電機(jī)定子鐵芯振動(dòng)特性分析的一種解析方法

屈仁浩，蔣偉康

(上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240)

電機(jī)作為電動(dòng)汽車的主要噪聲源之一，近年來逐漸成為電機(jī)設(shè)計(jì)中的研發(fā)熱點(diǎn)。電機(jī)噪聲的主要噪聲源是定子，主要由氣隙中的電磁力激發(fā)定子振動(dòng)以及定子的磁致伸縮振動(dòng)產(chǎn)生[1]。目前研究最多的是定子的電磁振動(dòng)噪聲，降噪設(shè)計(jì)的主要手段是準(zhǔn)確分析定子鐵芯的振動(dòng)特性，優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，使其固有頻率遠(yuǎn)離電磁激勵(lì)力頻率，避免共振。

目前電機(jī)定子鐵芯的振動(dòng)特性分析普遍采用有限元法[2]。Boesing等[3]使用磁固耦合有限元模型，將電磁力施加到定子齒面上，計(jì)算了定子的振動(dòng)響應(yīng)。鄧文哲等[4]通過模態(tài)試驗(yàn)測(cè)定電機(jī)的模態(tài)參數(shù)，再通過有限元建立等效模型，研究了外部連接對(duì)定子固有頻率的影響。韓偉等[5]建立了疊片鐵芯的有限元模型，研究了疊片結(jié)構(gòu)對(duì)固有頻率計(jì)算的影響。有限元模型雖然計(jì)算精確，適用范圍廣，但計(jì)算時(shí)間長且不易修改，而在電機(jī)的減振設(shè)計(jì)和優(yōu)化階段，需要大量的模型修改與測(cè)試[6]，使用有限元法的效率會(huì)大打折扣。

解析計(jì)算方法只需要實(shí)體的簡化模型，修改也十分方便[7]。使用解析模型可以快速計(jì)算出電機(jī)振動(dòng)的頻率范圍，并給出電機(jī)噪聲和結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，讓設(shè)計(jì)者能實(shí)時(shí)修改優(yōu)化方案并快速得到反饋，從而提高設(shè)計(jì)效率。陳永校等建立了電機(jī)定子的雙環(huán)解析模型計(jì)算固有頻率，Islam等[8]使用環(huán)模型分析了永磁同步電機(jī)定子鐵芯的振動(dòng)模態(tài)，并對(duì)其施加二維電磁激勵(lì)力，計(jì)算了振動(dòng)響應(yīng)。環(huán)模型計(jì)算雖然簡單，但不能分析定子的軸向模態(tài)，因此，目前對(duì)于定子鐵芯的研究，使用較多的解析模型是殼模型。Shen等[9]將定子鐵芯等效為圓柱薄殼，使用解析法計(jì)算了電磁力與定子鐵芯的振動(dòng)響應(yīng)；邱家俊等[10]建立了水輪發(fā)電機(jī)定子系統(tǒng)的雙薄殼模型，并采用梁函數(shù)來表達(dá)不同的邊界求解定子系統(tǒng)的固有頻率。殼模型的計(jì)算雖然已經(jīng)成熟，但由于忽略了定子齒部的影響，誤差較大。Singal等[11]采用殼模型計(jì)算了短定子鐵芯的固有頻率，經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證：前7階固有頻率誤差為15%。

為了能夠在電機(jī)初步設(shè)計(jì)階段，快速便捷地預(yù)測(cè)定子振動(dòng)噪聲特性，或進(jìn)行低噪聲電機(jī)定子的優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文建立了一種能快速準(zhǔn)確計(jì)算定子鐵芯振動(dòng)特性的解析模型，提出了一種可以考慮定子齒變形的厚殼-梁耦合簡化模型；推導(dǎo)了耦合模型的能量變分方程，使用Rayleigh-Ritz法計(jì)算了定子鐵芯的固有頻率與振型。與有限元方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，所提解析算法計(jì)算準(zhǔn)確，且無需建模與網(wǎng)格劃分，效率更高。仿真結(jié)果還表明，定子齒對(duì)鐵芯振動(dòng)特性的影響不能忽略。

