直觀想象素養(yǎng)視角下的微專題教學實踐研究*
——以動點的軌跡方程為例

福建省廈門市廈門實驗中學(361116) 吳俊英

引言

直觀想象是數學核心素養(yǎng)的關鍵組成,是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數學問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.在數學解題中,直觀想象更是不可或缺的重要思維與工具.很多看似復雜,無從下手的數學問題,借助直觀想象就可能很容易獲得解題的捷徑.高三二輪復習時間緊,任務重,教學時可以聚焦一個具體考點(重點、熱點或難點),以微專題的形式組織教學活動,一個微專題占用1-2 課時.微專題學習可以有效激發(fā)學生學習興趣,提高學生學習積極性,調動學生學習主動性,從本質上提高學生數學素養(yǎng).本文以圓錐曲線軌跡方程為例,談談直觀想象素養(yǎng)視角下的微專題教學實踐.

1 教學診斷分析

求動點的軌跡方程是解析幾何的重要內容.求符合某種條件的動點的軌跡方程,其實質就是利用題設中的幾何條件,用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義,性質等基礎知識的掌握,還充分考查了直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數學運算素養(yǎng),因此這類問題成為高考命題的熱點,也是學生的一大難點.學生在解決解析幾何有關問題的時候,存在以下幾種問題: (1)識圖、作圖、用圖意識薄弱,解題時沒有養(yǎng)成作出草圖或相對準確圖像的意識;(2)平面幾何知識較弱,無法充分挖掘幾何條件,結合平面幾何知識,減少計算量.(3)對題目中條件的含義理解不清,無法選擇選擇簡便的方法實現幾何條件代數化或者代數條件幾何化;(4)對不同題型相應的方法選擇較盲目,多憑感覺而沒有養(yǎng)成解決一類問題的思考路線.

2 歸納知識結構

本節(jié)內容要求學生正確理解曲線與方程的概念,會用解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題,用方程的觀點實現幾何問題的代數化解決,并能根據所給條件選擇適當的方法.教學時可以借助思維導圖,由學生自主歸納求動點的軌跡方程的一般步驟及求動點軌跡方程的思維出發(fā)點和思考路線.

設計意圖: 經過一輪復習,高三學生應能明確求軌跡方程中“建系設點、列出條件、代入坐標、整理化簡、限制說明”五個基本步驟以及求曲線的軌跡方程的常用方法: 直接法、定義法、相關點法、參數法等.但學生對于方法的選擇更多只停留于利用方法簡單機械的操作,而對其背后的思維出發(fā)點還不甚清楚.通過知識歸納幫助學生進一步理順解題思路.

3 例題及變式練習

以高考題為例重點說明求點的軌跡方程問題的常見解法,再通過變式練習強化,達到能力遷移.教師在課前學案中要求學生先對例題進行求解,并嘗試一題多解,體會不同方法在求解時計算量的不同,作出優(yōu)劣判斷,體會圖形在解題中的作用.

圖1 例1 示意圖

圖2 例1 簡化圖

例1(2016 全國卷I理科數學第20 題節(jié)選) 設圓x2+y2+ 2x ?15 = 0 的圓心為A, 直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程.

設計意圖: 強調全國卷盡量不給圖的特點,要求學生通過審題自己作圖,結合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路.強化學生作圖能力.如圖1,一般學生在畫圖時也會畫出直角坐標系,本題中可引導學生作圖時先不畫直角坐標系如圖2,更易看出各個幾何量之間的代數關系.

表1: 常見曲線的特征

解題時從條件中判斷出點的軌跡為學過的圖形,則可先判定軌跡形狀,再通過確定相關曲線的要素(如表1 所示),求出曲線方程.解題時要從動點與定點的位置關系角度理解問題,去探究目標“證明為定值”的證明思路.定義是數學問題研究的起點,圓錐曲線的定義蘊含了豐富的幾何內涵,對問題的理解與思考具有深刻的意義,所以運用定義中蘊含的幾何特征進行解題,經常是有效的解題思路.分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義或特征,則可根據定義采用設方程,求方程系數得到動點的軌跡方程.

變式練習1: 點Q(6,0),點P在E的軌跡上移動,求線段PQ中點的軌跡方程.

變式練習2: 求CD中點的軌跡方程.

追問: 直線l與E的軌跡的交點記為G,H,求GH中點軌跡方程.

變式練習3: 已知點E(1,0),已知拋物線C:y2= 2x,過點E的動直線l與拋物線C交于A,B兩點,線段A,B的中點為M,求M的軌跡方程.

設計意圖: (1) 如果軌跡動點M(x,y) 依賴于另一動點P(a,b), 而P(a,b)又在某已知曲線上, 則可先列出關于x,y,a,b的方程組,利用x,y表示出a,b把a,b代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程(如變式1).(2)解題時有時要借助平幾中的有關定理和性質: 有時動點規(guī)律的數量關系不明顯,這時可借助平面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等,從而分析出其數量的關系,這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.(如變式2 可利用垂徑定理推出軌跡為圓進而利用圓的定義進行求解).(3)變式練習3 與前面不同,不易寫出動點M在移動時所滿足的幾何條件,但可以發(fā)現,動直線AB繞點E旋轉是引起動點移動的M原因,因此可以用直線AB斜率過渡,進行求解.

