頻率依賴性黏彈性復(fù)合板動力學(xué)特性計算方法

殷嘯宇，齊鳴瑞

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

循環(huán)載荷引發(fā)的疲勞失效是航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)葉片產(chǎn)生故障失效的主要原因[1]。為了有效抑制航空發(fā)動機(jī)壓氣機(jī)葉片的振動，國內(nèi)外許多學(xué)者對壓氣機(jī)葉片的減振方法進(jìn)行了大量的研究[2-3]。最為有效的方法是在壓氣機(jī)葉片表面涂覆一層或多層阻尼材料[4-5]，其中黏彈性阻尼材料減振效果好而且價格低廉，是一種經(jīng)濟(jì)有效的減振手段。

將黏彈性阻尼材料應(yīng)用于阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的固有頻率與損耗因子是結(jié)構(gòu)動力特性和減振耗能性能的兩個重要指標(biāo)，國內(nèi)外學(xué)者對此展開了廣泛且深入的討論[6-7]。RAO D K[8]首先提出了在復(fù)雜邊界條件下復(fù)合夾層梁的頻率階損耗因子的理論求解方法；RIKARDS R[9]等采取復(fù)模量模型對材料特性進(jìn)行描述；任志剛等[10]在考慮黏彈性材料彈性模量頻率依賴性的基礎(chǔ)上采用復(fù)模量模型對材料進(jìn)行擬合，并提出用迭代的經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法與迭代的復(fù)特征值法求解復(fù)合結(jié)構(gòu)固有頻率與模態(tài)損耗因子；孫偉等[11]采用特征向量增值法對復(fù)特征值法進(jìn)行了改進(jìn)計算；伍先俊[12]基于模態(tài)應(yīng)能法給出了求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)阻尼的有限元計算方法；鄒萬杰等[13]采用一般積分形式黏彈性阻尼器微積分方程組建立了結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程，并使用模態(tài)應(yīng)變能法將其解耦，進(jìn)而采用傳遞矩陣法進(jìn)行求解，獲得了結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析表達(dá)式。

綜上，對于考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)，可使用復(fù)特征值迭代法進(jìn)行動力學(xué)特性的計算，但計算量較大。也可采用模態(tài)應(yīng)變能迭代法，模態(tài)應(yīng)變能迭代法雖不如復(fù)特征值迭代法精確，但在滿足工程應(yīng)用的誤差允許范圍內(nèi)，具有更高的計算效率。本文將涂覆黏彈性涂層的壓氣機(jī)葉片簡化為考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板，基于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法提出了一種修正的模態(tài)應(yīng)變能法，推導(dǎo)出考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板的求解算法，即一種基于修正模態(tài)應(yīng)變能法的迭代求解方法，對具有頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板進(jìn)行了動力學(xué)特性分析。

1 修正模態(tài)應(yīng)變能法原理

由模態(tài)應(yīng)變能法得出了一種使用實(shí)特征向量求解阻尼系統(tǒng)損耗因子的近似方法，極大地提高了運(yùn)算效率并且其運(yùn)算過程可以很容易地通過大型商業(yè)有限元軟件實(shí)現(xiàn)。然而對經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法的計算公式進(jìn)行分析后不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法采用無阻尼系統(tǒng)實(shí)特征向量替代阻尼系統(tǒng)復(fù)特征向量，這是由于沒有將剛度矩陣的虛部考慮進(jìn)去，即沒有考慮阻尼剛度矩陣[KI]，這樣會在一定程度上導(dǎo)致誤差的出現(xiàn)。本文推導(dǎo)了一種修正的模態(tài)應(yīng)變能法，其核心思想是通過加權(quán)阻尼剛度矩陣對無阻尼系統(tǒng)的模態(tài)振型進(jìn)行修正，修正后的特征方程為：

(1)

其中β為修正系數(shù)，其計算方法如下：

(2)

采用修正模態(tài)應(yīng)變能法時，其結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子定義為

(3)

由于修正模態(tài)應(yīng)變能法將結(jié)構(gòu)復(fù)剛度矩陣的虛部貢獻(xiàn)考慮在內(nèi)，因此可提高結(jié)構(gòu)阻尼預(yù)估的準(zhǔn)確性。HU B[14]針對該方法與經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行了誤差分析，分析結(jié)果顯示該修正方法具有更小的誤差。

2 修正模態(tài)應(yīng)變能法計算方法

基于修正模態(tài)應(yīng)變能法的計算流程主要包含5個關(guān)鍵步驟：無阻尼振型的求解、修正系數(shù)的計算、原始損耗因子的計算、修正振型的求解和修正損耗因子的求解，具體流程圖如表1、表2所示。

圖1 修正模態(tài)應(yīng)變能法的計算流程

為了對比修正模態(tài)應(yīng)變能法與經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法計算結(jié)果的差別，以不考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板為研究對象，黏彈性復(fù)合板參數(shù)如表1和表2所示。

表1 方形板幾何參數(shù)與材料參數(shù)

表2 黏彈性涂層幾何參數(shù)與材料參數(shù)

