中聲波方程推導(dǎo)過(guò)程中的相關(guān)細(xì)節(jié)，運(yùn)用伽遼金加權(quán)余量法建立相應(yīng)的有限元弱形式，討論和分析勢(shì)流狀態(tài)下管道聲學(xué)計(jì)算的各種聲邊界條件，通過(guò)裝配和組裝得到弱形式的矩陣表達(dá)式，并給出有限元編程計(jì)算的相關(guān)細(xì)節(jié)。為驗(yàn)證理論和計(jì)算程序的正確性，使用自行編寫(xiě)的有限元程序計(jì)算H-Q管的傳遞損失，并與一維理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，之后將有限元法應(yīng)用于分析流速和結(jié)構(gòu)變化對(duì)H-Q管消聲性能的影響。

1 伴流聲學(xué)方程

假設(shè)消聲器內(nèi)部是無(wú)旋、無(wú)粘、定常的氣體流動(dòng)，對(duì)于任意空間位置固定的無(wú)窮小微團(tuán)，微分形式的質(zhì)量守恒方程為：

(1)

由于無(wú)粘，微團(tuán)表面力只有壓力，忽略體積力，則動(dòng)量方程可表示為：

(2)

聲音傳播過(guò)程是等熵過(guò)程，對(duì)于等熵流體，狀態(tài)方程可表示為：

(3)

式中，γ為比熱比。

聲速可以表示為：

(4)

(5)

把式(5)代入到式(2)中，得：

(6)

因?yàn)槁暡▊鬟f是等熵過(guò)程，所以密度只是壓力的函數(shù)，式(6)可以寫(xiě)成：

(7)

式(7)只與時(shí)間有關(guān)，與空間無(wú)關(guān)，所以有：

(8)

式(8)為正壓流的伯努利方程，F(xiàn)(t)為力勢(shì)。對(duì)狀態(tài)方程式(3)求導(dǎo)，并代入到式(8)的第三項(xiàng)中，可得：

(9)

把式(9)代入到式(8)得到：

(10)

用c和v分別表示遠(yuǎn)離反射體和吸聲體等均勻無(wú)擾動(dòng)流體中的常速聲速和流體速度。在未被聲擾動(dòng)處，速度勢(shì)函數(shù)不隨時(shí)間發(fā)生變化，所以有：

(11)

將式(11)改寫(xiě)成：

(12)

聲學(xué)理論是研究流場(chǎng)變量的小擾動(dòng)行為。流體變量被分解為不隨時(shí)間變化的平均量(用下標(biāo)0表示)和小擾動(dòng)的聲學(xué)量(用下標(biāo)a表示)。因此速度勢(shì)、速度、密度和壓強(qiáng)可以表示為：

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

式中:v0=φ0,va=φa。

將式(13(a))和(13(b))代入式(12)中，忽略高階聲學(xué)量，得：

(14)

由式(14)可知，沒(méi)有聲擾動(dòng)時(shí)，流動(dòng)流體質(zhì)中的聲速為：

(15)

(16)

把式(16)代入式(15)中，可建立起靜止流體和運(yùn)動(dòng)流體中的聲速關(guān)系：

(17)

把式(15)代入到式(14)中，可得：

(18)

將式(13(c))代入到式(4)中，并將式(4)在ρ0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，保留一階項(xiàng)，得：

(19)

綜合式(18)和(19)可得聲密度與聲速度勢(shì)之間的關(guān)系：

(20)

把式(13(c))和(13(d))代入式(3)中，并將式(3)在ρ0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，僅保留一階項(xiàng)，得到：

(21)

把式(20)代入到式(21)中，得到聲壓與聲速度勢(shì)之間的關(guān)系：

(22)

把式(13(a))和(13(d))代入質(zhì)量守恒方程中，即式(1)中，去掉守恒項(xiàng)和高階項(xiàng)，得：

(23)

把式(20)代入到式(23)中，可得：

(24)

