橫向約束瞬變電磁擬三維反演

楊云見 王緒本 劉雪軍 何展翔 米曉利 唐必晏

(①成都理工大學地球物理學院，四川成都 610059； ②東方地球物理公司綜合物化探處，河北涿州 072751；③南方科技大學前沿與交叉科學研究院，廣東深圳 518055)

0 引言

瞬變電磁法(Transient Electromagnetic Me-thod，TEM)是一種重要的可控源電法勘探方法，該方法采用不接地回線或接地導(dǎo)線向地下發(fā)射脈沖電流，在一次場的間歇期，觀測大地中的感應(yīng)電磁場(通常觀測垂直方向的感應(yīng)電動勢)，也稱為二次場。通過研究二次場隨時間和空間的變化規(guī)律，分析大地的電性分布特征。因采用人工源，并且觀測二次場，該方法具有數(shù)據(jù)精度高、不受一次場影響等優(yōu)點，已被廣泛地應(yīng)用于工程、水文、環(huán)境、資源等勘探領(lǐng)域[1-5]。

盡管當前TEM數(shù)據(jù)的二維和三維正反演解釋取得了巨大進步[6-11]，然而由于反演計算量大，需要大規(guī)模的計算平臺，難以普遍應(yīng)用于實際資料[12-16]，故一維反演仍是目前實際資料處理解釋主要手段之一[17-21]。然而，TEM數(shù)據(jù)的一維反演存在反演剖面連續(xù)性差的問題，且數(shù)據(jù)記錄周期的晚期信號弱，單點反演的深部數(shù)據(jù)受噪聲影響大。

基于大地介質(zhì)電性連續(xù)變化的特點，Auken等[22]首先將橫向約束反演方法用于直流電電磁數(shù)據(jù)反演；Vallée等[23]將橫向約束方法應(yīng)用于時間域航空電磁數(shù)據(jù)的反演，有效改善了反演效果；蔡晶等[15]、殷長春等[16]分別將該方法用于航空電磁數(shù)據(jù)頻域和時域反演，明顯改善了整個反演剖面的連續(xù)性，提高了解釋結(jié)果的準確性。

傳統(tǒng)的橫向約束反演方法只沿測線方向進行橫向約束。對于三維測網(wǎng)的觀測數(shù)據(jù)，若只沿測線方向進行橫向約束而不考慮相鄰測線之間構(gòu)造的關(guān)聯(lián)性，會大大降低地質(zhì)解釋的可靠性。為此，Viezzoli等[24]提出了基于空間約束的航空電磁數(shù)據(jù)反演方法，即不僅沿測線方向，也垂直于測線方向施加橫向約束。殷長春等[25]將空間約束用于航空電磁擬三維反演，通過理論和實測數(shù)據(jù)測試證明了該方法適合求解多測線航空電磁數(shù)據(jù)的最優(yōu)化反演。

本文從橫向約束原理出發(fā)，將橫向約束引入地面三維測網(wǎng)的TEM數(shù)據(jù)的一維反演解釋，給出了一種距離加權(quán)進行相鄰點橫向約束的擬三維反演方法。該方法能有效地實現(xiàn)橫向約束，保證相鄰測點模型的連續(xù)性，且不要求測網(wǎng)是嚴格規(guī)則的，實現(xiàn)了一般測網(wǎng)條件下的橫向約束擬三維反演。模型正演數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)測試結(jié)果驗證了該方法的正確性、有效性和實用性。

1 橫向約束擬三維反演方法

傳統(tǒng)的橫向約束擬二維反演方法首先集成剖面數(shù)據(jù)，再沿測線施加橫向約束，同時反演測線上多測點的地電參數(shù)[16]。該方法的實質(zhì)是把相鄰測點地電模型的差異作為約束項加入目標函數(shù)，對模型進行橫向平滑處理，以保證相鄰測點間模型的連續(xù)性，進而壓制因為噪聲導(dǎo)致的單個測點地電參數(shù)突變。TEM勘探中，測點設(shè)計常采用測網(wǎng)方式，且通常測點分布是非完全規(guī)則的。基于橫向約束的原理，本文采用一種距離加權(quán)相鄰點進行橫向約束的擬三維反演方法，即：對所有測點數(shù)據(jù)進行集成，對所有測點均采用半徑r之內(nèi)、距其最近的p個測點進行距離加權(quán)橫向約束，反演測點處的地電模型，實現(xiàn)一種廣泛適用的TEM數(shù)據(jù)橫向約束擬三維反演。

