基于溫度效應的無限長壓電圓桿縱波分析*

陳瓊 薛春霞 王勛

(中北大學理學院工程力學系,太原 030051)

利用有限變形理論,以無限長壓電圓桿為研究對象,考慮了在橫向慣性、等效泊松比效應以及在熱電彈耦合共同作用下,基于Hamilton 原理,并引入Euler 方程推導出壓電圓桿的縱向波動方程.采用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法,求解壓電圓桿的波動方程和對應的解.最后,通過Matlab 軟件得到不同波速比下的色散曲線,以及溫度場對壓電圓桿的波形、波幅和波數(shù)的影響曲線.數(shù)值分析結(jié)果表明: 隨著溫度的升高,波速逐漸降低,溫度場的改變可影響和控制孤立波的傳播特性.

1 引 言

隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的飛速發(fā)展,壓電材料因其獨特的性能而被廣泛應用[1].在航空航天、智能結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域,裝備工作環(huán)境惡劣,差異大,特別是溫度變化比較大,對實施控制有著非常大的影響.因此在實際工況條件的精確建模過程中,需要考慮電場和溫度場的耦合作用.而桿作為常用的構(gòu)件,也吸引了不少學者的關(guān)注.劉延柱等[2]和He 等[3]利用廣義熱-彈耦合理論求解并研究了半無限壓電桿的邊值問題.目前對于波動的問題,主要采用多尺度法、齊次平衡法等展開了對壓電圓桿波動的研究[4,5].馮依虎[6]利用泛函分析變分迭代的方法求出各次孤子波近似解,進而研究了強非線性波動方程的行波解.Guo 等[7]利用Hamilton 變分原理,根據(jù)有限變形理論的拉格朗日描述,推導出彈性細桿的非線性波動方程,利用多尺度法得到了穩(wěn)定的行波解.李敏等[8]通過對薛定諤方程的相平面分析,約化得到其同異宿軌道,并在相應條件下得到方程的明、暗孤立波解.

然而上述求解方法具有一定的局限性,只能求出波動方程的沖擊波解、孤波解和初等函數(shù)的周期解[9?11].但采用Jacobi 橢圓函數(shù)法便可求出波動方程的廣義周期解和對應的孤立波解[12,13],劉志芳和張善元[14?16]利用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法求得了無限長圓桿的非線性扭轉(zhuǎn)波解、孤波解以及非圓截面桿的行波解、周期解.

由于壓電結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域具有廣泛應用,壓電介質(zhì)中波的傳播吸引了很多學者的關(guān)注.鄧慶田等[17]用逐步近似法對位移函數(shù)進行了假設(shè)并通過變動參數(shù)法求解,對壓電層和圓桿中的幾何非線性波進行了研究.Seadawy 和Manafian[18]通過擴展嘗試方程法和積分方法,推導出了磁電彈圓桿縱波方程的暗孤子、亮孤子、孤波、周期孤波、有理函數(shù)解和橢圓函數(shù)解等不同形式的新的顯式精確解.Baskonus 等[19,20]利用Sin-gordon 展開法對磁電彈性圓桿的縱波方程的解析解進行了研究,得到了更多新的解析解,給出了所有解的數(shù)值模擬,很好地解釋了一些實際物理問題.Wang[21]研究了壓電耦合圓柱殼結(jié)構(gòu)中波的傳播,從理論上得到了雙模殼模型的頻散曲線,推導出波數(shù)極限情況下的截止頻率和相速度.Xue 和Pan[22]考慮幾何非線性以及橫向泊松比引起的彌散效應對無限長磁電彈圓桿進行了研究,建立了縱波方程,并通過Jacobi橢圓函數(shù)法對其進行了求解.Samsonov[23]首先報道了桿中存在孤波的實驗研究,利用聚苯乙烯的彈性介質(zhì),設(shè)計了一套通過光學原理構(gòu)造和記錄孤波的實驗方法,用全息照相法記錄下了孤波軌跡,從事實上證實了彈性固體中孤波的存在.2013 年,Toffoli 等[24]在一個大的定向波池實驗中探究了平面波對斜攝動的調(diào)制和有限水深下異常波動的產(chǎn)生,并采集了實驗數(shù)據(jù),對流體中的波動進行了實驗探究.

