基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的激光掃頻干涉測(cè)量方法*

徐靖翔 孔明 許新科

(中國計(jì)量大學(xué)計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,杭州 310018)

激光掃頻干涉測(cè)量技術(shù)具有無測(cè)距盲區(qū)、非接觸、單次測(cè)量多目標(biāo)的能力.通過傅里葉變換可提取目標(biāo)拍頻頻率,進(jìn)而解算距離.然而受激光器調(diào)頻帶寬限制,通過傅里葉變換得到的目標(biāo)分辨率受限于固有分辨率.為解決該問題,本文提出采用基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)(ESPRIT)算法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行頻譜分析.實(shí)驗(yàn)通過插值擬合法校正測(cè)量信號(hào)拍頻非線性,進(jìn)而采用ESPRIT 算法測(cè)量目標(biāo)距離,結(jié)果表明在傅里葉變換算法無法區(qū)分臨近目標(biāo)頻率的情況下,采用ESPRIT 算法可以區(qū)分出目標(biāo)的頻率,通過計(jì)算可得被測(cè)目標(biāo)的厚度為2.08 mm.從而為諸如光纖臨近損傷點(diǎn)、薄臺(tái)階高度或小孔等測(cè)量提供了思路.

1 引 言

激光測(cè)距具有測(cè)距范圍大、抗干擾能力強(qiáng)、分辨率高等諸多優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于光學(xué)探測(cè)、三維形貌測(cè)量和工業(yè)制造等領(lǐng)域.常用的激光測(cè)距方法有光頻梳法、干涉法、相位法和脈沖法等.激光掃頻干涉測(cè)量技術(shù)屬于光學(xué)干涉測(cè)量技術(shù)的一種,該技術(shù)將調(diào)頻測(cè)距的原理和激光的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合,可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)、非接觸、高精度的絕對(duì)測(cè)距,在工業(yè)制造和科學(xué)研究中具有重要的價(jià)值[1?5].

激光掃頻干涉測(cè)量技術(shù)作為一種新型相干探測(cè)技術(shù),采用線性調(diào)頻信號(hào)調(diào)制激光,對(duì)被測(cè)目標(biāo)的拍頻信號(hào)進(jìn)行頻譜分析可以獲得被測(cè)目標(biāo)的距離與速度[6?8].該技術(shù)的測(cè)量分辨率與可調(diào)激光器的調(diào)頻帶寬有關(guān),當(dāng)激光器的調(diào)頻帶寬達(dá)到幾十至上百GHz 時(shí),測(cè)量分辨率可達(dá)到毫米級(jí).為了提高激光測(cè)距系統(tǒng)的測(cè)量分辨率,可以通過增大激光器的調(diào)頻帶寬.2001 年,Schneider[9]利用干涉儀在反饋環(huán)路中補(bǔ)償激光器的非線性,并采用對(duì)稱掃頻的方法消除環(huán)境帶來的振動(dòng)干擾,在調(diào)頻帶寬為15 GHz 時(shí)的測(cè)距精度為毫米級(jí).2010 年,Arseny等[10]利用算法將三個(gè)可調(diào)激光器的光譜相結(jié)合,使掃描范圍提高至原來的三倍,從而使測(cè)量分辨率提高了三倍.2011 年,于嘯等[11]對(duì)調(diào)頻連續(xù)波雷達(dá)技術(shù)的測(cè)距測(cè)速分辨率進(jìn)行測(cè)試和分析,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該系統(tǒng)的測(cè)距精度達(dá)到厘米級(jí),測(cè)速精度可達(dá)到毫米級(jí).2015 年,孟祥松等[12]提出了基于重采樣技術(shù)的高速測(cè)量方法,對(duì)多次不同測(cè)量的等光頻間隔采樣的信號(hào)進(jìn)行拼接,實(shí)現(xiàn)了對(duì)激光器調(diào)制帶寬的拓展,從而提高了測(cè)量分辨率.

激光掃頻干涉測(cè)量技術(shù)一般利用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行頻譜分析,分辨率與采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān),提高測(cè)量分辨率需要增加采樣點(diǎn)數(shù).由于受激光器調(diào)頻帶寬限制,采樣點(diǎn)數(shù)無法任意增加.為在算法上進(jìn)一步提高測(cè)量分辨率,目前常用的算法如現(xiàn)代譜估計(jì)中的線性預(yù)測(cè)自回歸(AR)模型法,該算法需要經(jīng)過多次遞推計(jì)算才能確定模型階數(shù)的最優(yōu)值,增加了計(jì)算負(fù)擔(dān),而且隨著階數(shù)的增加,會(huì)導(dǎo)致偽峰的增多.FFT 算法存在柵欄效應(yīng)和頻譜泄漏,將導(dǎo)致信息的丟失和頻譜的擴(kuò)大或者混疊,造成頻譜分辨率下降.多重信號(hào)分類(MUSIC)算法需要進(jìn)行譜峰搜索尋找峰值,這會(huì)帶來很大的計(jì)算量,該算法通過改變陣元數(shù)可在一定程度上提高分辨率,但會(huì)使得運(yùn)算時(shí)間大幅度增加[13?19].