1 定子鐵芯的簡化模型

由于解析模型只適用于簡單的板、殼或梁結(jié)構(gòu)，因此首先需要對(duì)定子模型進(jìn)行簡化。本文提出了一種厚殼-梁耦合簡化模型。去除定子表面的凹槽與齒上的圓角等細(xì)節(jié)，定子鐵芯的簡化模型與相應(yīng)坐標(biāo)系如圖1所示。由于定子軛厚與半徑比值較大，使用薄殼理論建模會(huì)有較大的誤差，厚殼模型更加合理。軛上分布著若干齒，定子齒采用計(jì)入扭轉(zhuǎn)變形的梁模型進(jìn)行建模，以表達(dá)齒的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度。由于齒寬度遠(yuǎn)小于定子周長，因此可以假設(shè)厚殼模型和梁模型間為線接觸[12]，接觸線為P，本文建立的解析方法均基于此簡化模型。

圖1 定子鐵芯簡化模型與坐標(biāo)系

2 定子鐵芯的變形方程

2.1 定子軛的變形方程

對(duì)圖1所示的圓柱厚殼，曲線坐標(biāo)1,2,3分別對(duì)應(yīng)殼中面坐標(biāo)系下的xs,θs,zs方向，該坐標(biāo)系下圓柱厚殼的應(yīng)變表達(dá)式為：

(1)

式中：R是殼中面半徑。在式(1)的基礎(chǔ)上，引入零剪切應(yīng)變等假設(shè)便可得到薄殼的方程，若不對(duì)式(1)進(jìn)行假設(shè)，則是適用于厚殼的一般殼體力學(xué)方程。

殼體內(nèi)的應(yīng)力分布通過材料剛度矩陣與應(yīng)變表達(dá)，由于定子是疊片結(jié)構(gòu)，軸向與周向、徑向的機(jī)械特性不同，因此應(yīng)使用正交各相異性結(jié)構(gòu)的本構(gòu)關(guān)系：

(2a)

(2b)

式中:σi,i=xs,θs,zs表示正應(yīng)力，τij,i,j=xs,θs,zs表示剪切應(yīng)力，Cij是各相正交異性材料剛度矩陣中的元素，各項(xiàng)的表達(dá)為：

Cii=ηEi(1-νjkνkj),

Cij=ηEj(νij+νikνkj),

(3)

采用Mindlin板中的一階剪切變形理論，如圖2所示，變形后的殼面法線保持直線但不再垂直于殼面[13]，而會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角φxs。假設(shè)殼中面軸向、切向和徑向的變形分別為us,vs,ws，則厚殼中任意一點(diǎn)的變形可以表示為：

圖2 一階剪切變形理論

uxs=us(xs,θs,t)+zs·φxs(xs,θs,t)，

uθs=vs(xs,θs,t)+zs·φθs(xs,θs,t)，

uzs=ws(xs,θs,t)+zs·φzs(xs,θs,t)

(4)

式中：t表示時(shí)間項(xiàng)，φxs,φθs分別表示厚殼截面變形后在xszs面和θszs面內(nèi)的斜率，即變形時(shí)的轉(zhuǎn)角，而φzs則表示厚殼在zs方向變形的變化率。

2.2 定子齒的變形方程

為了能計(jì)入定子齒的剛度與變形，定子齒必須單獨(dú)建模。由于電機(jī)中的電磁力主要是徑向和切向分量[14]，因此本文主要研究定子齒在徑向的彎曲變形以及繞軸向扭轉(zhuǎn)變形。采用歐拉梁理論進(jìn)行建模，同時(shí)計(jì)入梁的扭轉(zhuǎn)變形。在圖1所示的直角坐標(biāo)系xb,yb,zb下，齒的變形方程為：

uyb=vb+zb·φyb，

uzb=wb

(5)

式中:ui,i=xb,yb,zb表示梁上任意一點(diǎn)沿xb,yb,zb三個(gè)方向的變形分量；而ub,vb,wb則分別表示梁軸線的變形分量，φyb表示繞xb軸的扭轉(zhuǎn)角。根據(jù)彈性力學(xué)理論，梁的彎曲應(yīng)變?chǔ)舩b與扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?chǔ)纽誦分別為：

(6)

3 定子鐵芯的振動(dòng)方程

3.1 定子軛和齒的能量

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的能量理論，圓柱殼在變形時(shí)產(chǎn)生的彈性勢(shì)能為[15]：

Πs=?Vπs(uxs,uθs,uzs)(R+zs)dzsdθsdxs,

(7)