綜上所述,由于非線性波的激發(fā)和觀測是非常困難的,導致實驗上工作比較少.所以本文采用建立模型和數(shù)值分析的方法,研究不同溫度場下的非線性波動問題.通過Hamilton 變分原理,引入Euler 方程,采用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法,推導出壓電圓桿的波動方程和對應的解,并討論溫度變化對壓電介質(zhì)的波形、波幅以及波速等的影響.

2 建立壓電圓桿的波動方程

圖1 為無限長壓電圓桿示意圖,建立圓柱坐標系 (r,θ,z) ,z是沿著桿的軸向,也是波傳播的方向.θ= [0,2π],0 ≤r≤R,其中R為壓電圓桿半徑.為了研究方便,假設(shè): 1)變形后,板中初始狀態(tài)垂直于中心平面的點仍然垂直于中心平面; 2)桿的截面是軸對稱的,即Uθ=0和?/?θ=0 ,其中Uθ為θ方向位移; 3)考慮泊松比效應,縱向位移U和徑向位移Ur之間滿足Ur=veffr?U/?z,其中veff是有效泊松比.

對于橫觀各向同性的壓電材料圓桿,在考慮溫度效應時的本構(gòu)方程如下[25]:

圖1 壓電圓桿示意圖Fig.1.Schematic diagram of piezoelectric rod.

其中σi是法向應力;τij是切向應力;εi是法向應變;γij是切向應變;Ei是電場;Di是電位移;cij是彈性常數(shù);εij是介電常數(shù);eij是壓電耦合系數(shù);di是熱電耦合系數(shù);λii是熱機耦合系數(shù)[26,27],λ11=(c11+c12+c13)α1,λ33=(2c13+c33)α3;αi為熱膨脹系數(shù);Θ為相對于初始溫度T0的溫度增量.

有限(非線性)彈性應變位移關(guān)系為

由于這是一維問題,桿的橫向邊界的牽引力應該為零.因此可以得出σr=0 ,τrz=0 ,τrθ=0 ,Dr=0,從中可以得到如下關(guān)系:

根據(jù)廣義Hamilton 變分原理可得

式中L為Lagrange 密度函數(shù),T為系統(tǒng)的動能,EP為系統(tǒng)的勢能,We為系統(tǒng)的電能,具體表達式分別為

這里ρ為壓電材料的密度,V為壓電材料的體積,S={εr,εθ,γrθ}T和Q={σθ,σz,τθz}T分別表示材料的應變向量和應力向量,E={0,0,Ez}T表示電場向量,D={0,0,Dz}T表示電位移向量.

根 據(jù)Euler 方 程,若L=L(U,Uz,Ut,Uzz,Utt,Uzt,···),則

根據(jù)以上關(guān)系可以得到如下表達式:

其中

其中,c0是壓電圓桿的線性縱向波速;α為耗散系數(shù),β為彌散系數(shù),兩者都由材料的性質(zhì)和幾何參數(shù)決定.值得說明的是,如果忽略電場、熱-電耦合,考慮純彈性桿,結(jié)果與文獻[16]一致.

在推導方程(12)時,使用了有效泊松比veff[28].可以得到

3 縱波方程的孤波解

假設(shè)方程(12)的行波解為

將方程(15)代入方程(12)可以轉(zhuǎn)化為一個常微分方程:

其中k和c分別是波數(shù)和波速.用下列Jacobi 橢圓函數(shù)表示方程(16)的解:

可以看出u(ξ) 的最高階數(shù)是n,即

為了討論方便,列出三種Jacobi 橢圓函數(shù)之間的關(guān)系以及漸近值

其 中 c nξ為Jacobi 橢 圓 余 弦 函 數(shù),d nξ為 第 三 類Jacobi 橢圓函數(shù),m為模數(shù) ( 0 ≤m≤1) .

根據(jù)上述微分關(guān)系,很容易有

類似地,可以推出:

因此,將方程(16)進一步化為

其中

對ξ積分兩次,為計算方便,令積分常數(shù)為零.可以得到

通過諧波平衡法,使方程(25)中的非線性項次數(shù)和微分項最高階數(shù)相等,結(jié)合方程(22)可以確定方程(18)中的最高階數(shù)n= 2.