本文對(duì)激光掃頻干涉測(cè)量原理及拍頻非線性校正方法進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上采用信號(hào)參數(shù)估計(jì)(ESPRIT)算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量,該算法與MUSIC 算法相比具有計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn).與FFT算法進(jìn)行對(duì)比,ESPRIT 算法能夠克服柵欄效應(yīng),可以用于解決測(cè)量分辨率受調(diào)頻帶寬限制難以進(jìn)一步提高的問題.

2 原 理

2.1 激光掃頻干涉測(cè)距系統(tǒng)示意圖

本文中的激光掃頻干涉測(cè)距系統(tǒng)如圖1 所示,分布式反饋(DFB)激光器與兩個(gè)光路相連.一個(gè)是主光路,用于目標(biāo)的測(cè)量,主要構(gòu)成為邁克耳孫干涉儀.另一個(gè)是輔助光路,主要構(gòu)成是馬赫-曾德爾干涉儀,其輸出的信號(hào)用于對(duì)被測(cè)目標(biāo)的采樣信號(hào)進(jìn)行重采樣,目的是校正DFB 激光器的調(diào)頻非線性,兩路延遲單模光纖的作用是改變兩個(gè)光路的光程.首先,DFB 激光器99%的能量進(jìn)入主光路,然后再次經(jīng)過99∶1 的分束器,將99%的能量用于測(cè)量光,剩余的1%用于參考光路,兩部分信號(hào)在耦合器中耦合后,探測(cè)器1 獲得主光路最終的輸出信號(hào).同時(shí),DFB 激光器剩余的1%的能量進(jìn)入輔助光路后,被50∶50 分束器分為兩路,并由探測(cè)器2接收輸出的信號(hào).探測(cè)器1 和探測(cè)器2 將接收到的光信號(hào)轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào),并將其傳輸?shù)綌?shù)據(jù)采集卡.

激光拍頻干涉測(cè)距原理如圖2 所示.DFB 發(fā)出的線性調(diào)頻光,經(jīng)過分光鏡PBS 后被分為兩束.一束作為本振光,到達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部的反射鏡后,被反射進(jìn)入探測(cè)器.一束作為測(cè)量光,達(dá)到目標(biāo)后返回,在探測(cè)器中與本振光發(fā)生干涉產(chǎn)生拍頻信號(hào)[20?24].

激光掃頻干涉測(cè)量拍頻形成的原理如圖3 所示.假設(shè)DFB 激光器發(fā)出的線性調(diào)頻光頻率為

式中ω0為調(diào) 頻起 始角 頻率,f0為 調(diào)頻 起始 頻率,?=2πB為角調(diào)頻帶寬,k=B/Tm為調(diào)頻斜率,Tm為調(diào)頻周期,ωL(t) 為本振光頻率,則主光路中的本振光信號(hào)可以表示為

其中AL為振幅.主光路中的測(cè)量光信號(hào)為

其中AT為測(cè)量光的振幅,c為光速,Rt為被測(cè)目標(biāo)與激光測(cè)距系統(tǒng)相距的距離,nair是空氣折射率,τt=Rtnair/c.本振光和測(cè)量光在探測(cè)器中形成的光電流,最終輸出可以表示為

圖1 激光掃頻干涉測(cè)距系統(tǒng)示意圖Fig.1.Schematic diagram of laser scanning interference ranging system.

圖2 激光拍頻干涉測(cè)距原理圖(PA,檢偏器)Fig.2.Schematic diagram of laser beat frequency interference ranging (PA,polarization analyzer).

圖3 激光掃頻干涉測(cè)量拍頻形成原理圖Fig.3.Schematic diagram of beat frequency formation in laser frequency scanning interferometry.

