基于自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的載荷外推方法研究

牛文鐵 才福友 付景靜

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300350)

0 引言

載荷譜[1-2]是進(jìn)行零部件疲勞壽命預(yù)測(cè)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。目前，載荷譜已經(jīng)在航天、汽車、高鐵等領(lǐng)域得到了廣泛研究與應(yīng)用[3-5]。而我國(guó)大型玉米收獲機(jī)關(guān)鍵零部件載荷譜的編制方法研究尚處于起步階段，與國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家相比還有較大的差距。國(guó)產(chǎn)玉米收獲機(jī)故障頻發(fā)，穩(wěn)定性較差，其主要原因是設(shè)計(jì)水平不高，在研發(fā)設(shè)計(jì)初期大多以仿制和借鑒為主，很多零部件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并沒(méi)有足夠的載荷譜數(shù)據(jù)作為支撐。玉米收獲機(jī)的車架是整車的核心承載部件，承受著割臺(tái)、駕駛室、發(fā)動(dòng)機(jī)、糧倉(cāng)等傳遞的力和力矩，在實(shí)際工作過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)車架裂痕、甚至斷裂的現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了玉米收獲機(jī)的整車性能。因此，采用合理的載荷外推方法進(jìn)行多種工況下玉米收獲機(jī)車架的載荷譜編制，對(duì)于玉米收獲機(jī)車架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和整車性能提高具有重要意義。

在實(shí)際載荷測(cè)試試驗(yàn)中，由于時(shí)間、天氣、試驗(yàn)場(chǎng)地和成本等多種原因，只能進(jìn)行一定時(shí)間內(nèi)載荷時(shí)間歷程的測(cè)量，實(shí)測(cè)載荷僅反映試驗(yàn)期間的載荷時(shí)間歷程，不能反映全壽命周期下的載荷分布，因此需要對(duì)有限的載荷時(shí)間歷程進(jìn)行合理有效的載荷外推[6]。載荷外推是影響載荷譜編制準(zhǔn)確性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。JOHANNESSON[7]提出了基于POT參數(shù)模型的時(shí)域外推方法，通過(guò)設(shè)置峰值的閾值，估計(jì)峰值的分布函數(shù)，在最大限度保留原始載荷時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，重構(gòu)得到外推后的載荷時(shí)間歷程。楊子涵等[8]對(duì)時(shí)域外推過(guò)程中的閾值選取方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種時(shí)域外推過(guò)程中閾值選取的量化方法，解決了時(shí)域外推過(guò)程中閾值選取主觀性較強(qiáng)的問(wèn)題。張英爽等[9]將經(jīng)過(guò)雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)后的載荷循環(huán)均值和載荷循環(huán)幅值的分布分別用正態(tài)分布和威布爾分布進(jìn)行參數(shù)擬合，并以此進(jìn)行載荷外推。翟新婷等[10]、GENG等[11]以混合分布函數(shù)作為函數(shù)擬合模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，該方法的擬合效果優(yōu)于單分布的參數(shù)估計(jì)。但是，參數(shù)外推方法是用純粹的分布函數(shù)來(lái)描述載荷的分布規(guī)律，對(duì)于復(fù)雜、隨機(jī)性較大的載荷，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，大大降低了外推載荷譜與實(shí)際載荷譜的等效性。隨著研究的不斷深入，基于核密度估計(jì)法的非參數(shù)估計(jì)方法被應(yīng)用于載荷外推中，該方法既可很好地保留載荷數(shù)據(jù)本身的分布規(guī)律，又能實(shí)現(xiàn)對(duì)任意載荷分布的擬合。李凡松等[12]采用基于自適應(yīng)帶寬的核密度估計(jì)方法進(jìn)行載荷外推，每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都有其自身對(duì)應(yīng)的帶寬，該方法相較于固定帶寬的核密度估計(jì)方法具有更好的擬合效果。