對(duì)于簡(jiǎn)諧聲場(chǎng)，則有：

φa(x,y,z,t)=φ(x,y,z)ejωt

(25)

把式(25)代入到式(24)中，可得：

(26)

式(26)即為勢(shì)流中的聲波方程，當(dāng)平均流速為零時(shí)，則簡(jiǎn)化為亥姆霍茲方程。

2 聲學(xué)有限元方程

對(duì)式(26)應(yīng)用伽遼金加權(quán)余量法，并對(duì)第一項(xiàng)使用格林第一公式，得：

(27)

式中:N為權(quán)函數(shù)，n為面單元的單位外法向量，上式即為弱形式的變分公式。

2.1 聲學(xué)邊界條件

消聲器常用的邊界條件如圖1所示，包括入口處的激勵(lì)面Si，聲導(dǎo)納面SR，穿孔面Sp1和Sp2，剛性壁面Sw，以及出口端So，將消聲器分為兩個(gè)域，分別用Ⅰ和Ⅱ標(biāo)識(shí)。流場(chǎng)的入口面在聲學(xué)上被當(dāng)成剛性壁面來(lái)處理，這樣會(huì)使聲音只向下游傳播，不向上游傳播。邊界將分為背景流與邊界面平行和垂直兩種情況討論，當(dāng)邊界面法向方向與平均流速相切時(shí)，則有：

圖1 消聲器邊界條件

φ0·n=0

(28)

把式(28)代入式(27)的等式右端中，則有：

(29)

式中，un為法向聲質(zhì)點(diǎn)振速。

Myers[5]給出了掠過(guò)流下無(wú)粘流體中簡(jiǎn)諧聲激勵(lì)下邊界面上法向聲質(zhì)點(diǎn)振速u(mài)n與法向位移ζn，平均流v0以及壁面單位法向量之間n的關(guān)系為：

un=jωζn+v0·ζn-n·(n·v0)ζn

(30)

把式(30)代入到式(29)中，可得：

n·(n·v0)ζn]dS

(31)

當(dāng)邊界面與平均流相切時(shí)，Eversman簡(jiǎn)化處理了式(31)，即：

(32)

式中，ζn為法向位移。

對(duì)于非滑移壁面，壁面上的背景流速為0，此時(shí)式(32)為：

(33)

對(duì)于如圖1中所示的邊界面，當(dāng)與背景流相切時(shí)，可在式(33)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)；當(dāng)與背景流垂直時(shí)，需重新處理式(27)的等號(hào)右端部分。

(1)聲激勵(lì)邊界

在消聲器進(jìn)口管的壁面上，如圖1中Si所在區(qū)域，需要給定一個(gè)聲激勵(lì)計(jì)算整個(gè)聲學(xué)域內(nèi)的聲學(xué)響應(yīng)。邊界面與背景流相切，當(dāng)激勵(lì)為法向位移時(shí)，有：

(34)

當(dāng)激勵(lì)為加速度時(shí)，a=-ω2ζ，則有：

(35)

(2)聲阻抗邊界

在面SR上，聲阻抗Z0已知，壁面的法向位移與聲壓的關(guān)系為[11]：

jωZ0ζn=pa

(36)

把式(22)代入式(36)中，壁面上背景流速為0，得到位移與聲速度勢(shì)之間的關(guān)系，即：

(37)

把式(37)代入式(33)中，可得：

(38)

(3)穿孔聲阻抗邊界

假設(shè)穿孔處只有掠過(guò)流，通過(guò)流忽略不計(jì)，則式(33)依然成立。當(dāng)穿孔部分掠過(guò)流速變化較大時(shí)，可以分段處理，假設(shè)每一段的平均流速相等。在圖1所示的穿孔面Sp1和Sp2上，聲壓、聲速度勢(shì)、聲質(zhì)點(diǎn)法向位移、介質(zhì)密度和形函數(shù)分別用p1、p2、φ1、φ2、ζn1、ζn2、ρ1、ρ2、N1和N2來(lái)表示。穿孔面之間的穿孔導(dǎo)納記為ζp，穿孔面Sp1和Sp2上聲質(zhì)點(diǎn)法向位移與聲壓和穿孔導(dǎo)納之間的關(guān)系為：

