基于改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)與最大熵的概率諧波潮流算法

王慶巖，孫媛媛，謝香敏，李亞輝，許慶燊，張 巖

（1. 山東大學(xué)電網(wǎng)智能化調(diào)度與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東省濟(jì)南市250061；2. 國(guó)網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院,山東省濟(jì)南市250003）

0 引言

當(dāng)代電力系統(tǒng)中,電力電子裝置廣泛應(yīng)用于電能的發(fā)、輸、配、用各環(huán)節(jié),由此引發(fā)的諧波污染愈加嚴(yán)重。諧波潮流計(jì)算可有效計(jì)算系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)的諧波畸變水平［1-2］,是諧波治理的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的諧波潮流未考慮隨機(jī)因素,只反映系統(tǒng)某一時(shí)間斷面的狀態(tài),而當(dāng)今電力系統(tǒng)中不確定性增強(qiáng)［3-4］,諧波潮流也呈現(xiàn)出隨機(jī)性、波動(dòng)性等特征,研究不確定性諧波潮流具有重要意義。

不確定性諧波潮流的概率分析方法可分為模擬法、解析法與近似法［5］。模擬法以蒙特卡洛仿真（Monte Carlo simulation,MCS）法為代表,基于大量采樣,計(jì)算準(zhǔn)確但效率低［6］。解析法以卷積法和半不變量法為主,卷積法不易實(shí)現(xiàn),半不變量法中諧波潮流方程的線性化較復(fù)雜,且當(dāng)輸入變量波動(dòng)較大時(shí),基準(zhǔn)點(diǎn)的線性化會(huì)引入誤差［7］。近似法以點(diǎn)估計(jì)法（point estimate method,PEM）為主［8］,通過(guò)少量確定性的計(jì)算獲得輸出變量的統(tǒng)計(jì)特征,無(wú)須對(duì)潮流方程進(jìn)行線性化,計(jì)算簡(jiǎn)單且較為準(zhǔn)確,因此在不確定諧波潮流分析中獲得應(yīng)用。其中,文獻(xiàn)［9］從諧波節(jié)點(diǎn)電壓方程入手,分析了風(fēng)機(jī)接入后的諧波水平；多變換器系統(tǒng)中的不確定性諧波也基于點(diǎn)估計(jì)法得以計(jì)算［10］。然而,無(wú)論是2m還是2m+1 點(diǎn)估計(jì),都屬傳統(tǒng)點(diǎn)估計(jì),受限于采樣點(diǎn)數(shù)量,估計(jì)精度受隨機(jī)變量個(gè)數(shù)及分布的影響。另外,上述方法一般結(jié)合級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)擬合,但級(jí)數(shù)展開(kāi)存在截?cái)嗾`差,不易擬合概率密度函數(shù)尾部特征,易在部分區(qū)域出現(xiàn)概率密度為負(fù)的情況［11］。

傳統(tǒng)點(diǎn)估計(jì)方法性能提升可通過(guò)構(gòu)造多重采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn),因此有文獻(xiàn)研究了多采樣點(diǎn)估計(jì)在基波概率潮流中的應(yīng)用［12］。由于概率諧波潮流存在不同的分析場(chǎng)景,相比基波潮流存在頻譜不確定以及諧波電流幅值相角雙重不確定性等問(wèn)題,分析過(guò)程的不確定性以及非線性程度進(jìn)一步增強(qiáng),因此不同分析場(chǎng)景下,概率諧波潮流統(tǒng)計(jì)特征的準(zhǔn)確求解與概率密度函數(shù)的有效擬合仍有待研究。文獻(xiàn)［13］提出基于隨機(jī)變量聯(lián)合分布的Rosenblatt 變換,實(shí)現(xiàn)原變量空間與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間的轉(zhuǎn)換,從而簡(jiǎn)化采樣點(diǎn)與權(quán)重的計(jì)算,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)諧波分析,但現(xiàn)實(shí)中隨機(jī)變量多以樣本形式給出,聯(lián)合分布不易獲取,且僅對(duì)諧波潮流的單一分析場(chǎng)景進(jìn)行研究,同時(shí)對(duì)多點(diǎn)估計(jì)后期的概率密度函數(shù)擬合關(guān)注較少。

