電學(xué)搭臺(tái) 力學(xué)唱戲 數(shù)學(xué)幫腔
——異曲同工的兩道力、電問題進(jìn)階式分析

李 昱 楊天才

(重慶市第三十七中學(xué)校 400000)

看似運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的兩道力、電題，但物理本質(zhì)相近，采用進(jìn)階式的分析，對(duì)解動(dòng)力學(xué)問題的三把金鑰匙有很好的復(fù)習(xí)鞏固作用，同時(shí)也能正確區(qū)分它們之間的關(guān)系，以及在什么條件下優(yōu)先選用哪條思路更簡潔.解動(dòng)力學(xué)的三把金鑰匙列表如下：

例1 如圖2所示，質(zhì)量為m的鐵塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以水平初速度v0滑上原來靜止在水平光滑地面上質(zhì)量為M的木板上，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，木板足夠長，求：

(1)鐵塊、木板達(dá)共同速度之前各自的受力；

(2)鐵塊、木板達(dá)共同速度之前運(yùn)動(dòng)的加速度；

(3)畫出它們大致運(yùn)動(dòng)過程的v—t圖象；

(4)鐵塊和木板的共同速度及達(dá)到共同速度所需的時(shí)間和位移；

(5)整個(gè)過程鐵塊、木板的速度改變量；

(6)摩擦力對(duì)鐵塊、木板做的功及它們動(dòng)能的變化；

(7)摩擦力對(duì)鐵塊、木板做功的平均功率；

(8)整個(gè)過程產(chǎn)生的內(nèi)能及木板至少多長；

(9)摩擦力對(duì)鐵塊、木板的沖量及動(dòng)量的變化.

解析(1)對(duì)鐵塊和木板，受力分析如圖1所示，鐵塊和木板運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖2所示.

(2)鐵塊和木板所受的摩擦力等大反向，大小為μmg，方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反.對(duì)m，由牛頓第二定律，-μmg=ma1，解得：a1=-μg，對(duì)M，由牛頓第二定律，-μmg=Ma2，解得：a2=μmg/M

(3)二者大致運(yùn)動(dòng)過程的v-t圖象如圖3所示.

點(diǎn)評(píng)通過回答進(jìn)階式的問題，可以體會(huì)這三把金鑰匙的特點(diǎn)及其關(guān)系，在具體問題時(shí)就能找到最簡便的方法.一般來說，(1)如果要列出各物理量在某一時(shí)刻(或恒力持續(xù)作用)的關(guān)系式，優(yōu)先選用牛頓第二定律；(2)研究某一物體受到力的持續(xù)作用發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)，優(yōu)先選用動(dòng)量定理(涉及時(shí)間的問題)或動(dòng)能定理(涉及位移的問題)去解決問題；(3)若研究的對(duì)象為一物體系統(tǒng)，且它們之間有相互作用，一般用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律(機(jī)械能守恒定律)去解決問題，但需注意所研究的問題是否滿足守恒的條件.(4)在涉及相對(duì)位移問題時(shí)則優(yōu)先考慮能量守恒定律，系統(tǒng)克服摩擦力所做的總功等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少量，即轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)內(nèi)能的量.(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現(xiàn)象時(shí)，需注意到這些過程一般均隱含有系統(tǒng)機(jī)械能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)換，這種問題由于作用時(shí)間都極短，因此用動(dòng)量守恒定律去解決.

而且，以上問題都可以用v-t圖像來表示，圖中CB的斜率表示a1，BO的斜率表示a2，t是時(shí)間，v是共同速度，梯形OABC的面積在數(shù)值上等于x1，三角形OAB的面積在數(shù)值上等于x2，三角形OBC的面積在數(shù)值上等于L，三角形OBC的面積乘以摩擦力μmg在數(shù)值上等于系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能Q，同理用圖像中的其他關(guān)系可表示上述所有物理量.

例2 如圖4所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd構(gòu)成矩形回路，已知它們的質(zhì)量分別為m1和m2，電阻分別為R1和R2，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，設(shè)兩導(dǎo)體棒均為沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行，開始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：

(1)兩棒的運(yùn)動(dòng)情況如何；

(2) 畫出兩棒大致的運(yùn)動(dòng)過程的v-t圖象；

(3) 當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4(還未達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng))時(shí)，cd棒的加速度；

(4)兩棒運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后的速度分別為；

(5)兩棒在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱Q最多是多少，各占多少；

(6)通過兩棒某一橫截面的電量q是多大；

(7)兩棒之間的最小距離Δx；

(8)若兩棒從開始運(yùn)動(dòng)到共速的時(shí)間為t0，這個(gè)過程中ab棒、cd棒各自的位移大小.

解析(1)ab棒向cd棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流.ab棒受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力作用做減速運(yùn)動(dòng)，cd棒則在安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，在ab棒的速度大于cd棒的速度時(shí)，回路中總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速．兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，最后兩棒以相同的速度v做勻速運(yùn)動(dòng).∴棒ab做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，棒cd做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng).

(2)如圖5所示.

此時(shí)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流分別為：

(5)由能量守恒定律，焦耳熱