基于MI-Granger-NARX融合模型的鐵路網(wǎng)規(guī)模測算方法

錢名軍，李引珍，何瑞春，曾海軍

(1.蘭州交通大學 交通運輸學院，甘肅 蘭州 730070；2.寧波軌道交通集團運營分公司，浙江 寧波 315101)

作為國民經(jīng)濟大動脈、關鍵基礎設施的鐵路交通系統(tǒng)，是我國現(xiàn)代化綜合交通運輸體系的重要骨干和實現(xiàn)“交通強國”戰(zhàn)略的主要力量，其建設規(guī)模和發(fā)展質(zhì)量將對國家的經(jīng)濟社會乃至資源生態(tài)環(huán)境等產(chǎn)生重要影響。因此，為更好地發(fā)揮鐵路對經(jīng)濟、社會持續(xù)健康發(fā)展的促進和先導作用，切實提高鐵路網(wǎng)規(guī)劃建設的科學性和前瞻性，需要我們從廣闊的視角和長遠的戰(zhàn)略來探究鐵路網(wǎng)發(fā)展規(guī)律，研究鐵路網(wǎng)建設規(guī)模問題，進而為鐵路交通部門制定科學合理的鐵路網(wǎng)中長期發(fā)展規(guī)劃和年度鐵路建設計劃提供科學決策依據(jù)，以實現(xiàn)鐵路建設資金的有效投入、鐵路網(wǎng)絡系統(tǒng)的健康發(fā)展。

一個國家的鐵路網(wǎng)發(fā)展規(guī)模和建設進程除了有其自身內(nèi)在的形成及演化機理和運行機制外，在很大程度上還受到人口和資源數(shù)量及分布、經(jīng)濟社會發(fā)展、交通運輸政策等外部因素的影響。這些因素與鐵路系統(tǒng)相互作用、彼此影響，形成了一個復雜巨系統(tǒng)。這使得鐵路網(wǎng)規(guī)模測算成了一個系統(tǒng)而復雜的難題，難以建立準確的解析數(shù)學模型。

目前，交通網(wǎng)里程規(guī)模的測算方法主要有統(tǒng)計模型法[1]、運輸需求分析法[2-4]、類比研究法[5]、網(wǎng)絡分析法[6-8]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型[9]等。文獻[1]構建了鐵路網(wǎng)密度與人口密度、人均GDP之間的宏觀規(guī)模需求統(tǒng)計模型，并針對地理環(huán)境、產(chǎn)業(yè)結構、政策偏好等影響因素設計了依賴-偏好指數(shù)對模型進行修正。文獻[2]針對城市軌道交通線網(wǎng)規(guī)模需求的梯度效應、彈性效應等，結合城市經(jīng)濟承受力、環(huán)境資源容量等外部約束，給出了相應的軌道交通規(guī)?？锼隳Ｊ健Ｎ墨I[5]從路網(wǎng)密度、運輸負荷、網(wǎng)距和路網(wǎng)強度4個方面將我國鐵路網(wǎng)與典型國家鐵路網(wǎng)進行類比研究，以此來推斷我國鐵路網(wǎng)的適宜規(guī)模。文獻[6]根據(jù)中國鐵路網(wǎng)的層級結構特點，綜合采用連通度法和GIS技術來測算鐵路網(wǎng)總規(guī)模。文獻[9]通過對公路網(wǎng)規(guī)模影響因素的分析，建立了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的公路網(wǎng)規(guī)模預測模型。這些測算方法的適應性、實用性和測算精度不一而足，選取的研究指標差異較大，大多僅憑經(jīng)驗或定性分析即決定影響變量的取舍，未作科學的論證篩選，且主要側(cè)重于終極穩(wěn)態(tài)下的路網(wǎng)總里程規(guī)模測算,而對社會經(jīng)濟系統(tǒng)與鐵路網(wǎng)規(guī)模的協(xié)同匹配關系與時序演進規(guī)律考慮較少，無法根據(jù)某一具體年度或相應時期的經(jīng)濟社會發(fā)展指標對鐵路網(wǎng)建設的合理規(guī)模進行準確測算。