(39)

將式(39)中的ζn1和ζn2用p1和p2來(lái)表示，并代入到式(33)中，得：

(40)

(4)剛性壁面

剛性壁面上，如圖1中Sw所在區(qū)域，背景流速和法向質(zhì)點(diǎn)振速均為0。把式(22)代入式(27)的右端的積分中，有：

(41)

式中，vn=v0·n為邊界面上的法向平均流的速度。

(5)無(wú)反射端

計(jì)算消聲器的傳遞損失時(shí)，需將圖1所示的出口面So設(shè)置為無(wú)反射端。有時(shí)在出口管的壁面設(shè)置為聲阻抗已知，使反射聲波被聲阻抗壁面吸收，也是一種解決方案。如果分析的上限頻率在出口管的平面波截止頻率以下，則出口管內(nèi)傳遞的只有平面波。本文從解析的角度推導(dǎo)無(wú)反射時(shí)出口面上聲壓和聲質(zhì)點(diǎn)振速之間的關(guān)系。

假設(shè)出口管為一段足夠長(zhǎng)的等截面直管，管道內(nèi)流體介質(zhì)沿軸線z方向以均勻馬赫數(shù)M運(yùn)動(dòng)，并與出口管橫截面垂直，管道內(nèi)介質(zhì)密度的變化忽略不計(jì)。管道內(nèi)傳遞的聲波為平面波，聲速度勢(shì)φ沿x和y方向的梯度為0，因此式(26)可簡(jiǎn)化為沿管道軸線的一維聲傳播方程，即：

(42)

式中，k0=ω/c0為波數(shù)。

式(42)的通解可寫(xiě)成如下形式：

φ=(C1e-jk0z/(1+M)+C2ejk0z/(1-M))

(43)

式中，C1和C2為待定系數(shù)。

無(wú)反射時(shí)，C2=0，則獨(dú)立于時(shí)間項(xiàng)的聲壓p和法向聲質(zhì)點(diǎn)振速u(mài)n可表示為：

(44)

把式(44)代入到式(27)等號(hào)右端，可得：

(45)

式(45)即為管道中平面波的無(wú)反射端的表達(dá)式。

2.2 離散化與矩陣裝配

對(duì)于任意一種m節(jié)點(diǎn)的單元，其內(nèi)部任意一點(diǎn)的場(chǎng)變量都可以用該單元上所有節(jié)點(diǎn)的場(chǎng)變量值來(lái)表示，聲速度勢(shì)則表示為：

(46)

式中：N為單元形函數(shù)組成的列向量，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置，φi為單元節(jié)點(diǎn)i上待求的聲速度勢(shì)。

平均流速度的矩陣形式表示為：

(47)

把式(46)和(47)代入到式(27)的左端，并在聲學(xué)域內(nèi)Ⅰ和Ⅱ離散，用φ1和φ2分別表示區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中的聲速度勢(shì)，則有：

(48)

式中:矩陣Lhs表示在域上的積分組裝而成的矩陣，矩陣Si、Mi和Ci是由單元矩陣組裝而成，即

(49)

(50)

(51)

其中，

(52)

將式(48)～(52)進(jìn)行組裝，得到如下整體有限元矩陣表達(dá)式：

(53)

