利用超高斯光模擬方勢壘

李佳欣,董光炯

（華東師范大學(xué) 精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室, 上海 200241）

0 引 言

量子隧穿效應(yīng)是指即使粒子動能低于勢壘高度仍能以一定概率穿過勢壘的現(xiàn)象, 這是粒子波動性的直接體現(xiàn). 1927年, Hund[1]首次注意到隧穿現(xiàn)象的幾率問題; 同年, Nordheim[2]應(yīng)用薛定諤方程計算了電子從多種不同表面反射的反射系數(shù). 隨后隧穿效應(yīng)被廣泛應(yīng)用于原子分子物理、核物理和固體物理的研究. 例如, Oppenheimer[3]根據(jù)隧穿計算了外場作用下氫原子的電離率; Gamow, Gurney和Condon用隧穿來解釋α粒子衰變[4-6]; Millikan等[7-8]用隧穿來解釋金屬表面的場致發(fā)射; Bardeen等[9]用隧穿來研究電子輸運現(xiàn)象. 在這些理論研究基礎(chǔ)之上, 基于量子隧穿效應(yīng)的各種器件應(yīng)運而生,如1957年Esaki根據(jù)半導(dǎo)體中的帶間隧穿現(xiàn)象發(fā)明了隧穿二極管[10], 1982年Binnig等[11-12]研制了掃描隧道顯微鏡.

方勢壘和雙方勢壘的散射問題[13]是量子隧穿的理論研究中重要的解析可解模型. 方勢壘散射的解析解不僅給出了粒子反射、透射率, 而且是進(jìn)一步研究量子力學(xué)中的時間問題(比如隧穿時間問題)的基礎(chǔ)[14-20]. 在對雙方勢壘的研究中, Tsu 等[21]、Chang等[22]發(fā)現(xiàn)了共振隧穿的現(xiàn)象. 在實驗上實現(xiàn)有質(zhì)粒子(如電子、原子)的方勢壘, 對于研究量子隧穿問題具有重要的意義.

激光操控是原子分子氣體操控的重要實驗手段. 近年來激光光束整形技術(shù)[23-25]快速發(fā)展, 進(jìn)一步豐富了原子分子光力操控技術(shù)[26-28], 其中的一個重要的進(jìn)展是能制備高質(zhì)量的超高斯光束[29-35]. 超高斯光又稱平頂光, 它的光強在中心近似均勻, 而在離開光斑區(qū)域則迅速下降為零. 超高斯光的光強空間分布的平頂特征為實現(xiàn)量子力學(xué)中方勢壘、方勢阱等提供了可能. 文獻(xiàn)[36]首先提出利用超高斯光和冷分子相互作用的方勢阱實現(xiàn)分子鏡, 為物質(zhì)波操控以及量子力學(xué)理想模型的實驗研究提供了一條新途徑. 隨后, 在超冷原子隧穿問題的研究中, 超高斯光和原子相互作用的電偶極勢能被視為實現(xiàn)方勢壘的重要手段[37-38]. 然而, 在這些超冷原子研究中并沒有真正研究超高斯光對超冷原子的散射問題,尤其是沒有處理不同階數(shù)的超高斯光對隧穿的影響.

本文中研究利用了超高斯光實現(xiàn)方勢壘的理論途徑, 一是利用具有大藍(lán)失諧超高斯光和原子相互作用勢能實現(xiàn), 二是利用電子在超高斯光場中受到的有質(zhì)動力勢能[39-40]實現(xiàn). 此外, 還進(jìn)一步研究了超高斯勢壘的空間形狀對隧穿的影響, 發(fā)現(xiàn)超高斯光的階數(shù)需要大于20才能很好模擬方勢壘的散射. 最后, 研究了雙超高斯勢壘模型中的共振隧穿. 本文工作對于用超高斯光模擬量子力學(xué)基本模型的實驗研究具有參考價值.

1 一維超高斯勢壘散射的理論模型

以光束傳播的方向為z方向, 一束超高斯光在焦平面的光強分布可以描述為[30-32]

其中,wx和wy分別是超高斯光束在x、y方向的e?1光斑半徑,m、n分別是超高斯光的階數(shù). 當(dāng)超高斯光的階數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時, 超高斯光的光束在和的區(qū)域, 光強近似等于I0, 而一旦離開此區(qū)域光強則以超指數(shù)形式減小. 因此, 超高斯光束又稱為平頂光束. 目前實驗上, 超高斯的階數(shù)可以達(dá)到200[30]. 這些技術(shù)進(jìn)步使得超高斯光的平頂特征非常適合于構(gòu)造量子力學(xué)中的理想模型, 如方勢阱和方勢壘.