式中，πs是單位體積的應(yīng)變能。

將式(1)～(4)代入式(7),可以得殼體應(yīng)變能關(guān)于中面變形表達(dá)式式(8)。

(8)

為將3維問題簡化為2維，式(8)已在厚度方向zs上積分，hs表示殼體的厚度，coi,i=1,2,3是在厚度方向積分時(shí)產(chǎn)生的系數(shù)項(xiàng)，分別為：

(9)

圓柱厚殼變形在體積Vs上產(chǎn)生的總動(dòng)能為式(10)：

(10)

式中：同樣是對(duì)厚度方向積分后的結(jié)果，ρs表示定子材料的密度，點(diǎn)號(hào)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。

同理，根據(jù)歐拉理論，可以寫出定子齒的彈性勢(shì)能Πb與動(dòng)能Tb的表達(dá)式：

(11)

式中：Eb,Gb分別表示梁的拉伸和剪切模量，Vb表示梁的體積。

3.2 定子軛與齒耦合

由于定子軛與齒能量的推導(dǎo)分別在柱坐標(biāo)系xs,θs,zs與直角坐標(biāo)系xb,yb,zb下，為了研究定子整體的能量，必須統(tǒng)一坐標(biāo)系。電機(jī)振動(dòng)時(shí)定子的輻射噪聲主要是圓柱面振動(dòng)產(chǎn)生，因此，可將圖1中圓柱坐標(biāo)系x,θ,r作為整體坐標(biāo)系，將定子鐵芯的變形在整體坐標(biāo)系下進(jìn)行表達(dá)。

由圖1可知，整體坐標(biāo)系的x坐標(biāo)與xs,xb均相同，表示定子軸向；θ坐標(biāo)與θs相同，表示定子周向。圖1中定子軛和齒的耦合直線P的局部坐標(biāo)分別為θs=θP,zs=-hs/2；和zb=hb/2,yb=0。在此直線P上，由位移連續(xù)條件，梁和殼體的位移相等，且繞x軸的扭轉(zhuǎn)角相同。耦合條件可以表達(dá)為：

(12)

式中：上標(biāo)b,s分別表示梁和殼的局部坐標(biāo)系，u表示直線變形，φ表示扭轉(zhuǎn)變形。將式(4)、式(5)以及P的坐標(biāo)代入式(12)，可以推導(dǎo)出定子齒變形與厚殼變形的關(guān)系表達(dá)式為：

(13)

將式(13)代入式(11)，可以得到定子齒在整體柱坐標(biāo)系x,θ,r下的的彈性勢(shì)能和動(dòng)能為：

(14)

(15)

式中:Jb表示矩形截面梁的扭轉(zhuǎn)剛度，需根據(jù)梁截面的形狀進(jìn)行近似計(jì)算[13]。N表示定子齒的數(shù)目，Iyy是定子齒軸向截面關(guān)于yb軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(8)、(10)分別與式(14)式(15)相加，可以得到定子整體的拉格朗日能量泛函為：

L(us,vs,ws,φxs,φθs,φzs)=Ts+Tb-(Πs+Πb)

(16)

3.3 定子鐵芯振動(dòng)特性求解

根據(jù)哈密頓原理，彈性體的運(yùn)動(dòng)變形必使能量泛函的積分作用量取得極小值，即：

(17)

在力學(xué)中，能量變分方程的求解，可以使用Rayleigh-Ritz法，首先假設(shè)出中面在兩端簡支約束下的位移試探函數(shù)：

(18)

式中：x,θ表示圖1中的總體坐標(biāo)系，中i表示虛數(shù)符號(hào)，αm=m·π/L表示x方向的半波數(shù)，n表示θ方向的波數(shù)，ω表示振動(dòng)的頻率。

將式(18)代入式(17)中，利用振型函數(shù)的正交性，可以得到(m,n)階振動(dòng)的能量泛函為：

(19)

以Umn,Vmn,Wmn,Ψmn,Φmn,Θmn作為廣義坐標(biāo)，對(duì)能量泛函Lmn進(jìn)行廣義變分處理，最終可以得到定子結(jié)構(gòu)的廣義剛度矩陣Kmn和廣義質(zhì)量矩陣Mmn：

(20)

式中：Dmn即為廣義位移向量[Us,Vs,Ws,Ψs,Φs,Xs]′，Kmn和Mmn分別為：

(21a)

