立體幾何有圖題想圖的幾個(gè)著眼點(diǎn)

■四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 鄧鈞方

立體幾何作為綜合考查同學(xué)們的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要載體，是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容。近年來，隨著新課改的推進(jìn)，命題原則逐漸從“以能力立意”轉(zhuǎn)向“以素養(yǎng)立意”，試題正在嘗試增加難度，提高能力要求。盡管如此，立體幾何試題的相對(duì)難度仍屬中等，是考生必爭之分。

我們知道，空間想象是從研究對(duì)象或問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式，對(duì)圖形的想象主要包括有圖想象和無圖想象兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志。圖形作為數(shù)學(xué)表達(dá)的語言，與文字語言、符號(hào)語言配合表達(dá)數(shù)學(xué)，圖形語言在直觀呈現(xiàn)問題、數(shù)形結(jié)合解答問題、輔助空間想象問題等方面都發(fā)揮了不可替代的作用。

一、陌圖化熟換視位

我們?cè)谡n本中見到的柱、錐、臺(tái)、球，其圖形基本上都遵循斜二測規(guī)則，但在選拔性考試中，根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的需要，給出全新視角下幾何體的直觀圖。當(dāng)我們感到圖形很陌生時(shí)，可以改變角度重新畫一個(gè)自己熟悉的圖形，這樣可以快速入題。

例1（2020年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟三模）如圖1，已知四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB=2，PA=PB=BC =，PD=PC=。

圖1

（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求直線PA 與平面PBC 所成角的正弦值。

解析：（1）我們換一個(gè)視角畫出一個(gè)熟悉的直觀圖。如圖2，取AB，DC 的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF。

又AB ∥CD，所 以PE⊥CD。

又因?yàn)锳B=2，所以PE=3，PF=1，所以PE2+PF2=10=BC2=EF2，即PE⊥PF。

因?yàn)镃D ∩PF=F，CD ?平面PCD，PF?平面PCD，所以PE⊥平面PCD。

因?yàn)镻E?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD。

（2）設(shè)點(diǎn)A 到平面PBC 的距離為d。

圖2

由（1）知PE⊥PF，PF⊥DC。

又AB∥CD，所以PF⊥AB。

因?yàn)锳B ∩PE=E，AB ?平面PAB，PE?平面PAB，所以PF⊥平面PAB。

因?yàn)锳B∥CD，點(diǎn)C 到平面PAB 的距離為d=PF=1，所以所以

領(lǐng)悟：靈活利用題設(shè)條件，等效變化圖形位置，?？梢酝黄平忸}難點(diǎn)，探求出巧妙的解題方法。常見的圖形位置變換方法有：①移基本圖（當(dāng)直觀圖較陌生，隱含在圖形內(nèi)部的線、面關(guān)系就不容易看清楚，這時(shí)可將包含有線線、線面關(guān)系的基本圖形移出來觀察）；②改變視角（改變看圖的方向，畫一個(gè)熟悉的圖）；③“特寫鏡頭”（把涉及問題的圖形的關(guān)鍵部分畫出來專門研究）。如此操作?？梢缘玫胶喗荨?yōu)美的解題路徑。

二、折疊成圖盯不變

折疊問題多次成為高考題，所以研究其解題思路，掌握其解題方法是非常重要的。將一個(gè)平面圖形翻折得到一個(gè)折疊新圖，解決折疊問題的關(guān)鍵是緊扣折疊前后不變的“數(shù)量關(guān)系”和“線線關(guān)系”。保持不變的平行、垂直關(guān)系是證明空間線面平行、垂直關(guān)系的依據(jù)，保持不變的數(shù)量關(guān)系是求幾何體有關(guān)角度、距離、面積和體積的依據(jù)。

例2（四川成都蓉城名校聯(lián)盟2021屆高三聯(lián)考理科）如圖3，AD 是△BCD 中BC 邊上的高，且AB =2AD =2AC，將△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD，如圖4。

圖3

圖4

（1）求證：AB⊥CD。

（2）圖4 中，E 是BD 上一點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)AE 與底面ABC 所成角的正切值為時(shí)，求直線AE 與平面BCE 所成角的正弦值。

解 析：（1）由圖3 知，在圖4 中，AC ⊥AD，AB⊥AD。

因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD=AD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面ACD。

又CD?平面ACD，所以AB⊥CD。

（2）以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AD 所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖5 所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，不妨設(shè)AC=1，則 A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1）。

圖5

領(lǐng)悟：折疊問題看似變化多端，實(shí)則有規(guī)律可循。在折疊前后，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程中不變的量，如垂直、平行關(guān)系，角的大小、線段長度等，抓準(zhǔn)了，問題就迎刃而解。

三、動(dòng)態(tài)探索坐標(biāo)來

我們這里講解的立體幾何動(dòng)態(tài)探索問題，涉及“點(diǎn)”、“線”、“面”中的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)，有人把立體幾何中的動(dòng)態(tài)探索性問題分為“位置探索”、“線定面動(dòng)”、“線動(dòng)面定”、“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”、“線面角”和“二面角”等，但是，仔細(xì)研究運(yùn)動(dòng)的情形都是某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因此，只要想通“點(diǎn)動(dòng)則線動(dòng)”、“點(diǎn)動(dòng)則面動(dòng)”，那么問題就不難解決了。

例3（北京人大附中2020屆高三考前熱身）如圖6，已知平行四邊形ABCD 所在的平面與直角梯形ABEF 所在的平面垂直，BE∥AF，且為DF的中點(diǎn)。

圖6

（1）求證：PE∥平面ABCD；

（2）求證：AC⊥EF；（3）若直線EF 上存在點(diǎn)H，使得CF，BH 所成角的余弦值為求 BH 與平面ADF 所成角的大小。

解析：（1）如圖7，取AF 的中點(diǎn)Q，連接PQ，EQ。

在直角梯形ABEF中，AQ=BE=1，BE ∥AQ，所以四邊形ABEQ 為平行四邊形，所以AB∥EQ。

在△ADF 中，PF=PD，QF=QA，所以PQ∥AD。

又因?yàn)锳D∩AB=A，所以平面PQE∥平面ABCD。

又因?yàn)镻E?平面PQE，所以PE∥平面ABCD。

圖7

又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD ∩平 面ABEF =AB，AC ?平 面ABCD，所以AC⊥平面ABEF。

因?yàn)镋F?平面ABEF，所以AC⊥EF。

（3）由（1）（2）可建立以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AF，AC 所在直線分 別為x 軸，y 軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖8。

圖8

領(lǐng)悟：①注意本題“線上動(dòng)點(diǎn)”的向量表達(dá)：b=λa（a≠0）。②有關(guān)的存在性探索問題常利用空間向量法解決，這樣可以避開抽象、復(fù)雜的尋找角的過程。只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題。事實(shí)證明，空間向量法是解決立體幾何中存在性探索問題的好方法。