本文針對(duì)核密度估計(jì)載荷非參數(shù)外推方法中帶寬的選擇問(wèn)題，結(jié)合改進(jìn)的四叉樹分割算法，對(duì)核密度估計(jì)的帶寬計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化，提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的載荷外推方法。以玉米收獲機(jī)車架為研究對(duì)象，通過(guò)與傳統(tǒng)的基于核密度估計(jì)的固定帶寬外推方法和自適應(yīng)帶寬外推方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證該自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的載荷外推方法的準(zhǔn)確性和合理性。

1 核密度估計(jì)

核密度估計(jì)是由ROSENBLATT[13]和PARZEN[14]提出的一種由實(shí)測(cè)分布函數(shù)未知的隨機(jī)變量來(lái)估計(jì)其概率密度函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)方法。該方法不需要知道數(shù)據(jù)的先驗(yàn)分布，也不必對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行任何的假設(shè)，只需要確定輸入的數(shù)據(jù)變量、核函數(shù)以及帶寬就可以估計(jì)輸入數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)。目前，核密度估計(jì)已經(jīng)在電力、醫(yī)療、地理等領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用[15-18]。玉米收獲機(jī)工作時(shí)由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工況多樣，導(dǎo)致負(fù)載波動(dòng)大，實(shí)測(cè)載荷信號(hào)具有很強(qiáng)的分散性和隨機(jī)性，相較于一般的參數(shù)估計(jì)法來(lái)說(shuō)，核密度估計(jì)能更好地描述載荷數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，從而使得載荷外推更加準(zhǔn)確。

基于雨流計(jì)數(shù)矩陣的載荷外推是關(guān)于載荷循環(huán)均值和幅值的二維問(wèn)題，二維核密度估計(jì)表達(dá)式為

(1)

其中

(2)

式中n——輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)

hx、hy——核密度估計(jì)載荷循環(huán)幅值、均值的帶寬

xi、yi——輸入的第i個(gè)載荷循環(huán)幅值、均值

K(·)——核函數(shù)

只要選取的核函數(shù)和帶寬合適，就可以無(wú)限制地去逼近任何隨機(jī)變量真實(shí)的概率密度函數(shù)。大量研究表明，當(dāng)輸入的樣本數(shù)據(jù)量足夠大時(shí)，核函數(shù)的具體形式對(duì)概率密度估計(jì)的準(zhǔn)確性產(chǎn)生的影響相對(duì)較小[19]，本文選擇光滑且連續(xù)、明顯單峰分布的高斯核函數(shù)。二維高斯核函數(shù)表達(dá)式為

(3)

與核函數(shù)相比，帶寬h的選擇對(duì)核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性影響更大[20]。帶寬h決定了(x,y)的光滑程度，若h較大，則有較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)影響此處的概率密度計(jì)算，(x,y)曲線在此處較光滑，但是其與實(shí)際概率密度曲線的偏差較大；若h較小，則有較少的數(shù)據(jù)點(diǎn)影響此處的概率密度計(jì)算，(x,y)曲線在此處較陡峭，但是其與實(shí)際概率密度曲線的偏差較小。因此，為了更加準(zhǔn)確地進(jìn)行核密度估計(jì)，帶寬h的選擇尤為重要。為了定量化實(shí)現(xiàn)最優(yōu)帶寬計(jì)算，提出了平均積分平方誤差(MISE)，MISE表達(dá)式為

(4)

f(x)——實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)真實(shí)的概率密度

E(·)——求均值函數(shù)

拇指法則是目前應(yīng)用最多的固定最優(yōu)帶寬的計(jì)算法則，拇指法則的最優(yōu)帶寬計(jì)算公式為

(5)

式中d——核密度估計(jì)的維數(shù)，取2

σ——輸入二維數(shù)據(jù)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

此外，還可用無(wú)偏交叉驗(yàn)證(Unbiased cross validation)[21]、插入法(Plug-in)[22]等進(jìn)行最優(yōu)帶寬的計(jì)算。上述方法計(jì)算的最優(yōu)帶寬是固定的，即每一個(gè)數(shù)據(jù)都有著同樣的帶寬，不能自動(dòng)調(diào)節(jié)和變化，然而，在核密度估計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性較強(qiáng)，分布不均勻，通過(guò)固定帶寬核密度估計(jì)計(jì)算得到的概率密度可能與實(shí)際的分布相差較大，所以，希望帶寬能夠隨數(shù)據(jù)的變化而變化，在數(shù)據(jù)密集的地方取得小一些，在數(shù)據(jù)稀疏的地方取得大一些。因此，自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)[23-24]得到了廣泛的應(yīng)用，該方法的具體計(jì)算公式為

