一階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析及其仿真測(cè)試

付 揚(yáng)，宋 磊

（1.北京工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，北京100048；2.安標(biāo)國(guó)家礦用產(chǎn)品安全標(biāo)志中心，北京100013）

0 引 言

含有動(dòng)態(tài)元件電容或電感的一階電路，換路后一般要經(jīng)歷暫態(tài)過程才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。在實(shí)際工程中，認(rèn)識(shí)和掌握暫態(tài)過程這一物理現(xiàn)象的規(guī)律具有很重要的意義。

傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室研究一階電路用雙蹤示波器觀測(cè)，存在以下弊端：其一是不能同時(shí)觀測(cè)電阻和電容輸出波形，因?yàn)樾枰獙⒂^測(cè)的元件與電源共地，所以需要重新改接電路分別觀測(cè)，同時(shí)元件參數(shù)變化時(shí)，也要重新改變電路，使得操作繁瑣；其二是不能將不同輸出、不同元件參數(shù)的波形集于一體觀測(cè)，使得對(duì)一階電路暫態(tài)過程規(guī)律顯示不夠全面直觀和清晰；其三是對(duì)于正弦激勵(lì)，示波器觀測(cè)不到暫態(tài)過程，使得對(duì)產(chǎn)生的過電壓缺乏認(rèn)識(shí)，從而不能防范其危害[1]。

Multisim仿真是對(duì)電子電路設(shè)計(jì)、電路功能測(cè)試的現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)手段，其提供了功能全面、高效、一體化的設(shè)計(jì)環(huán)境，方便完成電路設(shè)計(jì)、多種電路仿真分析和功能測(cè)試，如同真實(shí)實(shí)驗(yàn)環(huán)境一樣；而分析功能之全是真實(shí)實(shí)驗(yàn)環(huán)境所不及的，可以非常方便有效地完成對(duì)電路的設(shè)計(jì)和仿真分析[2]。

將Multisim用于一階RC電路暫態(tài)過程中，解決了實(shí)驗(yàn)室研究的弊端。利用Multisim參數(shù)掃描分析的功能，自定義觀測(cè)所有元件的輸入/輸出波形，并同時(shí)可以根據(jù)R，C參數(shù)變化分析對(duì)輸出的影響；利用其瞬時(shí)分析仿真功能，實(shí)現(xiàn)了正弦激勵(lì)下暫態(tài)過程的測(cè)試，使得實(shí)際應(yīng)用中合理選擇參數(shù)，規(guī)避過電壓的發(fā)生，同樣可以分析RL電路過電流的發(fā)生，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)電路設(shè)計(jì)和應(yīng)用的高可靠性[3]。

1 一階RC電路理論分析

1.1 一階RC電路的求解

一 階RC電路如 圖1所示，t=0時(shí)開關(guān)K閉合，根 據(jù)KVL和電容的特性方程，可得到換路后的RC電路的一階微分方程：

圖1 一階RC電路

該微分方程的解在t≥0時(shí)，由特解RTT和齊次微分方程的通解組成u′C(t)，通解又稱暫態(tài)解，即其解為uC(t)=u′C(t)+u″C(t)=uC′(t)+Ae-tτ，通解中的積分常數(shù)A可由初始條件確定，若uC(0+)表示電容電壓換路后的初始值，u′C(0+)表示特解的初始值，時(shí)間常數(shù)為τ=RC，得A=uC(0+)-u′C(0+)，因此有微分方程（1）的解為：

若電源為恒定激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)解為u′C(t)=u′C(0+)=uC(∞)是一常數(shù)，由式（2）得：

即需要知道三個(gè)要素：初始值uC(0+)、穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、時(shí)間常數(shù)τ=RC。

若正弦激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)解為正弦穩(wěn)態(tài)分量，u′C(t)=uC(∞)，由式（2）得：

則需在前面三個(gè)要素的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)要素：穩(wěn)態(tài)解[4]的初始值u′C(0+)。

1.2 方波激勵(lì)下的響應(yīng)分析

脈沖信號(hào)和正弦信號(hào)是動(dòng)態(tài)電路常用的激勵(lì)。觀測(cè)脈沖信號(hào)作用下的響應(yīng)時(shí)，微分電路和積分電路是兩種典型電路。

1.2.1 微分電路

圖1 中方波信號(hào)源周期為T，當(dāng)t?T2時(shí)，暫態(tài)過程快，此時(shí)電容器充放電快，電壓很快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值uS，即uC≈uS，則即電阻輸出電壓與激勵(lì)的微分成正比，此時(shí)電阻電壓出現(xiàn)尖峰脈沖信號(hào)，電容很快充放電結(jié)束。

1.2.2 積分電路

當(dāng)t?T2時(shí)，暫態(tài)過程緩慢，電容器充放電慢，即uR≈uS，則，即電容輸出電壓與激勵(lì)的積分成正比，電容輸出電壓為三角波，t越小，上升或下降斜率越大[5]。

