井下鉆孔電阻率法典型地電模型三維正演模擬

閆國(guó)才

（1.瓦斯災(zāi)害監(jiān)控與應(yīng)急技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400037；中煤科工集團(tuán)重慶研究院有限公司，重慶400037）

煤礦深部資源開(kāi)采受到水害的影響程度日益嚴(yán)峻，華北型煤田深部回采工作面往往受到奧灰?guī)核耐{，不論在工作面掘進(jìn)過(guò)程中還是在回采前都必須進(jìn)行頂?shù)装?、工作面?nèi)部水害精確探測(cè)，保證資源安全回采。鉆孔電阻率法是在井下工作面形成后，在工作面2 條巷道中按照設(shè)計(jì)的參數(shù)施打一定數(shù)量的鉆孔，然后將供電和接收的不同排列布設(shè)于鉆孔中進(jìn)行水害探測(cè)，是一種全空間、更貼近目標(biāo)體的精確探測(cè)方法，而且鉆孔中探測(cè)可以解決其他電磁類方法對(duì)于底板一定深度范圍水害探測(cè)存在的困難。典型模型正演模擬很好地驗(yàn)證了所選正演方法的優(yōu)缺點(diǎn)，為優(yōu)化方法及實(shí)際資料處理的準(zhǔn)確性指明了方向。

針對(duì)煤礦井下工作面底板水害的特征，選取典型的的地質(zhì)模型進(jìn)行三維有限元正演模擬，研究電位的變化規(guī)律。在全空間三維有限元模擬方面的研究相對(duì)較少，但是半空間三維正演模擬相對(duì)成熟，Rücker C 等[1]著重研究了電阻率三維正演模擬算法，根據(jù)地形變化詳細(xì)研究了網(wǎng)格剖分的疏密分布；Li等[2-3]研究電阻率三維有限元模擬時(shí)融入了共軛梯度法，該方法在電性差異較大的模型中精度高于有限差分法；劉志新[4]結(jié)合國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究成果，率先將三維有限元模擬引入到煤礦井下；黃俊革[5]、呂玉增[6]、歐東新等[7]研究了電導(dǎo)率線性變化時(shí)的三維有限元正演方法；魯晶津[8]、任政勇等[9]系統(tǒng)研究了有限元方法的多重網(wǎng)格剖分；范翠松[10]在復(fù)電阻率正反演研究時(shí)用到了有限元法?；诖?，足以證明三維有限元正演的有效性，在井下鉆孔全空間的條件下也應(yīng)具有良好的效果，為此通過(guò)典型的斷層、陷落柱、采空區(qū)地電模型正演模擬，分析模型的電位分布情況，為鉆孔電阻率法的數(shù)據(jù)處理奠定理論基礎(chǔ)，有效提高探測(cè)精度，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 全空間三維有限元正演理論

1.1 電位方程和邊界條件

鉆孔電阻率法各種裝置類型激發(fā)的電場(chǎng)都是連續(xù)的，根據(jù)歐姆定律可得點(diǎn)電源電位的計(jì)算式為[11-13]：

式中：ν 為全空間直流點(diǎn)電源的電位，V；σs為正演模擬的電導(dǎo)率，S/m；νp為P 點(diǎn)電位，V；n 為外法向向量；cos（r-r0）為r-r0與外法向向量n 的夾角的余弦；電位νs為正演數(shù)值模擬待求項(xiàng)。

1.2 有限元變分法

通過(guò)伽略金變分法將邊界條件轉(zhuǎn)換為有限元方程，解決泛函的極值問(wèn)題，二次場(chǎng)邊界條件的等效積分形式[16]為：

1.3 網(wǎng)格剖分

全空間網(wǎng)格剖分的單元體為正四面體，任一單元M 的電導(dǎo)率為σ，單元M 的電位νM表達(dá)式[16-20]為：

式中：νi為單元M 上第i 節(jié)點(diǎn)處電位的有限元近似解，V；φi為對(duì)應(yīng)的形函數(shù)。

通過(guò)離散求解及引入對(duì)稱正定稀疏矩陣，將有限元電阻率三維正演問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解相應(yīng)電位空間分布的問(wèn)題。