(x,y)=

(6)

其中

λi=(g-1(xi,yi))-α

(7)

(8)

式中λi——帶寬的自適應(yīng)修訂系數(shù)

α——敏感性參數(shù)，取0～1

一般情況下當(dāng)α取0.5時(shí)，核密度估計(jì)的擬合效果較好[25]，相對(duì)于固定帶寬的核密度估計(jì)來(lái)說(shuō)，自適應(yīng)帶寬在一定程度上提高了核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性，但由于數(shù)據(jù)集中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都會(huì)影響彼此的帶寬，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)集較大時(shí)，會(huì)大大降低核密度估計(jì)的計(jì)算效率。當(dāng)一定數(shù)量的數(shù)據(jù)聚集在一個(gè)很小的區(qū)域時(shí)，此區(qū)域內(nèi)帶寬的差異對(duì)核密度估計(jì)的影響十分有限，因此可以根據(jù)數(shù)據(jù)的聚集程度將同一區(qū)域內(nèi)所有數(shù)據(jù)的帶寬設(shè)置成相同的，就可以避免對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行不必要的詳細(xì)的帶寬計(jì)算，在保證一定核密度估計(jì)準(zhǔn)確性的前提下，提高了計(jì)算效率，所以針對(duì)核密度估計(jì)最優(yōu)帶寬的選擇問(wèn)題，為了更好兼顧核密度估計(jì)的計(jì)算效率與準(zhǔn)確性，本文在上述方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的自適應(yīng)帶寬計(jì)算方法。

2 基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推

基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推主要由3個(gè)步驟組成，包括：核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入、基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割以及基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)。具體的載荷外推流程圖如圖1所示。

2.1 核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入

雨流計(jì)數(shù)法得到的應(yīng)變與材料的應(yīng)力-應(yīng)變遲滯回線具有很好的一致性，并且考慮了載荷循環(huán)幅值和均值2個(gè)變量，符合疲勞載荷本身固有的特性，能夠滿足疲勞壽命預(yù)估以及載荷譜編制的條件，是目前應(yīng)用最為廣泛的實(shí)測(cè)載荷時(shí)間歷程的計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。首先將已經(jīng)預(yù)處理的實(shí)測(cè)載荷利用該方法進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)處理，得到載荷循環(huán)均幅值矩陣M(Mm、Ma)，其中Mm表示載荷循環(huán)均值，Ma表示載荷循環(huán)幅值；在實(shí)際工作中，小幅值載荷循環(huán)的數(shù)量比大幅值載荷循環(huán)大，但是其造成的疲勞損傷非常小[26]，所以可以將小于最大載荷循環(huán)幅值10%的載荷循環(huán)只進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性比例外推，這很大程度上減少了核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入量，從而降低核密度估計(jì)的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。已經(jīng)過(guò)濾掉小幅值載荷循環(huán)的載荷循環(huán)均幅值矩陣記為Mn(Mmn、Man)，并以此作為核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入。

2.2 基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割

四叉樹算法[27]是一種經(jīng)典的空間分割與索引技術(shù)，目前在圖像分割與空間索引領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[28-29]。該算法可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)空間進(jìn)行遞歸四等分割將數(shù)據(jù)區(qū)域分割成密度不等的塊，數(shù)據(jù)越密集的地方，塊的數(shù)量越多，塊相對(duì)較??；而數(shù)據(jù)越稀疏的地方，塊的數(shù)量越少，塊相對(duì)較大，分割出的塊的數(shù)量與大小從一定程度上反映出數(shù)據(jù)的密集程度。數(shù)據(jù)密集的地方采用較小的帶寬，能夠更好地反映出該區(qū)域分布的細(xì)節(jié)，與實(shí)際分布更加接近，擬合效果較好。根據(jù)四叉樹分割算法分割出不同的數(shù)據(jù)塊，計(jì)算各自的局部最優(yōu)帶寬，達(dá)到自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的目的。將一個(gè)區(qū)域進(jìn)行四叉樹分割的流程如圖2所示。