實際上，由圖1可知，近20多年來，隨著經(jīng)濟的持續(xù)發(fā)展和社會的穩(wěn)定繁榮，我國的鐵路網(wǎng)里程規(guī)模與人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民消費水平、全社會客貨運量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資等指標變量的時序變化趨勢，盡管短期變化方向、波動幅度不盡一致，但長期趨勢密切相關。

圖1 1993—2019年鐵路網(wǎng)里程與相關變量的時序變化趨勢

基于此，本文在綜合分析鐵路網(wǎng)規(guī)模內(nèi)外部影響因素的基礎上，首先，運用互信息(Mutual Information，MI)理論和Granger因果關系檢驗對12項初選指標變量進行篩選，得到對鐵路網(wǎng)里程規(guī)模影響力度最大、解釋能力最強的7個變量。然后，引入具有動態(tài)反饋調(diào)節(jié)和延遲單元、帶外部輸入的非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(Nonlinear Auto-Regressive Models with Exogenous Inputs Neural Network，NARX)建立鐵路網(wǎng)規(guī)模測算模型，以篩選所得7個指標變量作為NARX網(wǎng)絡的自變量輸入，鐵路網(wǎng)里程序列作為自回歸因變量輸入，來測算鐵路網(wǎng)里程規(guī)模。最后，通過算例驗證了本方法的有效性和測算精度。

1 相關性理論與NARX原理

1.1 多元變量相關性理論

(1)互信息理論

作為多變量相關性分析方法，互信息法從信息論角度出發(fā)，運用“熵”的概念來量化測度變量間共有信息的多少，以反映變量間相互依賴的強弱程度[10]。與典型相關性分析方法要求變量數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布且只能測度線性相關關系相比，互信息為無參數(shù)估計法，對變量數(shù)據(jù)的分布類型沒有特殊要求，既能準確刻畫線性相關關系，又能有效捕捉非線性相關關系。因此，適用于鐵路網(wǎng)非線性系統(tǒng)的特征變量篩選。

定義1：設離散型隨機變量X，概率分布為p(x)，則度量其信息含量(信息結構、不確定性等)的信息熵為

(1)

定義2：若離散型隨機變量X、Y的邊緣概率分布和聯(lián)合概率分布分別為p(x)、p(y)和p(x,y)，則已知X條件下Y的條件熵為

(2)

已知Y條件下X的條件熵為

(3)

(X,Y)的二維聯(lián)合熵為

(4)

定義3：聯(lián)合概率分布p(x,y)與邊緣概率分布p(x)、p(y)的相對熵即為互信息I(X,Y)

(5)

當兩變量相關性越大、相互依賴程度越高，所包含的共同信息也越多，互信息值I(X,Y)越大。反之，當變量X和Y完全無關或相互獨立時，意味著兩變量間不存在共同信息，互信息的結果最小為0。

(2)Granger動態(tài)因果關系檢驗

Granger因果關系檢驗用于經(jīng)濟變量間動態(tài)相關關系的量化分析[11]。它假設每個相關變量的預測信息都包含在其時間序列中，常用于檢驗一個變量是否對另一個變量具有解釋、預測能力。

對于同階單整的平穩(wěn)時間序列Xt、Yt，Granger因果檢驗要求估計以下廣義回歸模型：

無約束回歸模型：

(6)

有約束回歸模型：

(7)

式中：Yt、Yt-j分別為被解釋變量的當期值和j期滯后值；Xt-i為解釋變量的滯后i期值；ai、βj、λj為回歸系數(shù)；m、n、p為對應變量的最大滯后期；μ1 t、μ2 t為誤差項。

通過構造上述方程的F統(tǒng)計量即可實現(xiàn)Granger檢驗[12]。利用式(6)、式(7)分別進行包含與不包含外生變量X滯后項的最小二乘回歸，得相應殘差平方和記為URSS、RRSS，則對應的F統(tǒng)計量為

(8)

式中：n為X的滯后項個數(shù)；N為樣本容量。

如果F值大于給定顯著水平下響應臨界值Fα(n,N-2n-1)，則拒絕原假設，即認為“變量X是變量Y的Granger原因”，也說明變量X的過去值有能力解釋、預測變量Y的值。反之，則接受“變量X不是變量Y的Granger原因”的原假設，即變量X對變量Y的變化沒有解釋、預測能力。