距離加權(quán)相鄰點橫向約束的原理如圖1所示。圖中測點按順序編號，各測點的反演由距其最近的p個點進行橫向約束。例如，33號測點由距其最近的24、34、25、32號測點(此時p=4)進行橫向約束，這4個測點分別稱為33號點的第1～4號相鄰點。

圖1 距離加權(quán)相鄰點橫向約束原理示意圖

設(shè)三維測網(wǎng)有l(wèi)個測點，按一定順序進行編號，并設(shè)每個測點有k個衰減延時(實際各個測點的延時數(shù)可以不一致，此處為了表述方便，都設(shè)為k)。這l個測點的電磁數(shù)據(jù)可表示為

d=[d11,d12,…,d1k,…,di1,di2,…,dik,…,dl1,dl2,…,dlk]T

(1)

假設(shè)反演模型為n層，只考慮各層的電導(dǎo)率σ，則l個測點的總模型可表示為

m=[σ11,σ12,…,σ1n,…,σi1,σi2,…,σin,…,σl1,σl2,…,σln]T

(2)

以各測點為中心，在橫向約束半徑r內(nèi)搜索距其最近的p個測點(如果數(shù)據(jù)點不足，允許少于p個測點)，并分別記錄這p個點的序號及其距離。

基于吉洪諾夫正則化反演思想，反演目標函數(shù)中包含數(shù)據(jù)擬合項及正則化項。將橫向約束作為正則化項加入反演目標函數(shù)，依次將各測點與其第1～p個相鄰點的模型差異加入目標函數(shù)，再將各測點模型的縱向粗糙度加入目標函數(shù)，由此得到橫向及縱向上均施加了平滑約束的反演目標函數(shù)。求解該反演目標函數(shù)，即可得到擬三維反演結(jié)果。距離加權(quán)橫向約束的擬三維反演目標函數(shù)可寫為

(3)

式中：F為正演算子；C為協(xié)方差矩陣，用于基于數(shù)據(jù)誤差對觀測數(shù)據(jù)擬合進行加權(quán)；kv、kh分別為縱向和橫向約束因子；Ev為各測點模型的縱向一階差分矩陣；Eh,i為各測點第i相鄰點橫向約束一階差分矩陣(若某測點的第i相鄰點不存在時，Eh,i中對應(yīng)于該測點的行元素全為零)；Di為第i相鄰點橫向約束距率加權(quán)矩陣；Evm和Eh,im分別表示所有測點對應(yīng)模型的縱向粗糙度及其第i個相鄰點的橫向粗糙度。Ev、Eh,i及Di可分別表示為

Ev=

(4)

(5)

(6)

式中rl,i表示第l個測點與其第i個相鄰點的距離。在實際數(shù)據(jù)處理過程中，需要設(shè)定一個最小距離r0，當rl,i﹤r0時，用r0代替。式(3)中依次加入了各測點與其相鄰p個測點地電模型的差異對模型進行橫向約束，求該目標函數(shù)的極小，即能得到橫向平滑約束的最小二乘解，從而實現(xiàn)了橫向約束擬三維反演。

式(3)中的縱向約束及橫向約束項為反演目標函數(shù)的平滑正則化項，根據(jù)吉洪諾夫正則化的思想，縱向約束因子kv及橫向約束因子kh可依據(jù)工區(qū)內(nèi)地層的縱向和橫向變化特征初選，在保證數(shù)據(jù)擬合的前提下，以后驗方式選擇合理的值。

由于各測點都選取相鄰測點進行橫向約束，該方法不要求測網(wǎng)嚴格規(guī)則，同時對各測點的排序也不做要求，具有廣泛的適應(yīng)性。此外，該方法同樣適用于二維數(shù)據(jù)的反演，此時該方法即為常規(guī)的橫向約束擬二維反演(LCI)。

2 橫向約束擬三維反演目標函數(shù)的求解

高斯—牛頓法具有迭代穩(wěn)定、收斂快的特點，因此本文采用高斯—牛頓迭代法求解式(3)中橫向約束擬三維反演目標函數(shù)的極小。

設(shè)m0為模型初值，Δm為模型修正量，將F在m0處一階展開，目標函數(shù)對Δm求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得到高斯—牛頓法模型修正量的求解式為