為實(shí)現(xiàn)不同分析場(chǎng)景下概率諧波潮流中統(tǒng)計(jì)特征以及概率密度函數(shù)擬合精確度的提升,提出一種改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)與最大熵（improved multi-point estimate method and maximum entropy,IMPEM&ME）的概率諧波潮流算法?；陔S機(jī)變量的離散近似理論,確定獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的多重采樣點(diǎn)和權(quán)重；根據(jù)隨機(jī)變量空間變換,獲得功率、諧波電流等任意分布隨機(jī)變量的權(quán)重與采樣點(diǎn),計(jì)算諧波電壓等輸出隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征,進(jìn)而基于最大熵分布求取輸出隨機(jī)變量的概率分布。所提方法通過(guò)采樣點(diǎn)數(shù)的增加,有效提升了待求變量統(tǒng)計(jì)特征的計(jì)算精確度；基于隨機(jī)變量空間變換避免了原變量空間獲取多點(diǎn)時(shí)的復(fù)雜計(jì)算,并可有效處理變量之間的相關(guān)性；結(jié)合最大熵概率分布,可較好地保證所求概率分布擬合的準(zhǔn)確度。

1 改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)和最大熵概率分布

1.1 基于隨機(jī)變量離散近似的多點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)法可應(yīng)用于概率諧波潮流計(jì)算。三點(diǎn)估計(jì)通過(guò)匹配輸入變量的前四階矩,求得采樣點(diǎn)與對(duì)應(yīng)權(quán)重［8］,從而計(jì)算待求變量的原點(diǎn)矩或中心矩,然而少量的采樣點(diǎn)使得計(jì)算精度受限?；诟咚箶?shù)值積分的離散近似可獲取多個(gè)估計(jì)點(diǎn)與權(quán)重［14］,實(shí)現(xiàn)原點(diǎn)矩的準(zhǔn)確求解。若通過(guò)離散近似隨機(jī)變量x的分布,則應(yīng)滿(mǎn)足：

式中：E（·）為期望函數(shù)；n為采樣點(diǎn)數(shù)量（多點(diǎn)估計(jì)下,n＞3）；l為 階 數(shù)；xk與pk分 別 為 第k個(gè) 采 樣 點(diǎn) 與權(quán)重。

通過(guò)對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)與權(quán)重實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量原點(diǎn)矩的匹配,從而逼近原連續(xù)分布。此時(shí),對(duì)于單輸入隨機(jī)變量x的函數(shù)y(x),其l階原點(diǎn)矩亦可通過(guò)上述采樣點(diǎn)與權(quán)重獲取,即

對(duì)于隨機(jī)變量x,假設(shè)取n個(gè)采樣點(diǎn),則式（1）中共有2n個(gè)未知數(shù),需2n個(gè)方程才可定解,可通過(guò)匹配隨機(jī)變量的前2n-1 階原點(diǎn)矩并結(jié)合各權(quán)重之和為定值來(lái)實(shí)現(xiàn)。式（1）可展開(kāi)為：

通過(guò)式（3）求解實(shí)現(xiàn)離散近似所必需的隨機(jī)變量的采樣值與權(quán)重,獲得待求輸出變量的統(tǒng)計(jì)特征。

當(dāng)輸出變量y的自變量中包含m個(gè)隨機(jī)變量時(shí),應(yīng)對(duì)每一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行上述運(yùn)算,求解每個(gè)輸入隨機(jī)變量的采樣點(diǎn)與權(quán)重,并將式（3）中對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量期望值的權(quán)重p1進(jìn)行如下替換,以保證輸出變量含多個(gè)輸入隨機(jī)變量時(shí)估計(jì)的準(zhǔn)確性：

將多輸入隨機(jī)變量下第i個(gè)隨機(jī)變量的第k個(gè)采樣點(diǎn)記為xi,k,對(duì)應(yīng)權(quán)重記為pi,k,此時(shí)對(duì)于含有m個(gè)自變量的輸出變量y,可通過(guò)單變量確定性評(píng)估方法獲取待求變量的原點(diǎn)矩,如下式所示：