根據(jù)Jacobi 橢圓余弦函數(shù)展開法,方程(17)的解有如下表達形式:

方程(26)對ξ微分兩次可求得

將方程(26)和方程(27)代入方程(25),并比較 c nξ相同次冪的系數(shù),可得

因此方程(23)的精確周期解為

其中m為模數(shù)(0

由于此處只討論波的特性,令常數(shù)項為零.即

將方程(31)代入方程(30),得到方程(25)的一個標準孤波解:

式中A為波幅,Λ是波長,

其中c>c0是孤立波存在的條件.

利用Jacobi 橢圓正弦函數(shù)展開法,方程(17)的解有如下表達形式:

將方程(34)對ξ微分兩次求得

將方程(34)和方程(35)代入方程(25),并比較 s nξ相同次冪的系數(shù),可得

因此方程(23)的精確周期解為

將方程(19)代入到方程(37)求得

這就是方程(23)的另一個精確周期解,可以觀察到取m= 1 時,方程(38)退化為與方程(29)同樣的形式.

4 數(shù)值計算和討論

本文通過Matlab 軟件,對如圖1 所示的模型進行數(shù)值模擬,取無限長壓電圓桿為BaTiO3材料,初始溫度為T0= 20 ℃,桿的半徑分別為R1=0.025 m,R2= 0.05 m 和R3= 0.075 m.將這些參數(shù)代入相關(guān)方程進行計算,通過改變溫度及波速比值,得到相應的模擬結(jié)果.

根據(jù)表1 所列參數(shù),通過改變溫差Θ的大小,可以計算出不同溫度下波速c0的大小.如表2 所列,可以看出,當溫差Θ= 10 ℃時,波速c0最大,隨著溫度的升高,波速c0逐漸減小,但也可以看出波速c0并沒有存在大幅度的衰減.

通過改變波速比c/c0的大小,可求得在不同比值下的波幅A、波長Λ和波數(shù)k.如表3 所列,可以看出,隨著波速比的增大,波幅A和波數(shù)k增大,而波長Λ隨之減小.同樣地,如表4 所列,固定波速比c/c0= 1.1,改變壓電圓桿的半徑,分別取R1= 0.025 m,R2= 0.05 m 和R3= 0.075 m.能夠發(fā)現(xiàn)隨著壓電圓桿半徑R的增大,波長Λ隨之增大,而波數(shù)k隨之減小.

圖2 給出了在不考慮溫度影響時不同波速比c/c0下,孤波波速u和變量ξ的關(guān)系.可以看出,當ξ= 0 時,u達到最大值,并且幅值關(guān)于ξ= 0對稱,同時可以觀察到,隨著c/c0的增大,孤波幅值增大,波長減小.簡而言之,孤波振幅越大,波長越小,這體現(xiàn)了非線性孤波的彌散特性.

表1 鈦酸鋇材料參數(shù)[29]Table 1.Material parameters of BaTiO3[29].

表2 不同溫度下波速比較Table 2.Comparison of the wave velocities at different temperature.

表3 R = 0.05 m 時不同波速比下參數(shù)比較Table 3.Comparison of parameters under different wave velocity ratios when R = 0.05 m.

表4 波速比c/c0 = 1.1 時不同半徑下參數(shù)比較Table 4.Comparison of parameters under different radii when c/c0 = 1.1.

圖2 不同波速比c/c0 下孤波波速u 與變量ξ 的關(guān)系Fig.2.Relationship between solitary wave u and variable ξ under different wave velocity ratio c/c0 values.

圖3給出了在波速比c/c0= 1.3,時間固定在t= 0.01 s 時,當Θ分別取10,50,90 ℃三種不同溫度下的波形[30],觀察到隨著溫度Θ的改變,孤立波在傳播過程中波形并沒有發(fā)生改變,體現(xiàn)了其穩(wěn)定性.同時可以看出,當波速比c/c0一定時它們的波幅非常接近,溫度的改變對波幅的影響并不是很明顯,但是隨著溫度的逐漸升高,波速卻逐漸降低,這一點也與表2 的數(shù)據(jù)相符合.

圖3 波速比c/c0 = 1.3 時三種不同溫度下的波形Fig.3.Three waveforms at different temperatures when the velocity ratio of c/c0 = 1.3.