在求軌跡方程時,如果不容易得出動點應滿足的幾何條件,也無明顯的相關點,但卻較容易發(fā)現(或經分析可發(fā)現)該動點移動的原因是受到另一個變量(角度,斜率,比值,截距或時間等)的影響,即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們稱這個變量為參數,由此建立軌跡的參數方程,這種方法叫參數法(或設參消參法),如果需要得到軌跡的普通方程,只要消去參數即可.在選擇參數時,選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質,如時間,速度,距離,角度,有向線段的數量,直線的斜率及點的橫縱坐標等,也可以沒有具體的意義,還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響.

總之,在求動點的軌跡方程問題時,從以下兩方面進行思考:

(1)尋求約束動點移動的幾何條件.(2)尋求引起動點移動的原因,借助動因找到動點坐標之間的聯(lián)系.

例2(2016 全國卷Ⅲ文科數學第20 題節(jié)選)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.若?PQF的面積是?ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

圖3 例2 示意圖

圖4 例4 示意圖

設計意圖: 如圖3, 借助圖形分析,S?P QF=可以由 面積關系發(fā)現直線AB經過定點E(1,0)問題轉化為例題1 變式練習3.同樣的,在作圖時可先不畫y軸,減少干擾,便于觀察各幾何量直接的關系.

變式練習1: 設點A、B為拋物線C:y2=2x上除原點以外的兩個動點,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.

設計意圖: 本例中動點滿足的幾何條件無法直接代數化,可以尋求引起動點移動的原因.解法一以OA斜率為參數進行求解,解法二以AB斜率為參數進行求解,解法三借助幾何畫板進行演示,可以發(fā)現直線AB恒過拋物線的定點E(2,0),由OM⊥AB,得M在以OE為直徑的圓上(O點除外).

變式練習2: (2013年高考遼寧卷理科數學第20 題)如圖4 所示, 拋物線C1:x2= 4y,C2:x2=?2py(p ＞0),點M(x0,y0)在拋物線C2上, 過M作C1的切線, 切線為A,B(M為原點O時,A,B重合于O),當x0= 1?√時,切線MA的斜率為

(1)求p的值;(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程.

設計意圖: 再次鞏固參數法.明確當動點的幾何條件直接代數化存在困難時,可以借助因為動點移動的原因建立動點坐標之間的練習,從而解決問題.

4 強化作圖意識

具體操作: 教師課堂上注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖,示范指導如何結合作圖過程讀題、理解題意,如何將試題信息匯集于圖,如何用圖思考、發(fā)現問題解決的方法,并要求學生當堂將各例題及變式練習再作圖感悟,通過審題自己作圖,結合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路.

設計意圖: 幾何直觀是通過圖形的生動性與形象性直觀清晰地描述數學問題,分析數學問題,從而實現抽象思維與形象思維間的轉換,將某些復雜的數學問題簡單化,幫助人們解決數學問題.解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質,所以在處理解析幾何問題時,除了運用代數方程外,充分挖掘幾何條件,結合平面幾何知識,這往往能減少計算量.關注平面幾何知識方法與性質在問題轉化中的應用,關注幾何圖形(特別是三角形)相關方法在運算中的應用.數學試題中很多圖形性質就和“平幾”知識相關聯(lián),要抓住關鍵,適時引用,問題就會迎刃而解.另要解題時應留心失誤.在求軌跡方程中易出錯的是對軌跡純粹性及完備性的忽略,因此,在求出曲線方程的方程之后,應仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中,將其剔除(如例題1 及其變式練習1,例題2 的變式練習1均應注意排除個別點);另一方面,又要注意有無“漏網之魚”仍逍遙法外,要將其“捉拿歸案”.求出軌跡后,一般畫出所求軌跡,這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分.

5 教學實施建議

(1)重視直觀圖形的教學

希爾伯特說:“要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題, 學會用圖形去發(fā)現解決問題的思路.”直觀想象在數學課堂教學實踐中扮演重要角色,教師應重視基本圖形的教學,認為課堂上應給學生提供探究的機會,讓學生在探索幾何圖形的結構特征中形成幾何直觀,體會直觀抽象;通過圖形、符號語言的表達與交流發(fā)展學生幾何直觀和空間想象、合情推理的能力;通過畫圖感悟、探究本質、構建模型來凸顯課堂教學結構;通過培養(yǎng)學生的主動用圖意識,錘煉學生畫圖技能,提高學生識圖能力,培養(yǎng)學生以形助數能力,進而提高學生幾何直觀素養(yǎng).

(2)合理設置微專題

教師要善于從學生學情出發(fā),根據學習需要,以具體知識或方法為中心,通過一條清晰的主線將問題串聯(lián)起來,圍繞重點和關鍵點設計教學,突出知識或方法間的相關性,或者是整合學生的易錯點和難點進行微專題教學;教學活動重心應當從教轉到學,加強學法指導,要幫助學生將問題表征、圖式構建與學生思維有機結合.重視直觀圖形,通過設置直覺想象意境,促進學生主動參與,探索數學問題本質,由學生體會用圖形描述、理解、解決數學問題的過程,積累活動經驗,在潛移默化中提升直觀想象素養(yǎng).