式中：μ表示隨機(jī)變量的期望,下標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量。

1.2 多點(diǎn)估計(jì)法改進(jìn)

當(dāng)輸入的隨機(jī)變量為任意分布時(shí),高階原點(diǎn)矩不易獲取,直接計(jì)算采樣點(diǎn)過(guò)程復(fù)雜?？紤]到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量u采樣計(jì)算簡(jiǎn)單,因其l階原點(diǎn)矩可通過(guò)遞推公式獲得,即

為保證計(jì)算效率,同時(shí)便于處理輸入隨機(jī)變量之間的相關(guān)性,應(yīng)用Nataf 變換理論對(duì)基于離散近似理論的多點(diǎn)估計(jì)進(jìn)行改進(jìn),使得采樣值與權(quán)重的計(jì)算在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量空間內(nèi)進(jìn)行,并通過(guò)Nataf反變換實(shí)現(xiàn)任意分布隨機(jī)變量空間下采樣點(diǎn)與權(quán)重的求解,以滿(mǎn)足實(shí)際需要。

當(dāng)任意分布的隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立時(shí),應(yīng)用Nataf 變換理論。對(duì)任意分布的隨機(jī)變量xi,其采樣點(diǎn)xi,k與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間內(nèi)的采樣點(diǎn)ui,k之間應(yīng)滿(mǎn)足：

式中：F（·）和Φ（·）分別表示原任意分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。

若原任意分布隨機(jī)變量組成的向量中某些隨機(jī)變量具有相關(guān)性,記其相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ。Nataf 變換后,所得的各標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量組成的向量U依然具有相關(guān)性［15］,相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ1。該矩陣一般對(duì)稱(chēng)正定,進(jìn)行平方根分解可得下三角矩陣L。由Z=L-1U可實(shí)現(xiàn)相關(guān)性的消除,此時(shí)Z向量?jī)?nèi)各隨機(jī)變量服從獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。基于獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間計(jì)算采樣點(diǎn)與權(quán)重,并結(jié)合矩陣變換及Nataf 逆變換可實(shí)現(xiàn)具有相關(guān)性的任意分布隨機(jī)變量采樣點(diǎn)與權(quán)重的求解。

1.3 改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)框架下的最大熵概率分布

信息熵用以表征信息的不確定性,最大熵原則認(rèn)為在滿(mǎn)足原點(diǎn)矩約束條件下,信息熵最大的概率分布是最客觀的。在改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)框架下,最大熵可表述為：

式中：w（y）表示隨機(jī)變量y的概率密度函數(shù)；C為應(yīng)滿(mǎn)足的原點(diǎn)矩約束的階數(shù)。

引入拉格朗日乘數(shù)法求解上述問(wèn)題,可得到解析解：

式中：λc為對(duì)應(yīng)于c階原點(diǎn)矩的拉格朗日乘子（c取0時(shí),原點(diǎn)矩為1）。通過(guò)牛頓-拉夫遜法求得未知參數(shù)λc,獲得最符合客觀實(shí)際的概率分布［16］。

相比于傳統(tǒng)通過(guò)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)展開(kāi)擬合概率密度函數(shù)的方法,最大熵概率擬合利用有限的信息,對(duì)未知信息作最少的假定,所獲得的概率分布是基于有限信息獲得的最客觀的分布,同時(shí)基于負(fù)指數(shù)形式,保證了所求解的概率密度函數(shù)值不小于0。

2 概率諧波潮流實(shí)現(xiàn)框架

2.1 確定性諧波潮流計(jì)算

諧波潮流計(jì)算方法可分為統(tǒng)一迭代法、交替迭代法、解耦法以及非迭代式方法。解耦法將基波計(jì)算與諧波計(jì)算解耦處理,計(jì)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化,同時(shí)也保證了精度,在諧波潮流計(jì)算中獲得廣泛應(yīng)用。解耦法諧波潮流首先計(jì)算基波潮流,考慮到諧波電氣量相比基波電氣量一般較小,因此在求解基波潮流時(shí)可忽略諧波影響。含分布式電源（distributed generator,DG）系統(tǒng)的基波潮流計(jì)算,DG 接入節(jié)點(diǎn)可依據(jù)其容量以及并網(wǎng)控制方式等確定節(jié)點(diǎn)類(lèi)型［17］。