式(53)即為勢(shì)流中聲波方程的有限元矩陣表達(dá)式。由式(53)可知，伴流聲場(chǎng)的FEM矩陣為非對(duì)稱(chēng)復(fù)矩陣。在實(shí)際的計(jì)算中，由于穿孔面的距離很窄，兩個(gè)對(duì)應(yīng)面面積大小很接近，因此可以從數(shù)值上把穿孔矩陣P處理成對(duì)稱(chēng)矩陣。所以其非對(duì)稱(chēng)性不是源于穿孔矩陣P，而是式(48)中體積分中由于流的存在得到的非對(duì)稱(chēng)矩陣Ci。相比有流狀態(tài)，無(wú)流時(shí)的聲學(xué)波動(dòng)方程——亥姆霍茲方程，離散化后得到的對(duì)稱(chēng)非共軛的復(fù)矩陣，因此無(wú)流時(shí)聲場(chǎng)的計(jì)算速度大概是有流時(shí)的兩倍。

3 聲學(xué)量計(jì)算

3.1 聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速

求解式(53)即可計(jì)算出每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的聲速度勢(shì)φ，將聲速度勢(shì)代入到式(22)中便可計(jì)算出節(jié)點(diǎn)上的聲壓值，對(duì)聲速度勢(shì)求解梯度便可計(jì)算出聲質(zhì)點(diǎn)振速。通過(guò)坐標(biāo)變換可知速度勢(shì)對(duì)全局坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)可由局部坐標(biāo)表示，即：

[([N]′[Coord])-1[N]′]{φi}e

(54)

式中:[N]′為單元所有節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)組成的列向量對(duì)局部坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，[Coord]為單元所有節(jié)點(diǎn)的全局坐標(biāo)組成的矩陣，{φi}e為單元的聲速度勢(shì)組成的列向量。

由式(54)可知，對(duì)于一個(gè)三維問(wèn)題，必須將場(chǎng)變量置于體單元中才能計(jì)算出該變量的梯度。因此在計(jì)算橫截面上聲速度勢(shì)的梯度時(shí)，首先需要找到該面單元所屬的體單元，然后找到待求節(jié)點(diǎn)在體單元中的局部坐標(biāo)，最后將局部坐標(biāo)代入到式(54)中計(jì)算出聲速度勢(shì)的梯度。下面以如圖2所示的四面體單元為例加以說(shuō)明。

圖2 一、二階四面體單元節(jié)點(diǎn)及局部坐標(biāo)系

圖2中單元節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)，如表1所示。

表1 四面體單元節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)

找到面單元上待求節(jié)點(diǎn)在體單元中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，并以此在表1中找到其局部坐標(biāo)，最后將點(diǎn)的局部坐標(biāo)代入到式(54)中即可求解出該節(jié)點(diǎn)的聲速度勢(shì)梯度，進(jìn)而計(jì)算出聲壓。

3.2 傳遞損失

傳遞損失定義為出口面為無(wú)反射端時(shí)，消聲器的入射聲功率級(jí)與透射聲功率級(jí)之差，即：

TL=10lg(Wi/Wt)

(55)

式中:Wi為入射聲功率，Wt為透射聲功率。

如圖1所示，在面S1計(jì)算入射聲功率，在面So上計(jì)算透射聲功率。由式(22)，聲壓p可表示為：

(56)

聲質(zhì)點(diǎn)振速在法向上的分量可表示為：

un=n·φ

(57)

式中:n為面的法向量，并約定其方向與聲傳播方向相同。

假設(shè)入射波為平面波，根據(jù)有流時(shí)平面波聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的解析表達(dá)式，采用聲波分解法，可以得到入口面上的入射聲壓pi和聲質(zhì)點(diǎn)振速u(mài)i的表達(dá)式為：

(58)

當(dāng)管道內(nèi)介質(zhì)均勻沿著軸向流動(dòng)時(shí)，沿管道軸向的聲強(qiáng)I可表示為[12]：

(M|p|2/ρ0c0+ρ0c0|uz|2)]

(59)