2 不同裝置類型電位分布規(guī)律

鉆孔電阻率法不同裝置類型示意圖如圖1。

圖1 鉆孔電阻率法不同裝置類型示意圖Fig.1 Schematic diagram of different device types of borehole resistivity method

模型參數(shù)為：工作面200 m×100 m，在煤層底板布置鉆孔2 個(gè)，鉆孔與煤層巷道垂直，孔深100 m，兩鉆孔相距40 m，每個(gè)鉆孔內(nèi)布置電極21 根，電極距5 m，電極排列長(zhǎng)100 m，煤層厚度5 m，電阻率1 000 Ω·m，煤層頂?shù)装咫娮杪?00 Ω·m，巷道空間電阻率為∞，供電電流10 A。

不同裝置類型鉆孔電阻率法三維有限元正演模擬在平面上的電位分布如圖2～圖4。

圖2 AM 或AMN 裝置類型電位分布Fig.2 Potential distribution of AM or AMN device type

圖3 ABM 或ABMN 裝置類型電位分布Fig.3 Potential distribution of ABM or ABMN device type

圖2 單點(diǎn)電源供電（AM 或AMN 裝置）系統(tǒng)，電位以供電點(diǎn)為中心呈球狀分布；圖3 同線雙點(diǎn)電源（ABM 或ABMN 裝置）系統(tǒng)，電位以供電點(diǎn)為中心呈x 軸對(duì)稱分布；圖4 異線雙點(diǎn)電源（A-BM 或ABMN 裝置）系統(tǒng)，電位以供電點(diǎn)為中心呈y 軸對(duì)稱分布。電位分布具有一定的對(duì)稱性，且表現(xiàn)為供電點(diǎn)附近電位值最大，隨著向周圍擴(kuò)散電位值逐漸減小，說(shuō)明電位值與觀測(cè)距離成反比關(guān)系，這與點(diǎn)電源電位解析解的規(guī)律性一致。

圖4 A-BM 或A-BMN 裝置類型電位分布Fig.4 Potential distribution of A-BM or A-BMN device type

3 不同地電模型三維正演模擬

水害對(duì)回采工作面的威脅大多是由于隱伏的斷層、陷落柱、采空區(qū)等導(dǎo)（含）水構(gòu)造造成的。在鉆孔電阻率法三維正演模擬中，建立了斷層、陷落柱、采空區(qū)3 個(gè)典型含水地質(zhì)異常體的地電模型。模型相同部分的參數(shù)為：工作面200 m×100 m，煤層電阻率1 000 Ω·m，煤層頂?shù)装咫娮杪?00 Ω·m。

3.1 斷層模型數(shù)值模擬響應(yīng)分析

在前述參數(shù)相同部分模型的基礎(chǔ)上，新增模型參數(shù)：煤層厚度20 m，斷層破碎帶寬20 m，斷距20 m，電阻率10 Ω·m，含水。在煤層底板斷層兩側(cè)各20 m 處分別布置1 個(gè)鉆孔，分別為左側(cè)的鉆孔ZK1和右側(cè)的鉆孔ZK2，鉆孔規(guī)格為：孔深100 m，鉆孔與煤層巷道垂直，每個(gè)鉆孔內(nèi)布置電極數(shù)21 根，電極距5 m，電極排列長(zhǎng)100 m。采用AB 極供電，供電電流10 A。斷層模型電位等值線如圖5。

從圖5 中可以看出，當(dāng)電場(chǎng)擴(kuò)散至斷層面處，電位等值線不再是均勻的環(huán)狀。圖5（a）中xoy 水平平面，當(dāng)供電點(diǎn)位于ZK1 時(shí)，受斷層的影響，xoy 平面斷層右側(cè)的電位等值線變稀疏，這是由于含水?dāng)鄬訉?duì)電流的吸引作用使電位降在斷層內(nèi)變小。圖5（b）中xoz 垂直平面，當(dāng)采用異線電源供電，在斷層上盤，電位等值線變密，在斷層下盤，電位等值線變稀疏，在斷層帶上，電位等值線非常稀疏，說(shuō)明斷層帶上的電位降很弱，有利于電場(chǎng)的傳播。