本文現(xiàn)在研究用超高斯光構(gòu)造一個方勢壘的可能途徑.

1.1 利用遠(yuǎn)離共振的藍(lán)失諧光和原子相互作用形成的勢能模擬方勢壘

首先研究超高斯光和超冷原子的相互作用. 考慮超高斯光的頻率遠(yuǎn)大于電子躍遷頻率(遠(yuǎn)離電子共振躍遷的藍(lán)失諧), 則可以忽略光和原子相互作用的自發(fā)輻射. 在這種情況下, 光和原子相互作用是電偶極勢能為主, 其電偶極勢能為[41]

其中,U0=αI0,α是原子極化率.

考慮超冷原子束從x軸方向入射. 如圖1所示, 假設(shè)wy遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子束的寬度, 則

圖1 超高斯勢壘示意圖Fig. 1 Diagram of a super-Gaussian barrier

式中,M為入射原子的質(zhì)量,E為入射原子的能量. 當(dāng)超高斯光的階數(shù)足夠大, 勢壘(2)可以近似為方勢壘, 如圖2所示.

圖2 一維超高斯勢壘散射模型示意圖Fig. 2 Schematic diagram of a one-dimensional super-Gaussian barrier scattering model

1.2 超高斯光和電子束的有質(zhì)動力學(xué)勢模擬方勢壘

考慮電子束從x軸正方向入射, 假設(shè)電子束寬度足夠?qū)? 可以近似為平面波, 同時電子束y方向的寬度又遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于wy, 則超高斯光和電子束相互作用的有質(zhì)動力學(xué)勢能為[42]

其中,e是單位電子電荷,ε0是真空介電常數(shù),Me是電子質(zhì)量,ω是光頻率,c是真空中光速. 由于光頻率巨大, 在公式(5)等號右端根號中第二項通常遠(yuǎn)小于1, 因此式(5)可化為

其中,

可見超高斯光和電子束的有質(zhì)動力學(xué)勢能在超高斯光階數(shù)足夠時可以模擬方勢壘, 電子被超高斯光散射后的系統(tǒng)同樣可以被方程(4)所描述.

2 超高斯勢壘形狀對方勢壘模擬的影響研究

圖2顯示超高斯光的階數(shù)m越大, 勢壘的形狀越接近一個寬度為 2wx, 高為U0的方勢壘US, 其形式為

其中,wS=2wx是勢壘寬度. 對于寬度為wS、勢壘高度為U0的一維方勢壘模型, 能量為E的粒子的透射系數(shù)的解析形式為[43]

對于超高斯勢壘的散射問題, 我們求解方程 (4). 這個方程不能解析求解, 我們利用數(shù)值求解. 在遠(yuǎn)離超高斯勢壘的左側(cè), 既有入射波也有反射波, 波函數(shù)的形式可寫為

在遠(yuǎn)離超高斯勢壘的右側(cè), 只有透射波, 波函數(shù)的形式可寫為

式中,Ae?ikx和Beikx分別表示反射波和透射波. 利用邊界處波函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件采用有限差分法[44]可數(shù)值求解方程 (4)的系數(shù)A,B以及波函數(shù)Ψ(x), 則透射系數(shù)為

表示粒子透過勢壘的幾率.

下面比較不同階數(shù)的超高斯勢壘與方勢壘的透射系數(shù). 在數(shù)值計算中, 取wx=3λ0,U0分別為0.01ER和 0.1ER, 其中λ0為光波長,為反沖動能,h為普朗克常數(shù). 改變?nèi)肷鋭幽蹺和階數(shù)m, 得到不同的透射系數(shù)如圖3a)和3c)所示. 當(dāng)U0=0.01ER時, 在入射動能小于1/5勢能處透射率基本為0; 在入射動能大于1/5勢能處, 透射系數(shù)逐漸增大; 當(dāng)入射動能等于勢能時, 透射率可達(dá)0.25, 這與經(jīng)典粒子穿越勢壘有很大區(qū)別. 當(dāng)U0=0.1ER時, 在入射動能小于4/5勢能處透射率基本為0; 在入射動能大于4/5U0勢能處, 透射系數(shù)逐漸增大; 當(dāng)入射動能等于勢能時, 透射率最高僅達(dá)到0.07, 可見勢壘高度的增加使透射率大大降低. 從圖中可以看到, 高階的超高斯勢壘和方勢壘的透射系數(shù)十分相近, 為了更好地觀察, 我們研究了兩者透射系數(shù)相對差δT=|TSG?TS|隨入射動能變化的趨勢(這里為了區(qū)別不同的勢壘對應(yīng)的透射率, 我們對透射系數(shù)加下標(biāo)：下標(biāo) S 對應(yīng)方勢壘; 下標(biāo)SG對應(yīng)超高斯勢壘). 如圖3b)和3d)所示, 超高斯勢壘的階數(shù)越高, 其透射系數(shù)越接近方勢壘透射系數(shù),即這個超高斯勢壘的性質(zhì)更接近方勢壘.

