分析法在空間幾何證明中的靈活應(yīng)用

■四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 劉榮燕

分析法和綜合法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為普遍的相互依賴(lài)、相互滲透的思想方法，也是培養(yǎng)同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等能力的重要的思想方法。分析法和綜合法作為數(shù)學(xué)的思想方法，在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。

空間幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要知識(shí)模塊之一，也是高考的必考內(nèi)容。其中幾何證明題在空間幾何中占有極其重要的位置，為幫助同學(xué)們掌握好幾何證明題證明的分析方法，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

一、由因索果

從已知條件出發(fā)，通過(guò)定向思維，逐步逼近結(jié)論。

例1如圖1，在四棱錐A-BCDE 中，CD ⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M為AD 上一點(diǎn)，EM ⊥平面ACD。

（1）求 證：EM ∥平面ABC；

（2）若CD=2BE=2，求點(diǎn)D 到平面EMC 的距離。

分析：（1）要證明線(xiàn)面平行，可從線(xiàn)線(xiàn)平行和面面平行這兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行分析、證明；也可結(jié)合平面或空間幾何體其他平行性質(zhì)進(jìn)行證明。（2）熟悉點(diǎn)到面的各種方法，根據(jù)題目條件靈活選擇、應(yīng)用。

圖1

解：（1）如圖2，取AC 的中點(diǎn)F，連接BF，因?yàn)锳B=BC，所以BF⊥AC。

因?yàn)镃D ⊥平面ABC，所以CD⊥BF。

又因?yàn)镃D ∩AC=C，所以BF⊥平面ACD。

因?yàn)镋M ⊥平面ACD，所以EM∥BF。

圖2

（2）因?yàn)镋M ⊥平面ACD，EM ?面EMC，所以平面CME⊥平面ACD。

因?yàn)槠矫鍯ME∩平面ACD=CM，過(guò)點(diǎn)D 作DG⊥CM 于G，如圖2，則DG⊥平面CME，DG 的長(zhǎng)即為點(diǎn)D 到平面EMC 的距離。

由已 知CD ⊥平 面ABC，BE ∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE。

又EM ⊥AD，所以M 為AD 的中點(diǎn)。

總結(jié)：（1）構(gòu)造不同的線(xiàn)面垂直，再根據(jù)垂直于同一平面的兩直線(xiàn)互相平行，得出線(xiàn)面平行，再由線(xiàn)面平行的判定定理得出結(jié)論；（2）解答時(shí)，證明問(wèn)題務(wù)必要依據(jù)判定定理，因此線(xiàn)面的平行問(wèn)題一定要在所給的平面中找出一條直線(xiàn)與這個(gè)平面外的直線(xiàn)平行；（3）敘述時(shí)一定要交代面外的線(xiàn)和面內(nèi)的線(xiàn)，這是許多同學(xué)容易忽視的問(wèn)題，也是高考試卷中最容易扣分的地方，因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意。

二、由果索因

從結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行逆向推理，找出要證明的條件。

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=為線(xiàn)段AD 的中點(diǎn)，過(guò)BE 的平面與線(xiàn)段PD，PC 分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)。

（1）求證：GF⊥PA。

圖3

分析：（1）從問(wèn)題出發(fā)，要證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，在空間幾何中主要采用線(xiàn)面垂直來(lái)證明，但該問(wèn)題中兩條直線(xiàn)沒(méi)有直接的線(xiàn)線(xiàn)垂直條件，因此還需要通過(guò)相關(guān)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。（2）存在類(lèi)問(wèn)題，一般是采取假設(shè)該問(wèn)題成立，然后把它當(dāng)成已知條件來(lái)分析，最后得出結(jié)果；如果存在，作答時(shí)，只需倒過(guò)來(lái)進(jìn)行書(shū)寫(xiě)即可。

解：（1）因?yàn)榍褽 為線(xiàn)段AD 的中點(diǎn)，所以BC=DE。

又BC∥AD，所以四邊形BCDE 為平行四邊形，所以BE∥CD。

又平面BEGF∩平面PCD=GF，所以BE∥GF。

又因?yàn)椤螦DC=90°，所以AD⊥CD。

又CD∥BE，所以BE⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BE⊥平面PAD。

又PA?平面PAD，所以BE⊥PA。

又因?yàn)锽E∥GF，所以GF⊥PA。

（2）存在點(diǎn)G，且G 為DP 上靠近D 點(diǎn)的三等分點(diǎn)。證明如下：

因?yàn)镻A=PD，E 為線(xiàn)段AD 的中點(diǎn)，所以PE⊥AD。

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥EB。

又因?yàn)锳D ⊥EB，所以以E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB，EP 所在直線(xiàn)為x 軸，y 軸，z軸，建立如圖4 所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz。

又E 為線(xiàn)段AD 的中點(diǎn)，所以PE=1，則P（0，0，1），B（0，1，0），E（0，0，0），D（-1，0，0），所 以

圖4

總結(jié)：（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理與性質(zhì)定理證得線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得線(xiàn)面垂直，從而得到線(xiàn)線(xiàn)垂直。（2）用空間向量方法求線(xiàn)面角，需建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，考查同學(xué)們的運(yùn)算能力與空間想象能力。

三、由因索果與由果索因的綜合推理

根據(jù)已知條件和求證的結(jié)論進(jìn)行綜合推理。

例3如圖5，正三棱柱ABC-A1B1C1的高為，其底面邊長(zhǎng)為2。已知M，N 分別是棱A1C1，AC 的中點(diǎn)，D 是棱CC1上靠近C 的三等分點(diǎn)。求證：

（1）B1M∥平面A1BN；

（2）AD⊥平面A1BN。

圖5

分析：（1）根據(jù)題目本身的一些平行和垂直條件，再?gòu)膯?wèn)題出發(fā)，結(jié)合圖形，我們分析出該題可由線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)證明線(xiàn)面平行；（2）要證明線(xiàn)面垂直可從線(xiàn)線(xiàn)垂直和面面垂直這兩種途徑進(jìn)行分析。

解：（1）連接MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥CC1且AA1=CC1，則四邊形AA1C1C 是平行四邊形。

因?yàn)镸，N 分別是棱A1C1，AC 的中點(diǎn)，所以MN∥AA1且MN=AA1。

又因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1=BB1，所以MN∥BB1且MN=BB1，所以四邊形MNBB1是平行四邊形，所以B1M∥BN。

又B1M平 面A1BN，BN ?平 面A1BN，所以B1M∥平面A1BN。

（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1。

在正△ABC 中，N 是AB 的中點(diǎn)，所以BN⊥AC。

又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A，所以BN⊥平面AA1C1C。

又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN。

由題意，AA1=，AC=2，所以AN=

又因?yàn)椤螦1AN =∠ACD=90°，所以△A1AN∽△ACD，則∠AA1N=∠CAD。

所以∠ANA1+ ∠CAD = ∠ANA1+∠AA1N=90°，則AD⊥A1N。

又BN ∩A1N =N，BN，A1N ?平 面A1BN，所以AD⊥平面A1BN。

總結(jié)：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得線(xiàn)線(xiàn)平行，再根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理得結(jié)論。（2）根據(jù)平面幾何知識(shí)得線(xiàn)線(xiàn)垂直，再根據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理得線(xiàn)線(xiàn)垂直，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得線(xiàn)面垂直。（3）空間幾何垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型：①要證明線(xiàn)面、面面平行，只需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行；②要證明線(xiàn)面垂直，只需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；③要證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直。