1.2 NARX原理

帶外部輸入的NARX是一種動態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡。相較于靜態(tài)、無反饋的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡如BP網(wǎng)絡，NARX網(wǎng)絡具有反饋結構和延遲單元，不僅考慮了外部輸入對輸出產(chǎn)生的影響，而且通過延遲單元將輸出反饋也引入到靜態(tài)多層感知器，使輸出層能實時地將包含歷史信息的輸出數(shù)據(jù)反饋到輸入層，參與下一次的迭代訓練，從而使網(wǎng)絡具有動態(tài)記憶性且系統(tǒng)信息保留更加完整，提高了模型的學習能力和預測精度[13-14]。同時，其收斂速度和學習效率也優(yōu)于BP網(wǎng)絡和全回歸網(wǎng)絡[15]。

(1)NARX的神經(jīng)網(wǎng)絡結構

本文采用的NARX網(wǎng)絡為多輸入單輸出結構，主要由輸入層、隱含層、輸出層和輸入、輸出延遲單元構成，模型結構見圖2。

圖2 NARX動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡結構圖

模型方程為

(9)

式中：fh、fo分別為訓練得到的隱含層、輸出層非線性映射函數(shù)；bh、bo分別為隱含層、輸出層閾值；dx、dy分別為輸入、輸出延遲階數(shù)；M為網(wǎng)絡隱含層神經(jīng)元數(shù)；Wh,i、Wh,j、Wh,o分別為輸入層與隱含層、反饋連接與隱含層、隱含層與輸出層之間的權重系數(shù)；y(t)為t時刻神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出值，y(t-j)，(j=1,2,…,dy)為t-j時刻系統(tǒng)的輸出值；xk(t-i)，(k=1,2，…,p;i=1,2,…,dx)為神經(jīng)網(wǎng)絡第k個外部輸入變量序列在t-i時刻的輸入值，p為外部輸入變量序列維數(shù)。

(2)NARX神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)確定

運用NARX模型進行測算時，確定其隱含層的神經(jīng)元個數(shù)和模型的輸入、輸出延遲階數(shù)是關鍵。

①隱含層神經(jīng)元數(shù)M

隱含層神經(jīng)元個數(shù)決定了所建模型的復雜程度。隱含層神經(jīng)元個數(shù)為

(10)

式中：M為隱含層神經(jīng)元個數(shù)；I為輸入層神經(jīng)元個數(shù)；O為輸出層神經(jīng)元個數(shù);a為0到10之間的常數(shù)。

②輸入、輸出延遲階數(shù)d

延遲階數(shù)表示當前輸出值會受到前幾期輸入值的影響。采用AIC(Akaike’s Information Criterion)準則確定，表達式為

AIC(d)=lnA+2d/N

(11)

綜上，NARX網(wǎng)絡兼具時間序列回歸模型和非線性動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點，非常適合結構復雜的非線性、時變系統(tǒng)的時間序列預測建模，日益成為非線性動態(tài)系統(tǒng)中應用廣泛的一種神經(jīng)網(wǎng)絡。

2 鐵路網(wǎng)規(guī)模主要影響因素的相關性分析

2.1 鐵路網(wǎng)規(guī)模主要影響因素的定性分析

研究表明，影響鐵路網(wǎng)規(guī)模的因素眾多，可歸納為外部因素和內(nèi)部因素兩大類。外部因素涉及自然地理、經(jīng)濟社會和交通政策等方面，內(nèi)部因素涉及鐵路系統(tǒng)自身的運營技術和組織效率等方面。

(1)自然地理因素

自然地理包括國土面積、人口與資源數(shù)量及分布。國土面積越大、人口與資源數(shù)量越多、分布越廣，則一定程度上需要規(guī)劃更大規(guī)模的鐵路網(wǎng)才能滿足需求，以實現(xiàn)交通路網(wǎng)合理布局。

(2)經(jīng)濟社會因素

經(jīng)濟、社會的發(fā)展規(guī)模和質(zhì)量直接影響鐵路客貨運輸需求，進而決定鐵路網(wǎng)的建設規(guī)模。伴隨經(jīng)濟的繁榮、社會的發(fā)展，GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平等指標逐步增長，帶動越來越多的人員、物資等生產(chǎn)要素的流動、聚合形成更大的客貨運量，進而推動鐵路網(wǎng)規(guī)模有序擴張，以改善交通運輸環(huán)境、提高運輸服務質(zhì)量。