圖3 透射系數(shù)隨入射能量的變化Fig. 3 Transmission coefficient as a function of incident energy

接下來進(jìn)一步探究階數(shù)與模擬效果之間的關(guān)系. 給定一個m階超高斯勢壘, 我們在入射能量介于0到U0之間均勻取N個入射能量E1,E2,···,EN?1,EN, 然后計算相應(yīng)的透射率(k=1,2,···,N). 對于方勢壘在入射能量Ek的透射率記為TS,k. 我們定義m階超高斯勢壘的模擬方勢壘的平均偏差為

如圖4所示, 隨著階數(shù)m的增大,迅速衰減, 由此可見, 在m<100 時增大階數(shù)可使模擬質(zhì)量得到快速提升. 當(dāng)m=20 時,已經(jīng)接近10–3, 此時超高斯勢壘可以較好地模擬方勢壘.

圖4 (隨階數(shù) m 的變化Fig. 4as a function of the order m

3 雙超高斯勢壘中共振隧穿現(xiàn)象的研究

粒子入射到有多個勢壘的勢場時會在勢壘間發(fā)生多次反射. 當(dāng)入射能量和勢壘間的某個模式發(fā)生共振, 透射率會等于1, 這個現(xiàn)象就是量子隧穿中重要的共振隧穿現(xiàn)象. 因此我們進(jìn)一步研究了雙超高斯勢壘的共振隧穿現(xiàn)象. 這個雙超高斯勢壘的表達(dá)式為

其示意圖如圖5所示, 其中d是兩個勢壘中心之間的距離. 在數(shù)值計算中, 我們?nèi)0=0.01ER,wx=3λ0,d分別取 10λ0和 15λ0, 研究了不同間距的雙超高斯勢壘透射率隨入射動能的變化. 透射率隨入射能量變化的數(shù)值計算結(jié)果如圖6所示, 圖6a)和圖6b)分別對應(yīng)勢壘間距等于 10λ0和 15λ0的情況. 圖6顯示出共振隧穿現(xiàn)象. 共振峰的個數(shù)可以通過調(diào)整勢壘間距來控制. 共振峰的細(xì)節(jié)在圖中通過小圖顯示. 對于不同階數(shù)的超高斯光, 共振位置不一樣. 隨著階數(shù)的增加, 共振峰對應(yīng)的入射能量也增加.

圖5 雙超高斯勢壘散射模型示意圖Fig. 5 Schematic model for double super-Gaussian barrier scattering

圖6 透射率隨入射能量的變化Fig. 6 Transmittance as a function of incident energy

4 結(jié) 論

本文從理論上研究了用超高斯光束模擬方勢壘的問題. 首先分別利用具有大藍(lán)失諧超高斯光和原子相互作用勢能以及超高斯光和電子的有質(zhì)動力勢能實現(xiàn)超高斯形勢壘, 再進(jìn)一步研究了超高斯勢壘的空間形狀對隧穿的影響, 發(fā)現(xiàn)超高斯光的階數(shù)在大于20時即可較好模擬方勢壘. 隨著超高斯光場階數(shù)m的增大, 提高階數(shù)仍能提升模擬質(zhì)量, 但變化幅度較小, 性價比不高. 最后, 研究了入射粒子入射到雙超高斯勢壘的共振隧穿現(xiàn)象, 本文的數(shù)值計算表明, 通過調(diào)整勢壘之間的距離可以控制共振峰的位置以及個數(shù). 本文的研究結(jié)果對使用超高斯光模擬量子力學(xué)中方勢壘模型的實驗研究具有參考價值, 可以用于研究量子力學(xué)的基本問題, 比如隧穿時間問題[14-20]. 目前對于隧穿時間的實驗研究[18-20],都用零質(zhì)量的光子, 它受到材料吸收的影響[45-46]. 而采用原子或者電子作為入射粒子, 可以研究有質(zhì)量粒子的隧穿時間問題. 在目前的研究中, 本文只考慮了單粒子的隧穿問題, 進(jìn)一步的研究可以考慮多粒子體系, 研究入射粒子的量子統(tǒng)計性質(zhì)對隧穿的影響, 比如對于費米子, 入射粒子數(shù)目的奇偶性有關(guān)的隧穿現(xiàn)象值得進(jìn)一步研究[47].