(21b)

4 數(shù)值計(jì)算與仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析方法的準(zhǔn)確性，使用解析法與有限元方法計(jì)算一6相8極表貼式永磁同步電機(jī)定子鐵芯的固有頻率，在去除圓角，凹槽等細(xì)節(jié)之后，簡化的定子模型尺寸如表1所示。表1可知，定子軛厚度與半徑比值超過1/6，屬于厚圓柱殼。由于定子的疊片結(jié)構(gòu)，定子軸向和橫向的機(jī)械性能存在差異，因此材料屬性等效為橫觀各向同性，即軸向參數(shù)與徑向、周向不同。根據(jù)鄧文哲等對(duì)疊片結(jié)構(gòu)的定子各向異性等效彈性模量試驗(yàn)測(cè)定，對(duì)周向、徑向彈性模量有Eθs,Ezs=0.85E，軸向?yàn)镋xs=E，而對(duì)于剪切模量則有Gzsθs=0.85G，Gxsθs,Gxszs=0.14G。其中E,G分別為各向同性硅鋼片的楊氏模量和剪切模量。

表1 數(shù)值與仿真驗(yàn)證定子參數(shù)

有限元模型如圖3所示。圖3(a)是定子鐵芯模型，定子軛采用殼單元?jiǎng)澐郑ㄗ育X采用梁單元?jiǎng)澐?，共?jì)5 982個(gè)節(jié)點(diǎn)，11 550個(gè)單元，殼兩端施加簡支約束。此外，為了證明定子齒變形對(duì)固有頻率的影響，同時(shí)建立了一個(gè)質(zhì)量等效的厚殼有限元模型，如圖3(b)所示，殼的尺寸為定子軛的尺寸，將齒的質(zhì)量增加到殼體后，等殼厚殼的密度變?yōu)?0 741 kg/m3，其他參數(shù)與條件均保持不變。

(a)定子鐵芯模型

表2中m表示定子x軸向的模態(tài)階數(shù)，n表示定子θ周向的模態(tài)階數(shù)，軸向模態(tài)的差異可以從n=0的模態(tài)中看出。相對(duì)誤差標(biāo)準(zhǔn)值均基于定子鐵芯有限元計(jì)算結(jié)果。由圖4可知，所研究定子的前6階固有頻率主要集中在2～7 kHz內(nèi)，若不考慮齒變形，僅做質(zhì)量等效，則計(jì)算的0節(jié)圓(m=1)的低階模態(tài)的固有頻率誤差為12%以內(nèi)，單節(jié)圓(m=2)低階模態(tài)的誤差高達(dá)28%，說明定子齒的變形不能忽略，間接證明了本文研究的必要性。本文所提解析方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出定子鐵芯對(duì)應(yīng)振型的固有頻率，0節(jié)圓各階模態(tài)固有頻率的相對(duì)誤差小于3%，單節(jié)圓各階模態(tài)誤差小于5%，滿足工程計(jì)算精度，證明了解析方法的正確性。該解析方法只需輸入結(jié)構(gòu)的外形尺寸，計(jì)算無需網(wǎng)格劃分，因此與有限元相比更為簡單，同時(shí)，參數(shù)的修改也十分容易，無需重劃網(wǎng)格。

表2 定子鐵芯模態(tài)振型計(jì)算結(jié)果

(a)定子鐵芯的固有頻率比較

5 結(jié) 論

本文研究了一種解析方法快速計(jì)算電機(jī)定子鐵芯的振動(dòng)特性。提出了一種可考慮定子齒變形的厚殼-梁耦合簡化模型，推導(dǎo)了耦合結(jié)構(gòu)的能量變分方程，并使用Rayleigh-Ritz法求解了模態(tài)振型和固有頻率。經(jīng)驗(yàn)證，本文提出的解析方法計(jì)算得到的各階模態(tài)的固有頻率，與有限元仿真結(jié)果的相對(duì)誤差在5%以內(nèi)，滿足工程計(jì)算的精度要求；若不考慮定子齒變形，低階固有頻率誤差為12%，說明定子齒的影響不能忽略；所提解析方法省去了有限元計(jì)算時(shí)的建模與網(wǎng)格劃分過程，提高了計(jì)算效率，可用于需快速預(yù)測(cè)定子振動(dòng)噪聲特性的電機(jī)初步設(shè)計(jì)階段。