(7)

式中J為各測點正演函數(shù)與相應(yīng)模型雅可比矩陣的集成，即順序地以各測點一維雅可比矩陣為塊的分塊對角矩陣，該矩陣僅包含l×k×n個非零元素。

由式(7)可求解Δm,得到修正后的模型m=m0+Δm，再把m賦給m0，這樣反復(fù)迭代，直到達到預(yù)設(shè)的擬合誤差或最大迭代次數(shù)，即得到最終反演結(jié)果。

式(7)反演迭代的關(guān)鍵在于求取正演函數(shù)相對于模型的雅可比矩陣。本文重點研究最常用的回線源裝置瞬變電磁法。一維正演采用首先在頻率域進行、再通過正弦變換轉(zhuǎn)換到時間域的經(jīng)典算法，雅可比矩陣的求取則采用擬正演的方法。

水平矩形回線源布設(shè)于地面，測點可位于地面上除發(fā)射導(dǎo)線處的任何位置，記錄數(shù)據(jù)為垂直磁場的感應(yīng)電動勢。對于回線源頻率域的響應(yīng)，可將矩形線圈的四邊看作是4個導(dǎo)線源，則回線源的響應(yīng)可表示為四個導(dǎo)線源的疊加場，地面上的磁場垂直分量[26]為

(8)

通過正弦變換

(9)

根據(jù)式(8)和式(9)，只有反射系數(shù)rTE中包含模型參數(shù)，因此只需要對rTE求導(dǎo)。本文借鑒MT Occam反演[27]中的正演函數(shù)對地層電導(dǎo)率的求導(dǎo)方法，基于反射系數(shù)遞推，采用擬正演方法計算瞬變響應(yīng)對于各層的偏導(dǎo)數(shù)。

rTE的表達式[26]為

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式(16)表明，計算下一層電導(dǎo)率的導(dǎo)數(shù)可以利用上一層計算的中間結(jié)果，從而減少計算量，提高計算效率。

3 模型試算

為驗證上述橫向約束擬三維反演方法的效果，設(shè)計包含一個高阻體及一個低阻體的模型(圖2a和圖2b)進行正演模擬，再用正演合成數(shù)據(jù)進行反演測試。模擬采用中心回線裝置，設(shè)發(fā)射回線為100m×100m的正方形，電流為10A，接收線圈面積為200m2，觀測時間范圍為0.00001～0.00500s，測網(wǎng)點線距均為100m，共計21×21個測點。正演場中加入典型的1 nV/m2隨機背景噪聲。由于本實驗的目的是驗證橫向約束擬三維反演的有效性，因此對各測點對應(yīng)的模型采用一維正演。

圖2c為過高阻體及低阻體中心測線(y=950m)的加噪感應(yīng)電動勢多測道曲線。由于TEM信號早期強、晚期弱，所以圖2c中早期段中沒有明顯噪聲，而晚期段中噪聲明顯。

采用本文橫向約束擬三維反演方法對正演數(shù)據(jù)(圖2c)進行反演，同時進行單點一維反演，以便對比分析兩種方法的效果。兩種方法反演的擬合誤差均設(shè)為小于5%。反演結(jié)果見圖3。從圖3a可以看到，單點一維反演結(jié)果中，高阻體及低阻體的形態(tài)大致能夠恢復(fù)，但高阻體內(nèi)存在明顯的橫向不連續(xù)特征；反演剖面的下部則出現(xiàn)明顯不合理的橫向不連續(xù)現(xiàn)象及電阻率突變，其原因是晚期噪聲的影響。從圖3b可以看出，橫向約束擬三維反演對模型的恢復(fù)效果很好，低阻體及高阻體形態(tài)基本完整，邊界清晰；異常體以下的區(qū)域形態(tài)也恢復(fù)較好。可見橫向約束擬三維反演通過增強橫向連續(xù)性，能夠有效地壓制單點反演造成的不合理模型突變。此外，在橫向上，擬三維反演的地層界面很清晰，并沒有因為橫向約束導(dǎo)致界面模糊，原因在于地層界面產(chǎn)生的瞬變異常(圖2c)邊界清晰，反演函數(shù)中數(shù)據(jù)擬合項的影響強于橫向約束項。