當(dāng)獲取基波狀態(tài)后,需根據(jù)不同的諧波源特性［18］計(jì)算諧波電流。負(fù)荷側(cè)的非線性負(fù)荷可采用恒流源模型、諾頓模型、諧波耦合導(dǎo)納矩陣模型或非線性建模方式［13］確定其諧波電流與負(fù)荷參數(shù)的關(guān)系；對(duì)于發(fā)電側(cè)可再生能源DG 并網(wǎng),可基于數(shù)據(jù)擬合［19］或輸出阻抗模型［20］等建立輸出的諧波電流與可再生能源DG 出力或運(yùn)行狀態(tài)之間的聯(lián)系。依據(jù)諧波源特性可通過(guò)迭代或非迭代的方式確定諧波源所注入的諧波電流。上述非線性負(fù)荷與可再生能源DG 的諧波電流可分別表述為：

式中：I˙h表示諧波源的h次諧波電流相量；Fh表示諧波源特性方程；下標(biāo)l 與g 分別表示負(fù)荷和可再生能源DG；對(duì)非線性負(fù)荷,V˙與V˙2和V˙3等分別表示基波與對(duì)應(yīng)次數(shù)的諧波電壓相量,下標(biāo)為諧波次數(shù)；Cl表示負(fù)荷參數(shù)；對(duì)可再生能源DG,Ci與Cw分別表示內(nèi)部運(yùn)行或控制參數(shù)以及外部參數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)中的主要諧波源有諧波電流監(jiān)測(cè)裝置時(shí),可直接依據(jù)監(jiān)測(cè)所得的諧波電流以及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的諧波電壓?？紤]到諧波節(jié)點(diǎn)電壓方程的求解為相量運(yùn)算,可通過(guò)實(shí)部虛部解耦實(shí)現(xiàn)諧波電壓相量的求解：

式中：Vh,real和Vh,imag分別為節(jié)點(diǎn)i的h次諧波電壓實(shí)部分量和虛部分量；M為系統(tǒng)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)；Zh,ij和θZh,ij分別為諧波節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣逆矩陣Zh中第i行第j列元素的幅值和相角；Ih,j和θIh,j分別為節(jié)點(diǎn)j發(fā)出的h次諧波電流的幅值和相角；Vh,i和θVh,i分別為節(jié)點(diǎn)i的h次諧波電壓的幅值和相角。

2.2 IMPEM&ME 框架下的概率諧波潮流

概率諧波潮流分析中,首先應(yīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)功率或諧波源注入電流等輸入量建立概率模型。與功率以及出力相關(guān)的隨機(jī)變量,負(fù)荷采用正態(tài)分布,風(fēng)速采用Weibull 分布,光強(qiáng)采用Beta 分布；諧波電流幅值與相角可通過(guò)正態(tài)分布及均勻分布進(jìn)行描述［21］。

對(duì)于不確定性諧波潮流,無(wú)論是基于解耦法或是基于諧波源監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的直接求解,不同分析場(chǎng)景下諧波潮流方程中輸入的隨機(jī)變量與輸出的諧波電壓相量之間均存在一定的映射關(guān)系?；诮怦罘〞r(shí),輸入隨機(jī)變量為不確定性負(fù)荷、風(fēng)速、光伏等,考慮可再生能源出力與外部天氣狀況的關(guān)系以及諧波電流含有率與DG 出力的關(guān)系,即可建立輸入與輸出之間的映射關(guān)系,如式（12）所示；基于諧波源監(jiān)測(cè)的諧波電流數(shù)據(jù)直接求解時(shí),考慮諧波電流幅值與相角的雙重不確定性,輸入變量為不確定性諧波電流幅值及相角,此時(shí)輸入與輸出之間的映射關(guān)系可表述為式（13）。