圖4 給出了當溫差Θ= 50 ℃時,波速比c/c0分別取為1.1,1.2 和1.3 時的波形,可知,孤立波的能量主要集中在中間有效區(qū)域,并且沒有因為波速比的改變而擴散,體現(xiàn)了孤立波的穩(wěn)定性.而當溫度一定時,隨著波速比c/c0的升高,波幅增大,波長減小.這一點與圖2 表示的孤波特性相一致.

圖5 給出了孤立波的三維曲面,圖6 給出了壓電圓桿的孤波特性.可以看出,當給定某一時間t和z之后,孤立子就會出現(xiàn),這說明了孤立波不是單獨關(guān)于時間或空間的單一變量,而是以時間和空間為組合的變量,隨著時間的變化,波在傳播.并且相同的波形在給定t 和z 的組合后會重復出現(xiàn),且能量比較集中,這與孤波的穩(wěn)定性相符合.因此它在當代通信技術(shù)、缺陷檢測等許多方面有很大的研究意義和應用潛力.

圖7 給出了在三種不同溫度下,壓電圓桿的波速c 和波數(shù)k 的關(guān)系圖.可以看出,當溫度一定時,隨著波數(shù)k 的增加,波速c 也呈增加趨勢,同樣地,當波數(shù)k 一定時,隨著溫度的升高波速c 反而呈減小趨勢,這與表2 以及圖3 和圖4 的模擬結(jié)果相符合.

圖4 當Θ = 50 ℃時不同波速比c/c0 下的波形Fig.4.Waveforms under different wave velocity ratio c/c0 values when Θ = 50 ℃.

圖5 當波速比c/c0 = 1.3,Θ = 50 ℃時三維曲面圖Fig.5.Three-dimensional surface figure when the wave ratio c/c0 = 1.3,Θ = 50 ℃.

圖6 壓電圓桿的孤波特性Fig.6.Solitariness of piezoelectric rod.

圖7 三種不同溫度下波速c 和波數(shù)k 的關(guān)系圖Fig.7.Graph of wave velocity c and wave number k at three different temperatures.

5 結(jié) 論

孤立波在數(shù)學上是一類非線性偏微分方程的局部行波解,這類方程可表示為運動項+色散項+非線性項+(耗散項) = 0.從物理本質(zhì)上講,非線性效應使得波形在傳播過程中出現(xiàn)陡突(能量聚集).孤立子就是由非線性場激發(fā)的、能量不彌散的、形態(tài)上穩(wěn)定的粒子.本文研究了溫度效應下無限長壓電圓桿的孤波問題,由于結(jié)構(gòu)的有限變形(如軸向壓縮等)可引起非線性效應,而二次運動和變形(如橫向泊松效應等)可分散這些效應.相互作用在非線性效應和色散效應之間,在一定條件下就產(chǎn)生了孤波這一穩(wěn)定傳播的行波.利用Hamilton變分及Euler 方程推導出圓桿的波動方程,并采用Jacobi 橢圓余弦函數(shù)展開法和橢圓正弦函數(shù)展開法對推導出的波動方程進行求解.通過Matlab 軟件進行數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)壓電圓桿中不僅有孤波存在,而且在不同溫度下具有不同的性質(zhì).可以得到如下結(jié)論:

1)由計算結(jié)果可分析得到,當固定波速比時,溫度的改變對波速的影響比較明顯,隨著溫度的升高,波速逐漸降低.

2)當固定溫度時,波速比的改變對孤波的幅值影響比較明顯,隨著波速比的增大,波幅逐漸升高,這也是孤波的特點之一.

3)溫度的改變雖然對孤立波有一定的影響,但在傳播的過程中,孤立波仍然是關(guān)于ξ 對稱的鐘型波,這也體現(xiàn)了非線性和色散效應共同作用下孤立波的穩(wěn)定特性.另外,利用Jacobi 橢圓函數(shù)求解得到壓電圓桿的精確周期解,周期解可退化為孤波解,從理論上也證明了壓電圓桿中可能有穩(wěn)定傳播的孤波.目前,波動理論在結(jié)構(gòu)的無損檢測和提高信息傳輸質(zhì)量等方面得到了較為廣泛的應用.因此,將波動理論運用到壓電材料中具有現(xiàn)實工程意義和理論研究價值.