一道高考題再議圓錐曲線中直線過定點問題

■湖北省沙市第七中學

求解直線或圓錐曲線過定點問題是近幾年高考的熱點題型。同學們解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的思想方法，體現(xiàn)出大家的數(shù)學核心素養(yǎng)。2020 年全國高考Ⅰ卷文科卷第21題就是過定點問題，我們借此機會再次研究這類問題，探討這類熱點問題的解決方法與技巧。

一、問題重現(xiàn)

例1(2020年全國Ⅰ卷)已知A、B分別為橢圓E：+y2=1(a＞1)的左、右頂點，G為橢圓E的上頂點，=8，P為直線x=6上的動點，PA與橢圓E的另一交點為C，PB與橢圓E的另一交點為D。

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點。

解析：依據(jù)題意作出圖1。

圖1

(2)設P(6，y0)，則直線AP的方程為y=，即y=(x+3)。

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程：。

(1)求橢圓C的方程。

(2)點M，N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足。證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值。

解析：依據(jù)題意作出圖2。

圖2

(2)設 點M(x1，y1)，N(x2，y2)。因 為AM⊥AN，所以=-1。

例3(2018 年新課標)設橢圓C：+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點M的坐標為(2，0)。

(1)當直線l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB。

解析：(1)答案略。

(2)當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°。

當直線l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB。

當直線l與x軸不重合也不垂直時，設直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)。

二、方法與技巧

解此類題的常見方法是聯(lián)立消元法。依題目條件設出相關(guān)參數(shù)，如設出直線的斜率截距；求出直線方程，聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用根與系數(shù)的關(guān)系，把直線與圓錐曲線方程中的變量x，y看成常數(shù)，把方程的一端化為零，將方程轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為主變量的方程。這個方程對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或圓錐曲線所過的定點。

圖3

聯(lián)立消元方法是解決這一類問題的常見方法，需要一定的運算技巧與運算量。我們是否可以嘗試一下別的運算技巧與方法? 尤其在題目條件中給出斜率之積或之和時，不妨用這種構(gòu)造齊次式的方法。下面用此法解2020年新高考的第22題，具體方法與步驟如下。

過一個定點P作兩條直線與圓錐曲線交于A、B兩點，在直線PA和PB斜率之和或斜率之積為定值的情況下，直線AB過定點問題，可以利用平移構(gòu)造齊次式的方法秒殺。只是要注意構(gòu)造齊次時巧妙利用直線方程mx+ny=1，需要一次直接乘，需要二次可以將其平方再乘。接著將齊次式兩邊同時除以x2，整理為關(guān)于k的一元二次方程，從而由韋達定理得到兩斜率之和或之積的表達式，整理成關(guān)于m，n的關(guān)系式，就可以知道平移后的直線過定點，那么原來的直線過定點也就一目了然。

定點問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問題通法是聯(lián)立消元法，設出直線方程，通過韋達定理和已知條件找出斜率和截距的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。只是計算量比較大，演算過程比較麻煩，這便成為很多同學畏懼不前的障礙。如果能夠從圓錐曲線、直線的方程的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，采取齊次式的轉(zhuǎn)化，那么解題必然會事半功倍，柳暗花明！