式中：H（·）與G（·）分別表示基于解耦法與基于諧波電流監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí),h次不確定諧波電壓向量矩陣V?h與輸入變量的映射關(guān)系；L?、W?和S?分別為系統(tǒng)中輸入的不確定性負(fù)荷、風(fēng)速和光強(qiáng)矩陣；I?h和θ?h分別為不確定性h次諧波電流的幅值和相角矩陣。

考慮到諧波潮流不同分析場(chǎng)景下映射關(guān)系以及輸入隨機(jī)變量的概率分布,可通過(guò)IMPEM&ME 方法獲得諧波電壓等輸出隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征與概率密度函數(shù),具體求解過(guò)程如圖1 所示。

圖1 基于IMPEM&ME 方法的概率諧波潮流計(jì)算流程Fig.1 Flow chart of probabilistic harmonic power flow calculation based on IMPEM&ME method

1）基于解耦法或諧波源監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),根據(jù)基波潮流方程及式（10）、式（11）建立確定性諧波潮流方程,確定系統(tǒng)輸入變量與輸出變量及其對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。

2）基于經(jīng)驗(yàn)分布或?qū)嶋H數(shù)據(jù),建立輸入隨機(jī)變量的概率描述,確定輸入變量的累積分布以及各輸入隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。

3）基于式（3）、式（4）、式（6）,確定獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的多重采樣值以及權(quán)重,并基于相關(guān)系數(shù)矩陣,依據(jù)矩陣變換與式（7）實(shí)現(xiàn)原任意分布變量空間內(nèi)采樣點(diǎn)的求取。

4）依據(jù)每一隨機(jī)變量所取的采樣點(diǎn),按式（5）的形式對(duì)輸出的隨機(jī)變量進(jìn)行確定性評(píng)估。當(dāng)某一隨機(jī)變量取采樣值時(shí),其他隨機(jī)變量取期望,進(jìn)行若干次確定性計(jì)算,通過(guò)加權(quán)的形式獲取輸出變量統(tǒng)計(jì)特征。建立約束條件,基于式（8）求解最大熵概率分布,實(shí)現(xiàn)概率密度函數(shù)的重構(gòu)。

3 算例分析

3.1 基于解耦法的概率諧波潮流

以改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例［22］,研究改進(jìn)多點(diǎn)估計(jì)（以5 個(gè)采樣點(diǎn)為例）與最大熵結(jié)合法在解耦諧波潮流分析場(chǎng)景中的性能。光伏與風(fēng)機(jī)分別接入節(jié)點(diǎn)16 與33,采取文獻(xiàn)［20］中的DG 典型特性,將風(fēng)機(jī)節(jié)點(diǎn)、光伏節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化為PQ節(jié)點(diǎn),且認(rèn)為光伏系統(tǒng)只輸出有功功率,風(fēng)機(jī)系統(tǒng)發(fā)出有功功率,吸收無(wú)功功率,且均經(jīng)過(guò)并網(wǎng)裝置接入電網(wǎng)。不計(jì)負(fù)荷注入系統(tǒng)的諧波電流與系統(tǒng)背景諧波,諧波節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣根據(jù)不確定因素取期望值時(shí)系統(tǒng)基波參數(shù)以及對(duì)應(yīng)諧波次數(shù)獲取。DG 經(jīng)變換器接入節(jié)點(diǎn)為諧波源節(jié)點(diǎn),考慮可再生能源DG 節(jié)點(diǎn)注入的諧波電流與其出力有關(guān),因此以文獻(xiàn)［19］給出的分段線性關(guān)系確定5 次諧波電流含有率與DG 出力之間的關(guān)系,諧波電流相角頻譜相對(duì)基波電流相角頻譜超前π/12。

負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的期望與原系統(tǒng)相同,功率因數(shù)在負(fù)荷與出力波動(dòng)期間認(rèn)為保持恒定,并取變異系數(shù)為5%。風(fēng)機(jī)的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速與切出風(fēng)速分別為3,14,25 m/s,所研究時(shí)段內(nèi)該地區(qū)的風(fēng)速、光強(qiáng)的分布參數(shù)（如均值μ與變異系數(shù)）以及風(fēng)機(jī)的有功出力的額定功率Pr、光強(qiáng)為1 kW/m2時(shí)光伏輸出的功率Pmax和對(duì)應(yīng)的功率因數(shù)角δ等參數(shù)見(jiàn)附錄A 表A1。風(fēng)速Weibull 分布與光強(qiáng)Beta 分布的參數(shù)可依據(jù)所研究時(shí)段風(fēng)速、光強(qiáng)的期望與變異系數(shù)求取,風(fēng)機(jī)、光伏的出力與風(fēng)速、光強(qiáng)的關(guān)系可分別依據(jù)文獻(xiàn)［23-24］獲得。

