談反證法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

朱 兵

(江蘇省徐州經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)高級中學(xué) 221131)

用反證法證明命題是先假定“結(jié)論不成立”，并將其作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，就會推出矛盾，這個矛盾是通過與已知條件矛盾、與公理或定理矛盾的方式暴露出來的.這個矛盾是如何造成的呢？推理是沒有錯誤的，而且已知條件、公理或定理也沒有錯誤，那么唯一有錯誤的地方就是我們開始所作的假設(shè).“結(jié)論不成立”與“結(jié)論成立”必然有一個正確.既然“結(jié)論不成立”有錯誤，就能肯定結(jié)論必然正確.

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(選修2-2)》第90頁對反證法有明確的定義.從數(shù)學(xué)思想方法的角度來看，反證法是一種化歸與整合的思想，體現(xiàn)了“正難則反”的化歸.下面從高中數(shù)學(xué)解題方法角度對反證法和其它方法進行對比研究.

A．都大于2 B．至少有一個大于2

C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2

點評(1)本題為開放性結(jié)論，可進行解法多樣性的訓(xùn)練，既可用特殊值法，又可以用反證法進行求解.

(2)應(yīng)用反證法解題的步驟為：

假設(shè)：作出與結(jié)論相反的假設(shè)；

推理：將假設(shè)作為條件，并由此通過邏輯推理推導(dǎo)出矛盾；

結(jié)論：根據(jù)矛盾，說明假設(shè)不成立，從而原命題成立.

求證：經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸.

整理,得a(x1-x2)=x1-x2.

因為x1≠x2,所以a=1，這與已知“a≠1”矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

因為a≠1，所以kM1M2≠0.所以結(jié)論成立.

點評采用反證法，假設(shè)“平行”后得出矛盾，從而推翻假設(shè).在數(shù)學(xué)問題中，“平行”的等價轉(zhuǎn)化方式很多，易于下手，例如可通過斜率相等、向量平行、坐標(biāo)運算等角度轉(zhuǎn)化，但“不平行”的局限性比較多.

例3 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．

解法1(反證法、特殊值法)假設(shè){an+1}是等比數(shù)列，則a1+1,a2+1,a3+1成等比.

所以(a2+1)2=(a1+1)(a3+1).

所以(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1).

化簡，得q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．所以假設(shè)不成立，即數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.

解法2(反證法)假設(shè){an+1}是等比數(shù)列，則對任意的k∈N+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1).

因為a1≠0，所以2qk=qk-1+qk+1.

因為q≠0，所以q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．

所以假設(shè)不成立，故{an+1}不是等比數(shù)列．

點評(1)解法1，2都應(yīng)用了反證法，但是解法1利用特殊的三項推導(dǎo)出矛盾，而解法2利用一般的三項推導(dǎo)出矛盾，兩者相比較，解法1的計算要簡潔得多.

(2)反證法一般適用于下列情況：

直接證明較困難的命題；

需要分成很多種情況進行分類討論的命題；

結(jié)論中含有“至少”“至多”“唯一”“有無窮多個”等詞語的命題；

命題的結(jié)論為“否定形式”.

例4 求證：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線與這個平面平行(線面平行的判定定理).

已知：如圖1,a?α,b?α,a∥b.

求證：a∥α.

證明直接證明只能用線面平行的定義，不太容易，所以用反證法.

假設(shè)直線a與平面α不平行，由a?α，則它必與平面α相交，設(shè)a∩α=P，按點P的位置分為兩種情況論述：

(1)若點P∈b，則a∩b=P，與已知a∥b矛盾；

(2)若P?b，根據(jù)異面直線的定義，則直線a,b異面，也與已知a∥b矛盾.

綜上所證，假設(shè)不成立.

所以原命題成立.

點評(1)對一些直接證明不容易的試題，可用反證法，例如本例中若直接證明，必須要證明直線與平面無公共點，這很難證明，所以用反證法更好.

(2)應(yīng)用反證法解答時，要注意書寫必須規(guī)范，特別是開始必須寫出“假設(shè)……”.

(3)反證法推導(dǎo)出的矛盾一般有下列情形：

直接與假設(shè)矛盾；

與已知條件矛盾；

與數(shù)學(xué)定義矛盾；

與公理或定理矛盾；

推出結(jié)果自相矛盾.