所以，當鐵路網(wǎng)規(guī)模與經(jīng)濟、社會發(fā)展階段匹配適度時，不僅能滿足當前國民經(jīng)濟發(fā)展的現(xiàn)實需求，還能激發(fā)或吸引潛在的客貨運輸需求，對經(jīng)濟、社會發(fā)展具有明顯的推動和先導性作用。當鐵路網(wǎng)規(guī)模與經(jīng)濟、社會發(fā)展匹配失度時，建設過于超前易造成路網(wǎng)設備設施利用率低下、浪費國家投資，建設過于滯后則易導致路網(wǎng)通行能力無法滿足現(xiàn)實需求、制約經(jīng)濟持續(xù)健康發(fā)展。可見，鐵路網(wǎng)規(guī)模與經(jīng)濟、社會發(fā)展之間存在相互促進、彼此制約的相互關系。

(3)交通政策因素

交通政策主要表現(xiàn)為對相應交通運輸方式的固定資產(chǎn)投資額。對鐵路運輸業(yè)的固定資產(chǎn)投資額度直接影響鐵路網(wǎng)基礎設施的建設規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量，并最終影響到客貨運量結構、運輸市場份額等。

(4)運輸技術和組織管理因素

運輸技術和組織管理包括鐵路運輸密度、貨車周轉(zhuǎn)時間、貨車平均靜載重等指標。運輸密度是一定時期客貨運周轉(zhuǎn)量與其路網(wǎng)里程的比值，是衡量運能與運量匹配適應程度的指標。為確保運輸密度在合理范圍，鐵路網(wǎng)里程規(guī)模需求與運量匹配適度。貨車周轉(zhuǎn)時間指貨車每完成一次周轉(zhuǎn)所平均消耗的時間，是反映日常運營組織效率的指標。貨車周轉(zhuǎn)時間越小，則機車車輛周轉(zhuǎn)速度越快，運輸組織效率越高，完成相同的運輸量需要的鐵路網(wǎng)規(guī)模就越小。貨車平均靜載重是反映貨車在裝車或重車狀態(tài)下標記載重量利用率的重要指標。它不僅受車種型號、車輛構造及所運貨物的性質(zhì)尺寸、包裝狀況等影響，還與鐵路部門的貨物裝載技術方法密切相關，是評價貨運組織質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標之一。該值越大，則完成相同運量需要的貨車數(shù)量越少，即單位里程的運輸能力和效率越大，需要的鐵路網(wǎng)里程就越少。

因此，本文綜合現(xiàn)有研究成果[4-6,8]并考慮指標數(shù)據(jù)的可得性、代表性和完備性，初步選取人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、全社會客運量、貨物周轉(zhuǎn)量、旅客周轉(zhuǎn)量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資、鐵路運輸密度、貨車周轉(zhuǎn)時間、貨車平均靜載重共12項指標作為影響鐵路網(wǎng)里程規(guī)模的內(nèi)外部因素的表征指標集，見表1。

表1 影響鐵路網(wǎng)規(guī)模的內(nèi)、外部因素

在不同的經(jīng)濟、社會發(fā)展階段，上述因素共同作用決定了當時及未來一段時期的鐵路網(wǎng)適宜規(guī)模。

2.2 影響因素的互信息相關性分析

為檢驗上述基于定性分析所選取的12項影響因素與鐵路網(wǎng)里程規(guī)模的相關性強弱，以1993—2019年的相關數(shù)據(jù)序列為研究樣本，利用式(5)求出各影響因素與鐵路網(wǎng)總里程和普速鐵路里程的互信息值，見表2。其中“普速鐵路里程=鐵路網(wǎng)總里程-高速鐵路里程”(我國自2008年起才有真正意義上的高速鐵路里程統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在此之前按0公里計算)。