不計(jì)輸入變量的相關(guān)性,對(duì)系統(tǒng)中諧波潮流進(jìn)行分析。考慮到風(fēng)機(jī)出力與風(fēng)速之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系,風(fēng)機(jī)出力的大小以及分布受風(fēng)速影響較大。當(dāng)風(fēng)速在切入風(fēng)速與額定風(fēng)速之間較小時(shí),風(fēng)機(jī)出力近似服從Weibull 分布；當(dāng)風(fēng)速接近額定風(fēng)速時(shí),風(fēng)機(jī)出力偏離Weibull 分布。風(fēng)速的大小對(duì)系統(tǒng)諧波水平分布影響較大,因此設(shè)置2 種風(fēng)速期望場(chǎng)景,分別為場(chǎng)景1（風(fēng)速期望為7 m/s）與場(chǎng)景2（風(fēng)速期望為13.5 m/s）,并以風(fēng)速變異系數(shù)為變量反映一定時(shí)段內(nèi)風(fēng)速的波動(dòng)程度,分析不同風(fēng)速場(chǎng)景、不同風(fēng)速變異系數(shù)下所提算法的性能,變異系數(shù)取值以5%為步長(zhǎng),范圍為5%～20%。以MCS 方法為基準(zhǔn),比較三點(diǎn)估計(jì)與Gram Charlier 級(jí)數(shù)展開(kāi)（point estimate and Gram Charlier, PEM&GC） 與IMPEM&ME 方法對(duì)諧波電壓統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)精度,并通過(guò)概率密度函數(shù)擬合曲線比較擬合效果。定義相對(duì)誤差R如下：

式 中：Mo和Mb分 別 為 其 他 方 法（PEM&GC 或IMPEM&ME）和MCS 方法所得的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征。

2 種風(fēng)速場(chǎng)景下的不同方法所求得的諧波電壓幅值統(tǒng)計(jì)特征的平均相對(duì)誤差如圖2 所示；以風(fēng)機(jī)與光伏接入節(jié)點(diǎn)的諧波電壓幅值為例,在相同變異系數(shù)（10%）與約束條件下,不同場(chǎng)景下3 種方法的概率密度函數(shù)比較如圖3 所示。

圖2 2 種風(fēng)速場(chǎng)景下不同方法的諧波電壓幅值統(tǒng)計(jì)特征的平均相對(duì)誤差對(duì)比Fig.2 Comparison of average relative errors for statistical characteristics of harmonic voltage magnitude with different methods in two wind speed scenarios

圖3 不同風(fēng)速場(chǎng)景下3 種方法概率密度函數(shù)比較Fig.3 Comparison of probability density function of three methods in different wind speed scenarios

從圖2 可以看出,當(dāng)風(fēng)速期望為7 m/s 時(shí),所提方法與PEM&GC 方法所求得的諧波電壓的統(tǒng)計(jì)特征精確度差距不大。對(duì)于諧波電壓幅值期望,不同變異系數(shù)下2 種方法的平均相對(duì)誤差均不高于2%；對(duì)于諧波電壓幅值標(biāo)準(zhǔn)差,2 種方法的平均相對(duì)誤差均不超過(guò)10%。當(dāng)風(fēng)速期望達(dá)到13.5 m/s 時(shí),2 種方法開(kāi)始顯現(xiàn)出較大差異,隨著風(fēng)速變異系數(shù)的增大,二者的平均相對(duì)誤差均呈現(xiàn)增大趨勢(shì)。由IMPEM&ME 方法計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)特征始終比PEM&GC 方法更精確,在變異系數(shù)較大時(shí)（如20%）,PEM&GC 方法所得標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差已超過(guò)20%,而IMPEM&ME 方法依舊保持較高的準(zhǔn)確度。因此,所提算法對(duì)風(fēng)速的變化敏感度較低,在不同風(fēng)速期望與變異系數(shù)下,均能獲得較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于2 種算法的概率密度函數(shù)擬合性能,不同風(fēng)速場(chǎng)景下2 種算法所得的概率密度函數(shù)曲線均具有一定的擬合效果,其中IMPEM&ME 方法所得的概率密度函數(shù)在尾部始終大于零,且更貼近MCS 方法,因此性能更優(yōu)。相同仿真硬件條件下,MCS 方法耗時(shí)最長(zhǎng),而所提方法與PEM&GC方法耗時(shí)相當(dāng),均具有一定的計(jì)算效率。