1.3 正弦激勵(lì)下的響應(yīng)分析

設(shè)uS=Usinsin(ωt+φS)，正弦電路接通后，一般要經(jīng)過4τ～5τ的時(shí)間后，暫態(tài)解基本消失，電路可進(jìn)入正弦穩(wěn)態(tài)，進(jìn)入正弦穩(wěn)態(tài)后，電路所有電壓、電流均受正弦交流電源的控制，均為與電源同頻率正弦波，故穩(wěn)態(tài)解可用相量法求解[6]。

電容電壓相量為：

由上式得電容電壓正弦穩(wěn)態(tài)的幅值和初相：

所以正弦激勵(lì)的正弦穩(wěn)態(tài)分量為u′C(t)=UCmsin(ωt+φC)，代入方程（4）得t≥0時(shí)，微分方程（1）的解為：

從式（7）可以看出，暫態(tài)解與電壓初始值、信號(hào)源初相以及電路參數(shù)RC有關(guān)，t越大，相同時(shí)間暫態(tài)解的值越大。當(dāng)電路參數(shù)一定，在一定條件下將出現(xiàn)過電壓情況的暫態(tài)過程。下面根據(jù)電容的初始值不同，分析式（7）暫態(tài)過程的過電壓：

1）若u(0+)=0 V，φC=±90°，此時(shí)由式（6）得電源初相如式（8）：

由式（7）得電路的響應(yīng)：

由式（9）可見暫態(tài)過程將出現(xiàn)過電壓現(xiàn)象，過電壓將發(fā)生在接近半周期處，其值還與電路的時(shí)間常數(shù)有關(guān)[7]。

2）若u(0+)=UCm，φC=-90°，則由式（6）得φS=-90°+arctan(ωRC)，由式（7）t≥0得：

可見同樣在接近半周期處，將出現(xiàn)過電壓。

2 方波激勵(lì)下的暫態(tài)過程仿真測(cè)試

在Multisim下構(gòu)建圖1電路，取方波激勵(lì)峰-峰值為UP-P=-3～3 V，頻率f=1 kHz，周期為T=1ms。分別選擇t?T2和t?T2分析電阻和電容輸出仿真波形，研究暫態(tài)過程。

2.1 微分電路仿真測(cè)試

取t?T2，在方波的正值、負(fù)值期間，都相當(dāng)于是在直流恒定電源作用下的一階電路，由于時(shí)間常數(shù)小，電容器充電過程相當(dāng)于在恒定電源3 V作用下，由-3 V充電到3 V；電容器放電過程相當(dāng)于在恒定電源-3 V作用下，由3 V放電到-3 V。充電暫態(tài)過程可由三要素式（3）計(jì)算充電時(shí)間為τ時(shí)的電容電壓，計(jì)算得uC(τ)=0.792 V，據(jù)此可由仿真確定時(shí)間常數(shù)τ。

選擇Multisim下參數(shù)掃描分析仿真（Parameter Sweep），并設(shè)定相應(yīng)選項(xiàng)，結(jié)束時(shí)間選2 ms，分析時(shí)電容參數(shù)固定在3 300 pF、設(shè)定電阻元件參數(shù)變化分別為10 kΩ、30 kΩ時(shí)掃描，仿真Output選擇為觀測(cè)信號(hào)源、電阻電壓和電容電壓波形。實(shí)現(xiàn)參數(shù)掃描仿真波形如圖2所示，圖中波形為：①方波輸入；②③電阻為10 kΩ、30 kΩ時(shí)電阻輸出；④⑤電阻為10 kΩ、30 kΩ時(shí)電容uC輸出。

圖2 電阻參數(shù)掃描時(shí)所有輸入/輸出電壓波形

由圖2可以看出，任何時(shí)刻都滿足KVL，即在10 kΩ時(shí)②+④的波形，在30 kΩ時(shí)③+⑤均等于輸入①的波形。②③電阻電壓為激勵(lì)的微分，在±3 V換路瞬間發(fā)生躍變，出現(xiàn)為尖峰脈沖，電阻越小，波形越尖銳。④⑤電容輸出在換路瞬間無躍變，充放電分別為-3 V→3 V和3 V→-3 V，t越小，上升或下降越快，越接近于激勵(lì)方波，可見其仿真與理論分析一致[8]。

將uC波形拉開取uC(τ)=0.792 V時(shí)，即測(cè)量對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)τ。

2.2 積分電路仿真測(cè)試

方波信號(hào)源參數(shù)同上，積分電路選擇參數(shù)若為R=30 kΩ，C=0.33μF，τ=RC=9.9 ms，電容電壓輸出為激勵(lì)的積分。

用Multisim參數(shù)掃描仿真，電容不變，電阻分別為10 kΩ和30 kΩ掃描，輸出波形如圖3所示，①②分別為電阻10 kΩ、30 kΩ時(shí)電容輸出，可以看出，τ越小，積分速度越快，上升和下降越陡，與理論分析一致[9]。