表2 各變量互信息值

由表2可知，人口密度、人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、貨物周轉(zhuǎn)量、旅客周轉(zhuǎn)量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資、貨車平均靜載重這9項指標變量與鐵路網(wǎng)總里程及普速鐵路里程的互信息值均高于0.8，從統(tǒng)計學意義上認為其對鐵路網(wǎng)規(guī)模的影響力度極大、相關性極強。而全社會客運量、鐵路運輸密度和貨車周轉(zhuǎn)時間這3項指標與鐵路網(wǎng)里程的互信息值均低于0.6，從統(tǒng)計學意義上認為其對鐵路網(wǎng)規(guī)模的影響力較弱、關聯(lián)性較低，可直接從初始指標集中予以剔除。同時，全社會貨運量與貨物周轉(zhuǎn)量均為全社會貨運規(guī)模的表征指標，彼此間的相關性達0.989 9，為避免輸入變量的高自相關性出現(xiàn)過擬合而影響模型測算精度，本文保留與鐵路網(wǎng)規(guī)模相關性更高的全社會貨運量指標，而剔除相關性略低的貨物周轉(zhuǎn)量指標。

至此，影響因素變量由原來的12個約簡為8個：X1為人口密度；X2為人均GDP；X3為社會消費品零售總額；X4為居民年均消費水平；X5為全社會貨運量；X6為旅客周轉(zhuǎn)量；X7為鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資；X8為貨車平均靜載重。這在一定程度上去除了輸入變量中的冗余信息、降低了變量維度，可避免出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。

2.3 影響因素的Granger因果關系檢驗

為確?；诨バ畔⒎ㄋY選變量對鐵路網(wǎng)規(guī)模的解釋、預測力度，提高測算模型的穩(wěn)定性、收斂效果和泛化能力，需對8個變量再進行Granger因果關系檢驗。

(1)變量序列平穩(wěn)性檢驗

為消除不同序列量綱單位和異方差的影響，又不改變數(shù)據(jù)間的協(xié)整關系，需對各變量序列進行自然對數(shù)標準化處理。

為防止偽回歸現(xiàn)象，進行Granger檢驗前，先用ADF單位根檢驗法對各變量序列進行平穩(wěn)性檢驗。ADF檢驗表明，因變量鐵路網(wǎng)總里程的對數(shù)序列LYz、普速鐵路里程的對數(shù)序列LYp和8個解釋變量的對數(shù)序列LXi(i=1,2,…,8)均不同程度具有趨勢項或截距項，接受存在單位根的原假設，即原變量對數(shù)序列都是非平穩(wěn)序列。而各變量所對應的一階差分序列ΔLYz、ΔLYp、ΔLXi(i=1,2,…,8)經(jīng)ADF檢驗，均拒絕存在單位根的原假設，呈現(xiàn)出較好的平穩(wěn)性，其一階差分序列的ADF檢驗結果見表3。

表3 各變量一階差分序列的ADF檢驗結果

由表3可知，因變量Yj(j=z,p)和解釋變量Xi(i=1,2,…,8)的一階差分序列對應的ADF檢驗統(tǒng)計量均至少小于5%的顯著性水平臨界值，其接受存在單位根的相伴概率均低于5%，也就是說至少在95%的置信度水平下各一階差分序列均拒絕存在單位根的原假設，表明各差分序列的平穩(wěn)性良好，滿足協(xié)整檢驗條件。

(2)Johansen協(xié)整檢驗

協(xié)整檢驗是用于判斷鐵路網(wǎng)規(guī)模變量Yj(j=z,p)與其解釋變量Xi(i=1,2,…,8)是否存在長期穩(wěn)定的均衡關系[16]。因涉及3個及以上變量的協(xié)整分析，故采用Johansen協(xié)整檢驗法，且該方法包含了跡檢驗和最大特征值檢驗兩種方法，可使結論更穩(wěn)健。依據(jù)最小AIC準則，選取最佳滯后階數(shù)為2。協(xié)整檢驗結果見表4、表5。

從表4、表5可見，Johansen協(xié)整檢驗的兩個對應結果均顯示，各原假設的檢驗統(tǒng)計量都明顯大于其5%顯著水平下的臨界值，且接受原假設的概率都小于0.05，這表明協(xié)整方程的個數(shù)不止7個而至少有8個。因此，驗證了鐵路網(wǎng)規(guī)模變量Yj(j=z,p)與人口密度X1、人均GDPX2等8個解釋變量均存在長期穩(wěn)定的協(xié)整關系，具備進行Granger因果關系檢驗的條件。