依次設(shè)置方形板的材料損耗因子為0.0001、0.001、0.01、0.1，分別使用經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法與修正模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行1階模態(tài)損耗因子的計算，并將兩種計算方法的誤差進(jìn)行對比(圖2)。

圖2 兩種計算方法誤差率

圖中誤差率定義為(計算結(jié)果-精確解)/精確解。精確解定義為復(fù)特征值法的1階固有頻率計算結(jié)果。根據(jù)圖2可知，使用修正模態(tài)應(yīng)變能法的誤差率低于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法。

3 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算方法

黏彈性材料的材料屬性在不同頻率下具有不同的數(shù)值，即存在頻率依賴性，因此無法在整個分析過程中指定一個確定的彈性模量與材料損耗因子。對于這種情況，可使用迭代法逐步計算各階固有頻率[15]，并且通過實(shí)驗驗證了該方法的有效性。由于黏彈性層的厚度相對于彈性層略小，為減少計算量，先計算無頻率依賴性復(fù)合結(jié)構(gòu)的各階固有頻率，并以此作為求解考慮頻率依賴性復(fù)合結(jié)構(gòu)各階固有頻率的基礎(chǔ)。這里使用黏彈性材料的靜態(tài)模量作為無頻率依賴性的材料彈性模量，迭代法求解固有頻率的具體計算流程如下，流程圖如圖3所示。

1) 求解無頻率依賴性結(jié)構(gòu)的固有頻率，即設(shè)置材料參數(shù)為ω=0對應(yīng)的彈性模量值；

2) 使用無頻率依賴性的結(jié)構(gòu)第r階頻率計算具有頻率依賴性結(jié)構(gòu)的黏彈性材料層的儲能模量；

3) 使用ωi,j-1對應(yīng)的黏彈性層材料參數(shù)計算當(dāng)前結(jié)構(gòu)的第r階固有頻率ωr,j；

5) 輸出滿足收斂性的第r階固有頻率ωr，計算結(jié)束。

圖3 迭代法求解固有頻率計算流程圖

根據(jù)上述固有頻率的計算步驟，可得考慮頻率依賴性的復(fù)合結(jié)構(gòu)各階固有頻率，再根據(jù)各階固有頻率確定各階模態(tài)對應(yīng)的黏彈性材料的彈性模量。因此可將問題簡化為計算常值彈性模量的結(jié)構(gòu)損耗因子問題，進(jìn)而應(yīng)用前文提出的修正模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行求解。該求解過程主要由以下幾個步驟組成(圖4)。

1) 計算第r階模態(tài)下，黏彈性材料的彈性模量Ev(ωr)；

2) 計算該階模態(tài)振型φ，計算修正系數(shù)β以及修正振型φ；

3) 計算損耗因子ηr。

圖4 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算流程圖

4 計算算例

考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板的參數(shù)如表1和表2所示，分別使用復(fù)特征值迭代法和修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算其動力學(xué)特性。

固有頻率計算結(jié)果如表3所示，表中誤差定義為：(復(fù)特征值迭代法計算結(jié)果-修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算結(jié)果)/復(fù)特征值迭代法計算結(jié)果×100%。各階振型計算結(jié)果如表4所示。

表3 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法固有頻率計算結(jié)果

表4 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法振型計算結(jié)果

修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算誤差隨階次增大逐漸增大，第6階誤差最大為1.56%。

使用修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法與復(fù)特征值迭代法計算的前12階模態(tài)損耗因子如表5所示，表中誤差定義為：(復(fù)特征值迭代法計算結(jié)果-修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算結(jié)果)/復(fù)特征值迭代法計算結(jié)果×100%。

表5 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法模態(tài)損耗因子計算結(jié)果

兩種方法計算的黏彈性復(fù)合板的結(jié)構(gòu)損耗因子都在第6階出現(xiàn)峰值，此時誤差為0.39%。

5 結(jié)語

本文首先對比了經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法和修正模態(tài)應(yīng)變能法對無頻率依賴性黏彈性復(fù)合板結(jié)構(gòu)損耗因子的計算結(jié)果，之后使用修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法和復(fù)特征值迭代法計算頻率依賴性黏彈性復(fù)合板的動力學(xué)特性，得出以下結(jié)論：

1) 修正模態(tài)應(yīng)變能法考慮了復(fù)剛度矩陣的虛部貢獻(xiàn)量，從算例計算結(jié)果來看相對于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法精確度更高，且計算量小于復(fù)特征值法。

2) 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算的固有頻率誤差會隨著階次增大逐漸增大。從振型來看，由于復(fù)特征值迭代法計算得出的振型為復(fù)振型，不同時刻節(jié)線的位置會變化，但是其振型與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算結(jié)果基本一致。

3) 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法在結(jié)構(gòu)損耗因子峰值附近計算結(jié)果最準(zhǔn)確，在遠(yuǎn)離峰值處計算誤差較大。

綜上，考慮到復(fù)特征值迭代法需要求出無阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的全模態(tài)特征向量，對于自由度較多的結(jié)構(gòu)，其計算量較大，而修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計算精度較高，且相對于復(fù)特征值迭代法能夠提高計算效率。