圖3 電阻參數(shù)掃描時(shí)電容輸出波形

由圖3可見，Multisim仿真功能強(qiáng)大，同時(shí)可觀測(cè)電路中電源輸入、各個(gè)元件輸出及不同參數(shù)的動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)，全面直觀地顯示了脈沖激勵(lì)下暫態(tài)過程的規(guī)律。

3 正弦激勵(lì)下的暫態(tài)過程仿真測(cè)試

在Multisim下構(gòu)建圖1電路中，信號(hào)源取正弦信號(hào)，其參數(shù)為Usin=30 V，f=1 kHz，則激勵(lì)為uS=30 sin(ωt+φS)V。選元件參數(shù)R=2 kΩ，C=1μF，由此得時(shí)間常數(shù)為τ=2 ms，由前面理論分析代入式（5）得電容電壓穩(wěn)態(tài)幅值UCm=2.38 V。

在Multisim中選擇瞬時(shí)分析（Transient Analysis），在Analysis Parameters選項(xiàng)中的Initial Conditions下拉菜單中，選擇User-defind，每次仿真分析前，要設(shè)定電容器的初始條件[10]，下面為過電壓仿真測(cè)試。

1）若uC(0+)=0 V，φC=±90°，由式（8）、式（9）得信號(hào)源初相和電容電壓：

uC(t)是兩個(gè)倒相的正弦函數(shù)分別與指數(shù)函數(shù)的疊加。

當(dāng)φC=90°,φS=175.45°，采用Multisim的Transient Analysis實(shí)現(xiàn)仿真，結(jié)果如圖4所示。由圖4游尺讀數(shù)，當(dāng)t=0.458 51 ms時(shí)，即接近半個(gè)周期時(shí)，電容電壓為-4.175 7 V，在近似5τ時(shí)，暫態(tài)過程結(jié)束，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值2.313 4 V，過電壓最大值是穩(wěn)態(tài)時(shí)幅值的1.8倍。當(dāng)理論 計(jì) 算 時(shí)，取t=0.458 51ms，uC(0.458 51)=-4.19 V。同理可得φC=-90°,φS=-4.55°仿真，其與圖4波形倒相，取t=0.458 51 ms，uC=4.19 V?？梢姺抡媾c理論一致。

圖4 當(dāng)uC(0+)=0 V，φS=175.45°時(shí)過電壓測(cè)試

2）取u(0+)=UCm，φC=-90°，此時(shí)可以由式（6）得φS=-4.55°，由 式（10）可 得uC(t)=2.38 sin(ωt-90°)+2×2.38e-tτ，仿真結(jié)果如圖5所示，由仿真可見在接近半周期處，即游尺讀數(shù)在t=0.450 928 4 ms時(shí)出現(xiàn)最大值6.067 2 V，超出了穩(wěn)態(tài)幅值的2倍多，在近似5τ時(shí)，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值2.371 3。當(dāng)理論計(jì)算時(shí)，取t=0.450 928 4 ms，得uC(0.451)=2.549UCm=6.067 V，可見仿真結(jié)果與理論一致。

圖5 u(0+)=UCm，φS=-4.55°過電壓測(cè)試

由圖5可知，Multisim仿真實(shí)現(xiàn)了正弦激勵(lì)下的暫態(tài)過程測(cè)試，清晰可見過電壓的發(fā)生，當(dāng)電路參數(shù)和初始值一定時(shí)，過電壓發(fā)生與初相φS有關(guān)，不同時(shí)刻合上開關(guān)，信號(hào)源初相φS會(huì)不同，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，會(huì)發(fā)生過電壓，實(shí)際工程中應(yīng)予以規(guī)避。

4 結(jié) 語

通過現(xiàn)代Multisim電子電路仿真技術(shù)研究一階動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)過程，可以看到Multisim仿真解決了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室研究的弊端，仿真研究比實(shí)際測(cè)試的功能齊全、測(cè)試方便，可以全面直觀地研究一階電路暫態(tài)過程的變化規(guī)律。該一階電路的仿真研究可以使得更加有效利用暫態(tài)過程的變化特性，如應(yīng)用微分、積分電路獲得多種需要的波形；正弦激勵(lì)下的暫態(tài)過程測(cè)試彌補(bǔ)了實(shí)驗(yàn)室不能測(cè)試缺陷，可以有效避免過電壓產(chǎn)生的危害，這在工程上有著十分重要的意義，如在接通空載電纜時(shí)，應(yīng)避免過電壓的產(chǎn)生。

仿真結(jié)果表明，Multisim對(duì)一階電路的研究準(zhǔn)確全面、方便直觀、效果理想，Multisim仿真對(duì)電路設(shè)計(jì)和測(cè)試提供了一種有效的方法和手段。