(3)Granger因果關系檢驗

為避免Granger因果關系檢驗受變量平穩(wěn)程度或樣本容量長度的影響，本文針對鐵路網(wǎng)規(guī)模變量Yj(j=z,p)與解釋變量Xi(i=1,2,…,8)的相互關系進行了1～6階滯后期的Granger檢驗，以排除滯后期敏感性對檢驗結果的影響。限于篇幅分別只列出了滯后1～3期的檢驗結果，見表6、表7。

表4 總里程與解釋變量的Johansen協(xié)整檢驗結果

表5 普速鐵路里程與解釋變量的Johansen協(xié)整檢驗結果

表6 總里程與解釋變量間的Granger因果關系檢驗

從表6、表7可見，在90%的置信度水平下，除了人口密度X1連續(xù)6期的檢驗結果均不同程度接受了“不是鐵路網(wǎng)總里程LYz和普速鐵路里程LYp的Granger原因”的原假設外，其余7個變量均顯著拒絕了“不是鐵路網(wǎng)總里程LYz和普速鐵路里程LYp的Granger原因”的原假設。這表明人口密度X1很大程度上并不是推動鐵路網(wǎng)里程規(guī)模Yj(j=z,p)增長的Granger原因，而人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、旅客周轉(zhuǎn)量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資和貨車平均靜載重等7個變量的增長才是推動鐵路網(wǎng)里程增長的Granger原因。

通過進一步的Granger因果關系檢驗，篩選出了對鐵路網(wǎng)里程規(guī)模最具解釋力的7個變量，有力支撐了模型輸入變量選取的科學合理性。

表7 普速鐵路里程與解釋變量間的Granger因果關系檢驗

3 測算實例

3.1 數(shù)據(jù)來源及預處理

文中鐵路網(wǎng)里程、年度總?cè)丝凇DP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨物運輸量、全社會旅客運輸量、貨物周轉(zhuǎn)量、旅客周轉(zhuǎn)量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資、全國鐵路客貨運總換算周轉(zhuǎn)量、貨車周轉(zhuǎn)時間、貨車平均靜載重等統(tǒng)計指標數(shù)據(jù)，分別是從國家統(tǒng)計局官網(wǎng)、《鐵道統(tǒng)計公報》(2000—2019年)和《鐵路運輸生產(chǎn)建設統(tǒng)計公報》(1993—1999年)中提取整理得到。

根據(jù)研究需要，將各序列按照85%、15%的比例劃分為訓練集和測試集，并按模型對輸入數(shù)據(jù)的格式要求進行元胞化轉(zhuǎn)換。

3.2 NARX神經(jīng)網(wǎng)絡訓練

將經(jīng)過Granger動態(tài)因果檢驗的7個解釋變量序列Xi(i=2,3，…,8)作為外部輸入項，將鐵路網(wǎng)規(guī)模變量Yj(j=z,p)分別作為自回歸輸入項，運用MatlabR2017b構建NARX網(wǎng)絡模型。根據(jù)式(10)、式(11)計算得出神經(jīng)元個數(shù)和延遲階數(shù)，并結合程序運行效果，綜合確定隱含層神經(jīng)元個數(shù)為12，輸入、輸出延遲階數(shù)為2。為提高模型測算精度、泛化性能，先用開環(huán)(Open-loop)結構，采用以網(wǎng)絡權值平方和與誤差平方和加權值作為性能評價函數(shù)的貝葉斯正則化算法(Bayesian Regularization，BR)來訓練網(wǎng)絡，訓練精度設置為10-3，最大迭代次數(shù)為1 000次。

圖3為鐵路網(wǎng)總里程Yz的NARX測算模型迭代訓練效果圖，共循環(huán)迭代163步后訓練停止，迭代至第63步時即達到穩(wěn)定效果，此時整個數(shù)據(jù)集的均方誤差為0.007 5。

圖3 NARX網(wǎng)絡訓練效果圖

圖4為3個對應數(shù)據(jù)集的線性回歸系數(shù)擬合優(yōu)度?？梢姅M合優(yōu)度值R都非常接近1，表明預測值與目標值高度吻合，模型具有良好的泛化能力和預測性能。