3.2 基于諧波源監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的概率諧波潮流

本節(jié)所研究系統(tǒng)與3.1 節(jié)中相同,在風(fēng)機(jī)光伏并網(wǎng)節(jié)點(diǎn)裝有諧波電流監(jiān)測(cè)裝置。采用文獻(xiàn)［9］中的正態(tài)分布描述諧波源監(jiān)測(cè)所得的5 次諧波電流的幅值,均勻分布描述5 次諧波電流相角。選定光伏接入節(jié)點(diǎn)的諧波電流相角為參考,風(fēng)機(jī)接入節(jié)點(diǎn)發(fā)出的諧波電流相角相對(duì)節(jié)點(diǎn)16 的諧波電流相角在一定范圍內(nèi)均勻分布。在求解過(guò)程中,同時(shí)考慮諧波電流幅值與相角的不確定性。所研究時(shí)段內(nèi),5 次諧波電流幅值的期望以及相角相對(duì)參考相角分布的最大值θ5,max與最小值θ5,min如附錄A 表A2所示。

改變風(fēng)機(jī)節(jié)點(diǎn)諧波電流的分布范圍,不計(jì)諧波源諧波電流之間的相關(guān)性,研究基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)直接求解時(shí),不同變異系數(shù)下的系統(tǒng)諧波電壓相對(duì)誤差的變化趨勢(shì)以及概率密度擬合的性能。不同變異系數(shù)下系統(tǒng)的5 次諧波電壓平均相對(duì)誤差如圖4 所示；以常用變異系數(shù)（5%和10%）為例,風(fēng)機(jī)節(jié)點(diǎn)的諧波電壓的概率密度函數(shù)如圖5 所示。

圖4 不同變異系數(shù)下諧波電壓幅值統(tǒng)計(jì)特征的平均相對(duì)誤差Fig.4 Average relative errors for statistical characteristics of harmonic voltage magnitude with different variation coefficients

圖5 風(fēng)機(jī)節(jié)點(diǎn)諧波電壓概率密度函數(shù)比較Fig.5 Comparison of probability density function for harmonic voltage on bus with wind turbine connected

從圖4 可以看出,在該分析場(chǎng)景下,IMPEM&ME 方法獲得的統(tǒng)計(jì)特征依然具有較高的精度。不同變異系數(shù)下,IMPEM&ME 方法所得到的期望的平均相對(duì)誤差始終低于1%,標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差低于5%,而PEM&GC 方法所獲得的諧波電壓標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差在10%左右。同時(shí),由于諧波電流幅值與相角采用的概率分布與3.1 節(jié)中隨機(jī)變量的概率分布不同,所得的諧波電壓的概率密度函數(shù)也與3.1 節(jié)不同。在所提變異系數(shù)下,所得諧波電壓呈現(xiàn)近似雙峰的分布特點(diǎn),且諧波電壓的分布范圍較廣。根據(jù)圖5 概率密度函數(shù)擬合結(jié)果可以看出,IMPEM&ME 方法所得的概率密度函數(shù)較好地反映了諧波電壓雙峰分布的特點(diǎn),而PEM&GC 方法難以反映這一特點(diǎn)。由于前期估計(jì)誤差以及后期擬合的數(shù)值積分誤差會(huì)導(dǎo)致一定的偏差出現(xiàn),但依舊可反映概率密度函數(shù)的尾部特征、最大可能取值等分布特點(diǎn)。3 種方法相比解耦法的計(jì)算時(shí)間均減少,所提方法效率始終高于MCS 方法。