圖2 測試模型俯視圖(a)和側(cè)視圖(b)及正演加噪多測道感應(yīng)電動勢曲線(c)圖c中從上到下感應(yīng)電動勢的觀測時間為0.00001～0.00500s,對數(shù)等間距取35道數(shù)據(jù)

圖3 單點一維反演(a)與橫向約束擬三維反演(b)z=150m(上)和y=950m(下)電阻率切片對比

4 實際數(shù)據(jù)應(yīng)用

在中東某油田的采油區(qū)，地震資料顯示在淺部(深度約200m)可能存在凹陷，但不能完全確定。這類淺部凹陷嚴重影響地震資料的深部成像質(zhì)量。為查清該淺部結(jié)構(gòu)，改善地震剖面成像效果，在該區(qū)部署了TEM勘探，調(diào)查400m深度以上地層結(jié)構(gòu)。

TEM采用200m×200m的中心回線裝置，觀測數(shù)據(jù)為垂直磁場分量。設(shè)計線距為400m，點距為250m，但由于工區(qū)位于采油區(qū)，油田設(shè)施眾多，為避開油田設(shè)施的干擾，實際測點分布很不規(guī)則(圖4)。

圖4 中東某地TEM測點分布圖藍、黑色圓點代表不同測線上的測點

由于測點分布很不規(guī)則，因此采用橫向約束擬三維反演方法。為了對比分析反演方法效果，對其中一條測線(N1測線)同時進行常規(guī)單點一維反演。圖5為N1測線經(jīng)面積、電流歸一化后的觀測感應(yīng)電動勢等值線剖面圖，圖6為該測線單點一維反演和橫向約束擬三維反演電阻率剖面及其對應(yīng)的歸一化感應(yīng)電動勢正演剖面。N2、N3測線反演電阻率剖面見圖7，圖8為全工區(qū)擬三維電阻率反演結(jié)果在不同海拔上的水平切片。

圖5 N1線歸一化觀測感應(yīng)電動勢剖面

圖6 N1線單點一維反演(a)和橫向約束擬三維反演(b)電阻率剖面(上)及對應(yīng)的模擬歸一化感應(yīng)電動勢剖面(下)

可以看出，單點一維電阻率反演剖面能大致體現(xiàn)沿測線的構(gòu)造特征，但各測點間的連續(xù)性不好，橫向上孤立異常突出，地層電性特征顯示也不甚清楚；而橫向約束擬三維反演的電性層橫向連續(xù)性較好，地層電性特征清楚，很大程度上避免了單點反演中的不合理電性突變，有效提高了反演剖面的精度。還可以看出，相鄰的N1、N2及N3測線反演剖面上電性層橫向連續(xù)，電性特征清楚，電性層在各剖面上能夠很好地進行追蹤，中部的目標凹陷(橫坐標2～4km)被清晰地勾繪了出來。圖7中反演電阻率剖面疊加了后期微測井視電阻率曲線，可見反演剖面與電測井曲線吻合較好，進一步說明本文橫向約束擬三維反演結(jié)果的可靠性。圖8中，地層橫向變化特征清楚，清晰地顯示了中部淺層凹陷的形態(tài)及走向。

圖8 橫向約束擬三維反演電阻率在海拔200m(a)和海平面(b)的水平切片

圖7 N2線(a)和N3線(b)橫向約束擬三維反演電阻率剖面圖a中藍色曲線為微測井視電阻率曲線

實際數(shù)據(jù)應(yīng)用結(jié)果說明本文方法能夠有效地實現(xiàn)一般測網(wǎng)條件下的TEM數(shù)據(jù)橫向約束擬三維電阻率反演。

5 結(jié)論

針對TEM數(shù)據(jù)一維電阻率反演中存在反演剖面連續(xù)性差的問題，本文將橫向約束引入TEM數(shù)據(jù)反演中；考慮到實際測點分布并不嚴格規(guī)則的特點，構(gòu)建了距離加權(quán)相鄰點橫向約束的擬三維反演方法，并采用高斯—牛頓法進行求解。

模型合成數(shù)據(jù)及實際數(shù)據(jù)的計算結(jié)果說明，距離加權(quán)相鄰點橫向約束擬三維反演可有效實現(xiàn)橫向約束，保證相鄰測點模型的連續(xù)性，提高反演解釋效果，且對一般非規(guī)則測網(wǎng)TEM數(shù)據(jù)也是適用的，具有廣泛的適用性。