式中,Ia為平均光強(qiáng),ξH為外差干涉效率.第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是直流項(xiàng),第三項(xiàng)和第四項(xiàng)分別為在探測(cè)器上形成的和頻項(xiàng)與差頻項(xiàng).直流項(xiàng)不含被測(cè)目標(biāo)的距離信息,通過帶通濾波器可將其濾除.和頻項(xiàng)其頻率超過探測(cè)器的響應(yīng)范圍,該項(xiàng)可不考慮.差頻項(xiàng)為本振光與測(cè)量光光頻之差,當(dāng)頻差小于探測(cè)器的截止頻率時(shí),有光電流輸出.可表示為

(5)式表明測(cè)量信號(hào)為余弦形式的信號(hào).對(duì)其進(jìn)行頻譜變換可以得到被測(cè)目標(biāo)的拍頻頻率

快速傅里葉變換的頻譜分辨率為 ?fb=1/Tm,代入(5)式可以得到激光掃頻干涉絕對(duì)距離測(cè)量的分辨率為[25]

2.2 插值擬合法理論模型

為了校正DFB 激光器的調(diào)頻非線性對(duì)測(cè)量的影響,本次實(shí)驗(yàn)采用插值擬合法對(duì)測(cè)量光信號(hào)進(jìn)行非線性校正,該方法的理論模型如下.設(shè)輔助光路中由延遲單模光纖形成的光纖長(zhǎng)度差為R1,折射率為n1,形成的時(shí)間延遲為τ1=R1n1/c,則輔助光路中的信號(hào)可以表示為

其中f(t) 是激光器的瞬時(shí)頻率.將該信號(hào)對(duì)主光路中的信號(hào)做插值擬合法,時(shí)刻選擇的是IL′每經(jīng)過一個(gè)周期上升沿的過零點(diǎn)時(shí)刻,即IL′=0 時(shí),可以得到

N是輔助光路信號(hào)過零點(diǎn)的個(gè)數(shù),進(jìn)而可以得到

主光路中延遲單模光纖形成的光纖長(zhǎng)度差為R2,折射率同樣為n1,在拍信號(hào)中形成的時(shí)間延遲為τ2=R2n1/c.由于主光路和輔助光路中的激光信號(hào)來自于同一個(gè)激光器,因此同一時(shí)刻下兩光路中信號(hào)的瞬時(shí)頻率相同,主光路的信號(hào)可以表示為

將(10)式代入(11)式得到:

式中的τ1,τ2為常數(shù)項(xiàng),當(dāng)Rt確定時(shí),τt也是一個(gè)定值.(12)式表明經(jīng)過插值擬合法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行非線性校正以后,測(cè)量信號(hào)變成了以k為自變量的余弦信號(hào),與激光器瞬時(shí)頻率f(t) 無關(guān),即采用插值擬合法可以校正測(cè)量信號(hào)的拍頻非線性.

2.3 ESPRIT 算法原理

由上述分析可知,測(cè)量信號(hào)為余弦信號(hào),為提高測(cè)量分辨率,本文提出采用現(xiàn)代譜估計(jì)中的ESPRIT 算法進(jìn)行頻譜分析.經(jīng)典譜估計(jì)以傅里葉變換為基礎(chǔ),該方法是將數(shù)據(jù)工作區(qū)以外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零,相當(dāng)于數(shù)據(jù)加窗,這并不符合實(shí)際.與經(jīng)典譜估計(jì)相比,現(xiàn)代譜估計(jì)是通過觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)模型,再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號(hào)功率譜,進(jìn)而提高了譜估計(jì)的分辨率.ESPRIT 算法的具體原理如下.

設(shè)測(cè)量信號(hào)x(n) 可以表示為一系列幅值按指數(shù)規(guī)律變化的余弦信號(hào)與白噪聲的組合,當(dāng)該信號(hào)入射到一個(gè)有M個(gè)陣元的平面陣列上,在采樣時(shí)刻n,其輸出數(shù)據(jù)的矩陣模型如下:

式中Ts為采樣周期;ap,?p,ωp,σp是第p個(gè)衰減分量的幅值、初始相位、頻率和衰減系數(shù);w(n) 為噪聲.

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)序列x(0) ,x(1) ,···,x(N ?1)構(gòu)造出一個(gè)Hankel 數(shù)據(jù)矩陣:

式中y為頻率向量,Φ為旋轉(zhuǎn)矩陣,

其中 jω1,jω2,··· ,jωp是(13)式中的頻率.設(shè)U1,U2是兩個(gè)交錯(cuò)的長(zhǎng)度為M?1 的數(shù)據(jù)矩陣,視為長(zhǎng)度為M的數(shù)據(jù)矩陣的子窗口,有

可得

為了在較少數(shù)據(jù)長(zhǎng)度下,該算法仍有較高的分辨率,采用奇異值分解的方法,矩陣X進(jìn)行奇異值分解:

令V1,V2分別是Vs刪除最后一行和第一行后得到的新矩陣,存在旋轉(zhuǎn)矩陣Ψ,使得

由(20)式和(22)式可知,矩陣Φ中的對(duì)角元素即是Ψ的特征值,考慮到噪聲和干擾誤差等因素,用E1,E2分別表示V1,V2的誤差,(22)式可改為

運(yùn)用最小二乘法求出Ψ的最優(yōu)解使(23)式成立,同時(shí)使得誤差矩陣E1和E2的總體誤差最小,最終可以求得頻率

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為了驗(yàn)證ESPRIT 算法的有效性,搭建了如圖1 所示的激光測(cè)距系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量,其中使用的DFB 激光器光源波長(zhǎng)為1550 nm,調(diào)頻帶寬為60 GHz,測(cè)量目標(biāo)為前表面鍍膜的反射鏡,根據(jù)(6)式,可以求得測(cè)距系統(tǒng)的分辨率為2.50 mm.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量時(shí),數(shù)據(jù)采集卡同時(shí)采集主光路的信號(hào)和輔助光路的信號(hào),利用輔助光路中的信號(hào)對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行插值擬合,從而消除測(cè)量信號(hào)的拍頻非線性.

對(duì)被測(cè)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量前,首先采用插值擬合法進(jìn)行非線性的校正.對(duì)未經(jīng)過插值擬合法進(jìn)行非線性校正的被測(cè)信號(hào)做頻譜分析,如圖4 所示,可以看出測(cè)量信號(hào)由于DFB 激光器的非線性導(dǎo)致了頻譜展寬,使得無法準(zhǔn)確提取出目標(biāo)頻譜中心頻率.

圖5 是非線性校正前的測(cè)量信號(hào)的時(shí)頻圖,可以看出隨著時(shí)間的增加,頻率也隨之改變,這一變化是由激光器的調(diào)頻非線性造成的.

圖4 未采用插值擬合時(shí)信號(hào)的頻譜圖Fig.4.Spectral diagram of the signal without interpolation fitting.

圖5 未采用插值擬合信號(hào)的時(shí)頻圖Fig.5.Time-frequency diagram of the signal without interpolation fitting.

對(duì)測(cè)量信號(hào)做非線性校正,經(jīng)過插值擬合法校正后得到的新信號(hào)如圖6 所示,可以看到圖中有一個(gè)明顯的單一尖峰,保證了提取目標(biāo)頻率的穩(wěn)定性.通過對(duì)比圖4 和圖6,可以看出采用插值擬合法后,大幅度減小了測(cè)量信號(hào)的頻譜展寬,表明對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行插值擬合法的非線性校正方法是可行的.

校正非線性后的時(shí)頻圖如圖7 所示,可以看出測(cè)量信號(hào)經(jīng)過非線性校正后,頻率隨時(shí)間的增加保持穩(wěn)定.

調(diào)整準(zhǔn)直鏡頭,將一個(gè)前表面鍍膜的反射鏡緊密夾在三坐標(biāo)機(jī)械臂上.機(jī)械臂移動(dòng)不同的距離,每段移動(dòng)的距離由三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量給出,同時(shí)使用激光測(cè)距系統(tǒng)在每段距離的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)反射鏡進(jìn)行測(cè)量,采用FFT,MUSIC 和ESPRIT 三種算法對(duì)應(yīng)的測(cè)量結(jié)果如表1 所列.

由表1 可知,ESPRIT 算法與FFT 計(jì)算得到的結(jié)果與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)給出的結(jié)果相比,最大誤差是0.016 mm.

圖6 采用插值擬合后信號(hào)的頻譜圖Fig.6.Spectral diagram of the signal with interpolation fitting.

圖7 采用插值擬合后信號(hào)的時(shí)頻圖Fig.7.Time-frequency diagram of the signal with interpolation fitting.

對(duì)雙目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量時(shí),調(diào)整鏡頭的角度至光斑照射在雙目標(biāo)的交界處,此時(shí)能同時(shí)獲得兩個(gè)測(cè)距值.對(duì)三組不同厚度的雙目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量,ESPRIT算法的測(cè)量結(jié)果與實(shí)際厚度的比較如表2 所列.

由表2 可知,ESPRIT 算法計(jì)算得到的結(jié)果與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量的實(shí)際厚度相比,誤差在20—40 μm 之間.

表1 不同距離下三種算法的測(cè)量結(jié)果與實(shí)際距離的比較Table 1.Comparison of the measurement results of three algorithms and the actual distance under different distances.