3.3 諧波電流相關(guān)性分析

實(shí)際電力系統(tǒng)中,由于相近的用電習(xí)慣或外部天氣因素影響,功率、諧波電流數(shù)據(jù)在某一時(shí)段的隨機(jī)變化可能存在一定相關(guān)性,這會(huì)對(duì)系統(tǒng)諧波水平產(chǎn)生一定影響。以3.2 節(jié)中系統(tǒng)為例,令諧波源的諧波電流變異系數(shù)為10%,假設(shè)2 個(gè)諧波源所發(fā)出的諧波電流幅值存在相關(guān)性,其相關(guān)系數(shù)為0.6,各節(jié)點(diǎn)的5 次諧波電壓的期望與標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差Ra、最大相對(duì)誤差Rmax、最小相對(duì)誤差Rmin對(duì)比結(jié)果如表1 所示。

表1 諧波電壓幅值統(tǒng)計(jì)特征相對(duì)誤差Table 1 Relative errors of statistical characteristics of harmonic voltage magnitude

對(duì)比表1 結(jié)果可知,計(jì)及相關(guān)性時(shí),在諧波電壓幅值的期望以及標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)上所提方法相對(duì)PEM&GC 方法所得統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)精度有較大提升。因此,所提方法可較好地處理相關(guān)性問(wèn)題,相比傳統(tǒng)方法可更準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)。

為反映變量之間的相關(guān)性給系統(tǒng)諧波水平帶來(lái)的影響,以2 個(gè)諧波源5 次諧波電流的相關(guān)系數(shù)r為變量,分析相關(guān)性對(duì)5 次諧波電壓幅值分布的影響。以變異系數(shù)為15%為例,不同相關(guān)系數(shù)下部分節(jié)點(diǎn)諧波電壓的標(biāo)準(zhǔn)差如圖6 所示。

圖6 變量相關(guān)性對(duì)諧波電壓幅值標(biāo)準(zhǔn)差的影響Fig.6 Impact of variable correlation on standard deviation of harmonic voltage magnitude

由圖6 可知,隨著變量相關(guān)性的逐漸增強(qiáng),系統(tǒng)部分節(jié)點(diǎn)的諧波電壓幅值標(biāo)準(zhǔn)差逐漸減小。統(tǒng)計(jì)特征的改變會(huì)對(duì)輸出變量的分布特征產(chǎn)生影響,在實(shí)際中可通過(guò)所提方法對(duì)計(jì)及相關(guān)性的不確定諧波潮流問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確分析。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種基于IMPEM&ME 的概率諧波潮流算法。該算法通過(guò)采樣點(diǎn)的增加,有效提升了待求輸出變量統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)精度；通過(guò)引入變量空間變換,提升了計(jì)算效率,并可對(duì)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行研究；引入最大熵概率分布獲得更切合實(shí)際的概率密度函數(shù)。以改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中對(duì)所提出的算法的有效性與性能展開(kāi)研究,結(jié)果表明：所提算法在2 種不同諧波潮流分析場(chǎng)景下均表現(xiàn)出較好的適用性,相比目前普遍使用的三點(diǎn)估計(jì)與級(jí)數(shù)展開(kāi)法所求得的統(tǒng)計(jì)特征精度更高,擬合所得的概率密度函數(shù)更貼近真實(shí)概率密度函數(shù)的趨勢(shì),可較好地處理與分析隨機(jī)變量相關(guān)性問(wèn)題。所提方法可幫助運(yùn)行人員有效分析電力系統(tǒng)不確定諧波狀態(tài),以制定合理的諧波治理措施。考慮到概率密度函數(shù)擬合精度會(huì)受前期估計(jì)原點(diǎn)矩誤差的影響,下一步將對(duì)此展開(kāi)研究以實(shí)現(xiàn)更好的擬合效果。

本文研究得到山東大學(xué)青年學(xué)者未來(lái)計(jì)劃項(xiàng)目(2016WLJH07)的資助，特此感謝！

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