式中,uz為聲質(zhì)點(diǎn)振速沿著管道軸向z方向的分量。

在面S1上，把式(58)代入到式(59)中便可得到任意一點(diǎn)的聲強(qiáng)，并在面上積分，便可計(jì)算出入射聲功率。在出口面So上，聲學(xué)邊界為無(wú)反射端，因此由式(53)計(jì)算出的面上節(jié)點(diǎn)的聲速度勢(shì)即為透射聲速度勢(shì)。將其代入式(44)中，即可計(jì)算出透射聲壓和透射聲質(zhì)點(diǎn)振速，代入式(59)計(jì)算出透射聲強(qiáng)，并在面So上積分，得到透射聲功率。把透射聲功率和入射聲功率代入到式(55)中計(jì)算出傳遞損失。

4 計(jì)算與分析

作為本文方法的驗(yàn)證和應(yīng)用，本節(jié)使用自編的有限元法計(jì)算程序計(jì)算和分析干涉式消聲器的聲學(xué)性能，此類(lèi)消聲器是利用相位差產(chǎn)生聲波的相互干涉，從而實(shí)現(xiàn)消聲效果[1]。如圖3所示的H-Q管是一種典型的干涉式消聲器，由兩條支路并聯(lián)的管道組成，管道在第一個(gè)分叉點(diǎn)分成兩條支路，在第二個(gè)分叉點(diǎn)處再合成一條。聲波經(jīng)過(guò)不同長(zhǎng)度的管道產(chǎn)生了相位差，在第二個(gè)分叉點(diǎn)匯合處“相互干涉”實(shí)現(xiàn)了消聲效果。分支管道內(nèi)的氣體流動(dòng)直接影響兩列聲波間的相位差，從而影響共振頻率和消聲特性。

圖3 Herschel-Quincke管

本文使用的H-Q管為圓形管道，其幾何尺寸為d1=d2=0.05 m，l1=0.6 m。背景流場(chǎng)由CFD軟件計(jì)算得到，當(dāng)入口馬赫數(shù)為0.1時(shí)，主管道與側(cè)支管道的平均流速分別為30.61 m/s和3.61 m/s；當(dāng)入口馬赫數(shù)為0.2時(shí)，主管道與側(cè)支管道的平均流速分別為61.92 m/s和6.7 m/s。參與計(jì)算的聲學(xué)網(wǎng)格尺寸為4 mm，其流場(chǎng)信息通過(guò)CFD軟件直接映射而來(lái)。

圖4～6分別比較了無(wú)流、入口處馬赫數(shù)為0.1和0.2時(shí)，使用一維平面波理論和三維有限元法計(jì)算得到的傳遞損失。H-Q消聲器的傳遞矩陣可以在文獻(xiàn)[1]中找到，此處不再贅述。此外，側(cè)支管道處的端部修正對(duì)共振頻率有較大的影響，使用一維理論計(jì)算時(shí)需要予以考慮。

圖4 Ma=0時(shí)有限元法和一維理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖5 Ma=0.1時(shí)有限元法和一維理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖6 Ma=0.2時(shí)有限元法和一維理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由圖4～6可以看出，對(duì)于本文給定尺寸的H-Q管消聲器，當(dāng)入口處的馬赫數(shù)分別為0、0.1和0.2時(shí)，一維理論與有限元法計(jì)算的傳遞損失大約分別在2 400 Hz、2 200 Hz和2 000 Hz以下吻合良好；高于這些頻率，兩種方法計(jì)算結(jié)果開(kāi)始出現(xiàn)差異，這是因?yàn)樵谥鞴艿篮蛡?cè)支管道的連接處的三維流場(chǎng)和三維聲場(chǎng)效應(yīng)所致，此時(shí)一維理論已不再適用。圖3中A1和A2橫截面上聲壓在2 200 Hz，馬赫數(shù)為0.1時(shí)的聲壓的最大相位差分別為為0.036弧度和6.24弧度。A1面上的聲壓相位差極小，可認(rèn)為是數(shù)值計(jì)算誤差，因此A1上傳遞的是平面波。A2面上的聲壓相位差則是由兩管交接處的三維波效應(yīng)引起。

此外，進(jìn)口處不同的馬赫數(shù)所對(duì)應(yīng)的平面波截止頻率不同，截止頻率隨著馬赫數(shù)的增加而減小，因而進(jìn)一步縮減了平面波的適用范圍。