表2 ESPRIT 算法對(duì)不同厚度的雙目標(biāo)的測(cè)量結(jié)果與實(shí)際厚度的比較Table 2.Comparison of the measurement results of the ESPRIT algorithm with the actual thickness of dual targets.

圖8 被測(cè)目標(biāo)的頻譜圖Fig.8.Spectral diagram of the measured target.

經(jīng)過上述對(duì)比,本文采用ESPRIT 算法對(duì)被測(cè)目標(biāo)進(jìn)行頻譜分析.被測(cè)目標(biāo)由兩個(gè)前表面鍍膜的反射鏡構(gòu)成,將兩反射鏡緊密夾在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的機(jī)械臂上,對(duì)兩反射鏡交界處進(jìn)行測(cè)量,然后對(duì)獲得的信號(hào)進(jìn)行頻譜分析.由FFT 算法得到的測(cè)量結(jié)果如圖8 所示,圖中左側(cè)的尖峰代表的是測(cè)量系統(tǒng)的光纖出射端面,右側(cè)的單一尖峰是被測(cè)目標(biāo).由于被測(cè)目標(biāo)由兩個(gè)反射鏡構(gòu)成,理論上在經(jīng)過頻譜分析后會(huì)獲得兩個(gè)尖峰,但從圖中可以看出只有一個(gè)尖峰,這是由于被測(cè)目標(biāo)之間的距離小于測(cè)距系統(tǒng)的分辨率.

為了解決該問題,區(qū)分出被測(cè)目標(biāo)的兩個(gè)尖峰從而獲得其中心頻率,采用ESPRIT 算法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行計(jì)算與分析,得到被測(cè)目標(biāo)的中心頻率,如圖9 所示.由于只需要被測(cè)目標(biāo)的頻率信息,為了方便計(jì)算將幅值信息進(jìn)行了歸一化.

根據(jù)ESPRIT 算法得到的結(jié)果,通過計(jì)算可得到被測(cè)目標(biāo)的厚度為2.08 mm.

實(shí)驗(yàn)時(shí),環(huán)境溫度、濕度和氣壓變化會(huì)導(dǎo)致空氣折射率nair改變,將導(dǎo)致測(cè)距值的變化.實(shí)驗(yàn)室中能保持相對(duì)穩(wěn)定的溫度、濕度與氣壓,經(jīng)過分析,折射率nair帶來的相對(duì)測(cè)量不確定度接近 1×10?6.

圖9 采用ESPRIT 算法的結(jié)果圖Fig.9.Result diagram using ESPRIT algorithm.

輔助光路中光纖的長(zhǎng)度及折射率會(huì)受到環(huán)境溫度的影響而變化,該誤差將通過拍頻非線性校正影響測(cè)距值.對(duì)該過程的分析如下,不同溫度的光纖由其長(zhǎng)度改變及線熱膨脹引起的光程變化量為

其中R1(Ta) 是Ta溫度下輔助光路中光纖的長(zhǎng)度,Ta表示某一恒定溫度,g(x) 為光纖折射率與溫度相關(guān)的函數(shù),Tz=5.5×10?7/℃為光纖的線熱膨脹系數(shù),Dn為光纖折射率的溫度系數(shù),T為當(dāng)前溫度.

R(Ta) 為Ta溫度下被測(cè)目標(biāo)相距的長(zhǎng)度,當(dāng)環(huán)境溫度從Ta改變至T時(shí),被測(cè)目標(biāo)的時(shí)延τt與輔助光路的時(shí)延τ1的比值為

只保留一次項(xiàng),將(24)式代入可得

對(duì)被測(cè)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量的誤差為

(27)式表明光纖的長(zhǎng)度和折射率受到溫度變化的影響,溫度每變化一度,光纖光程的變化量為0.009 mm/m.溫度升高,被測(cè)目標(biāo)測(cè)量的誤差也隨之增大,且與被測(cè)目標(biāo)相距越遠(yuǎn),誤差越大.

4 結(jié) 論

本文采用ESPRIT 算法來提高激光測(cè)距系統(tǒng)的分辨率.首先研究了激光掃頻干涉測(cè)量的原理,搭建了雙干涉光路的激光測(cè)距系統(tǒng).本次實(shí)驗(yàn)利用輔助光路的信號(hào)對(duì)主光路的測(cè)量信號(hào)進(jìn)行插值擬合的方法,從而消除測(cè)量信號(hào)的拍頻非線性.接著利用ESPRIT算法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行處理,最終可以計(jì)算得到被測(cè)目標(biāo)的厚度.結(jié)果表明ESPRIT算法可以進(jìn)一步提高激光測(cè)距系統(tǒng)的分辨率.