圖4 模型回歸系數(shù)擬合優(yōu)度

圖5 預測效果誤差圖

圖5為NARX網(wǎng)絡預測效果誤差圖，其中豎直方向的黃色線段表示預測值與實際值的誤差，該線段越少、越短即表示網(wǎng)絡預測效果越好。由圖5可見，預測值與實際值誤差很小，最大誤差不超過0.2，表明此NARX動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度較高，適用于鐵路網(wǎng)里程規(guī)模的準確測算。

圖6為NARX網(wǎng)絡預測誤差自相關圖，其值在滯后階數(shù)為0時應該最大，其他情況以不超過95%的置信區(qū)間為最佳。由圖6可見，誤差自相關系數(shù)除0階以外，其他階數(shù)的值都在置信區(qū)間以內(nèi)且近乎為0。說明該模型各延遲階數(shù)的預測誤差是彼此獨立、非線性、不相關的，證明模型的預測性能良好。

表8 4種神經(jīng)網(wǎng)絡模型的測算性能對比

圖6 模型誤差自相關圖

綜上，可以判斷所構建的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡模型達到了預期效果，可用于鐵路網(wǎng)里程規(guī)模的測算。

3.3 測算性能檢驗

(1)平均絕對百分誤差δMAPE

(12)

(13)

將訓練好的MI-Granger-NARX融合模型調(diào)成閉環(huán)結構(Close-loop)對2017—2019年的鐵路網(wǎng)總里程進行測算，并與其他3種神經(jīng)網(wǎng)絡測算結果和相應年度的鐵路網(wǎng)總里程實際數(shù)據(jù)進行對比，見表8。

同時，根據(jù)本模型可以測算出2020年底我國鐵路網(wǎng)總里程規(guī)模將達到14.63萬km，其中普速鐵路里程為10.73萬km、高速鐵路里程為3.90萬km。也就是說，我國鐵路網(wǎng)建設進程若不因當前宏觀發(fā)展趨勢的波動而出現(xiàn)重大調(diào)整，則2020年度我國將新增約0.65萬km鐵路線路，其中高鐵新增約0.40萬km。這與2016年版《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中“到2020 年，鐵路網(wǎng)規(guī)模達到15萬km”的規(guī)劃目標非常接近。從國民經(jīng)濟發(fā)展狀態(tài)及趨勢來看，目前我國普速鐵路發(fā)展基本協(xié)調(diào)，高速鐵路發(fā)展較為迅速。未來我國普速鐵路、高速鐵路均還有一定的發(fā)展空間，但都應確保與國民經(jīng)濟發(fā)展需求相適應、相匹配。

4 結論

(1)影響我國鐵路網(wǎng)里程規(guī)模的因素眾多，但起決定作用的因素主要是人均GDP、社會消費品零售總額、居民年均消費水平、全社會貨運量、旅客周轉(zhuǎn)量、鐵路運輸業(yè)固定資產(chǎn)投資和貨車平均靜載重等7項指標。

(2)互信息法和Granger因果關系檢驗作為統(tǒng)計意義上的相關性量化檢驗方法，其結果對鐵路網(wǎng)規(guī)模測算變量的篩選有重要作用，可使模型輸入變量解釋能力更強、測算方法更具穩(wěn)健性和科學性。

(3)將帶外部輸入的非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡NARX用于鐵路網(wǎng)規(guī)模測算是可行的，模型較傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡泛化能力更好、測算結果精度更高。

基于MI-Granger-NARX融合模型的鐵路網(wǎng)規(guī)模測算方法，綜合吸納了人均GDP、居民消費水平、全社會貨運量等對鐵路網(wǎng)規(guī)模影響力度最大、解釋能力最強的經(jīng)濟、社會發(fā)展和運輸需求諸多指標作為輸入變量，同時考慮了復雜系統(tǒng)的延遲效應。不僅能根據(jù)當前的經(jīng)濟、社會和行業(yè)發(fā)展數(shù)量、質(zhì)量指標測算出下一年的鐵路網(wǎng)規(guī)模，為年度鐵路網(wǎng)建設計劃確定合理可行的執(zhí)行方案；還能根據(jù)中遠期經(jīng)濟、社會和行業(yè)發(fā)展的預期數(shù)據(jù)，測算出相應時期的鐵路網(wǎng)適宜規(guī)模，為中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃提供科學有效的決策參考。