圖7顯示了介質(zhì)流動(dòng)速度對(duì)H-Q管消聲器傳遞損失的影響，這些數(shù)據(jù)來(lái)源于圖(4)～(6)中有限元計(jì)算結(jié)果。介質(zhì)流動(dòng)改變了部分共振頻率和通過(guò)頻率，低頻時(shí)部分無(wú)流時(shí)的共振頻率和通過(guò)頻率分別成為了有流時(shí)通過(guò)頻率和共振頻率；馬赫數(shù)越高，傳遞損失在受到影響的通過(guò)頻率和共振頻率附近的變化越大；在中高頻，介質(zhì)流動(dòng)對(duì)消聲性能的影響非常明顯。

圖7 馬赫數(shù)對(duì)傳遞損失的影響

接下來(lái)研究結(jié)構(gòu)改變對(duì)H-Q管消聲性能的影響。H-Q1即為圖3所示的結(jié)構(gòu)；H-Q2的結(jié)構(gòu)如圖8所示，包含了兩個(gè)旁支管，其中d1=d2=d3=0.05 m，l1=0.6 m，l2=0.3 m；H-Q3的結(jié)構(gòu)如圖9所示，主管中增加一個(gè)簡(jiǎn)單膨脹腔，其中d1=d2=0.05 m，d3=0.15 m，l1=0.6 m，l2=0.3 m。

圖8 H-Q2管

圖9 H-Q3管

圖10給出了三種H-Q管消聲器傳遞損失的計(jì)算結(jié)果。可以看出，結(jié)構(gòu)的改變明顯影響了H-Q管的消聲特性，特別是共振頻率。H-Q2因?yàn)榘藘蓚€(gè)旁支管，所以傳遞損失中共振峰的數(shù)量多于H-Q1，并且共振峰向低頻方向移動(dòng)，提升了低頻段的聲學(xué)性能。H-Q3主管道增加了一個(gè)簡(jiǎn)單膨脹腔，使得整個(gè)頻段上共振峰的數(shù)量增多，從而改善了多數(shù)頻段內(nèi)的消聲性能。

圖10 結(jié)構(gòu)改變對(duì)H-Q消聲器的聲學(xué)性能的影響

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了勢(shì)流中的聲波方程，應(yīng)用伽遼金加權(quán)余量法建立了有限元的弱形式表達(dá)式。針對(duì)管道聲學(xué)的計(jì)算，討論了所需邊界條件的處理方法，通過(guò)離散和裝配得到了有限元矩陣方程。自行編程實(shí)現(xiàn)了推導(dǎo)的有限元算法，計(jì)算和分析了介質(zhì)流動(dòng)速度和結(jié)構(gòu)形式的改變對(duì)H-Q管消聲器聲學(xué)性能的影響。結(jié)果表明，當(dāng)入口處的馬赫數(shù)分別為0、0.1和0.2時(shí)，一維理論與有限元法計(jì)算的傳遞損失大約分別在2 400 Hz、2 200 Hz和2 000 Hz以下吻合良好；高于這些頻率，兩者的計(jì)算結(jié)果開(kāi)始出現(xiàn)較大的差異，這是由于主管和支管交界處的三維流場(chǎng)和三維聲場(chǎng)效應(yīng)所致，此時(shí)一維方法不再適用。馬赫數(shù)越高，平面波截止頻率越低，一維理論適用的頻率范圍越窄。介質(zhì)流動(dòng)影響H-Q管消聲器的聲學(xué)特性，特別是在共振頻率和通過(guò)頻率附件，馬赫數(shù)越高，影響越顯著。具有兩級(jí)的H-Q管，共振峰數(shù)量增多，共振頻率降低。主管道包含了簡(jiǎn)單膨脹腔的H-Q管，共振峰的數(shù)量增多，從而提升了在多數(shù)頻段內(nèi)的消聲性能。