圖5 斷層模型電位等值線圖Fig.5 Potential contour map of fault model

3.2 陷落柱模型數(shù)值模擬響應(yīng)分析

在前述參數(shù)相同部分模型的基礎(chǔ)上，新增模型參數(shù)：煤層厚度10 m，陷落柱10 m×10 m×80 m，電阻率10 Ω·m。在煤層底板陷落柱兩側(cè)各20 m 處分別布置1 個(gè)同規(guī)格鉆孔，分別為左側(cè)的鉆孔ZK1 和右側(cè)的鉆孔ZK2，采用AB 極供電，供電電流10 A。陷落柱模型電位等值線如圖6。

從圖6 中可以看出，由于低阻體對(duì)電流的吸引作用，使得電位在陷落柱內(nèi)部梯度變小，等值線變稀疏，不再是均勻的環(huán)狀。圖6（a）中xoy 水平平面，電位梯度變化的范圍10 m×10 m，為陷落柱在xoy 平面的大小。圖6（b）中xoz 垂直平面，z 方向上-130～-210 m 范圍電位梯度變化，為陷落柱在xoz 平面的高度80 m。同時(shí)，受高阻煤層的影響，電位等值線在煤層內(nèi)變密，電位梯度變大，由于煤層的屏蔽作用，使得煤層底板的響應(yīng)變化較大，而煤層頂板的響應(yīng)變化較小，這有利于煤層底板水害的探測(cè)。

圖6 陷落柱模型電位等值線圖Fig.6 potential contour map of collapse column model

3.3 采空區(qū)模型數(shù)值模擬響應(yīng)分析

在前述參數(shù)相同部分模型的基礎(chǔ)上，新增模型參數(shù)：煤層厚度5 m，含水采空區(qū)大小20 m×20 m×20 m，距煤層底面40 m，電阻率10 Ω·m，中心位置（0，30，-240），不含水采空區(qū)大小20 m×20 m×20 m，距煤層底面40 m，電阻率1 000 Ω·m，中心位置（0，-30，-240）。在底板采空區(qū)兩側(cè)各20 m 處分別布置1 個(gè)同規(guī)格鉆孔，分別為左側(cè)的鉆孔ZK1 和右側(cè)的鉆孔ZK2，采用AB 極供電，供電電流10 A。采空區(qū)模型電位等值線如圖7。

圖7 采空區(qū)模型電位等值線圖Fig.7 Potential contour map of goaf model

從圖7 可以看出，采用AB 同線電源供電，當(dāng)電場(chǎng)擴(kuò)散至含水采空區(qū)時(shí)，低阻對(duì)電流有吸引作用，使電位等值線向x 正方向變稀疏，電位梯度變?。划?dāng)電場(chǎng)擴(kuò)散至不含水采空區(qū)時(shí)，高阻對(duì)電流有排斥作用，使電位等值線向x 正方向變密集，電位梯度變大。電位等值線疏密變化的范圍正好是模型采空區(qū)的范圍。

4 結(jié) 論

1）從電位方程和邊界條件計(jì)算公式分析，變分法研究，網(wǎng)格剖分入手，歸納了三維有限元正演模擬理論。

2）分析了不同裝置類型的電位分布規(guī)律，得到電位值隨著擴(kuò)散而衰減，呈對(duì)稱分布的特性，且電位值的大小與觀測(cè)距離成反比例關(guān)系。

3）建立了斷層、陷落柱及采空區(qū)模型，研究了同孔供電與異孔供電時(shí)不同模型的電場(chǎng)響應(yīng)特征，結(jié)果表明，電場(chǎng)擴(kuò)散至含水構(gòu)造時(shí)電位等值線會(huì)變稀疏，電位梯度變小，該方法用于水害探測(cè)行之有效。