通過(guò)對(duì)區(qū)域不斷執(zhí)行上述四叉樹分割流程，直到所有區(qū)域都不滿足區(qū)域分割的條件，最后可以將原始數(shù)據(jù)區(qū)域分割成大小不盡相同的數(shù)據(jù)塊。判斷數(shù)據(jù)區(qū)域是否需要分割的閾值，數(shù)據(jù)區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值Nmax和數(shù)據(jù)區(qū)域最小寬度Lmin對(duì)分割完成后數(shù)據(jù)塊的大小和數(shù)量有著重要的影響，不同Nmax對(duì)概率密度函數(shù)的影響如圖3所示。

由圖3可知，Nmax較大時(shí)，圖3b不能很好地反映出該區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的細(xì)節(jié)信息；Nmax較小時(shí)，圖3c反映的細(xì)節(jié)信息和圖3a沒(méi)有明顯的差別，但是Nmax越小，四叉樹分割的層次就越深，計(jì)算量越大。

Δan=(maxMan-minMan)/64

(9)

Δmn=(maxMmn-minMmn)/64

(10)

式中Δan——載荷循環(huán)幅值每一級(jí)的長(zhǎng)度

Δmn——載荷循環(huán)均值每一級(jí)的長(zhǎng)度

因此定義四叉樹分割數(shù)據(jù)塊的最小寬度Lmin=min(Δan,Δmn)，這既能提高四叉樹分割的計(jì)算效率，也能最小限度影響核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性。

2.3 基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)

不同數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的帶寬因?yàn)閿?shù)據(jù)的差別而有所不同，但同一數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的帶寬是相同的。當(dāng)一個(gè)數(shù)據(jù)塊內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度比較高，彼此相差不大時(shí)，每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)貢獻(xiàn)的核密度估計(jì)分量的差別很微小，數(shù)據(jù)落入此數(shù)據(jù)塊不同位置的概率近似相同。因此，為了進(jìn)一步提高自適應(yīng)核密度的計(jì)算效率，在數(shù)據(jù)密集程度比較高的塊，不需要每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都進(jìn)行核密度估計(jì)的計(jì)算，只需要將該數(shù)據(jù)區(qū)域數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值作為核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入，再乘以該區(qū)域數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可。在此將表示數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度的參數(shù)定義為

(11)

其中

Lside=min(Δan,Δmn)/2

(12)

H=max(hx,hy)

(13)

當(dāng)γ>1時(shí)，表示該數(shù)據(jù)塊內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度高，可以對(duì)此數(shù)據(jù)塊內(nèi)的核密度估計(jì)計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化。依此改進(jìn)的自適應(yīng)核密度估計(jì)公式為

(x,y)=

(14)

式中N——優(yōu)化前載荷數(shù)據(jù)點(diǎn)總個(gè)數(shù)

N0——優(yōu)化后載荷數(shù)據(jù)點(diǎn)總個(gè)數(shù)

當(dāng)γ>1時(shí)，n(xi,yi)表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，xi、yi分別表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的載荷循環(huán)幅值以及載荷循環(huán)均值的平均值；當(dāng)γ<1時(shí)，n(xi,yi)等于1，xi、yi分別表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的載荷循環(huán)幅值以及載荷循環(huán)均值。

通過(guò)上述方法進(jìn)行自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)后，再結(jié)合Monte Carlo模擬算法進(jìn)行載荷外推。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)方案

玉米收獲機(jī)在實(shí)際工作中，工況較多且復(fù)雜多變，由于地形、車輛載重以及操作行為不規(guī)范等原因，車架時(shí)常會(huì)出現(xiàn)裂紋，大大降低了車架的疲勞強(qiáng)度，影響整車性能，受到很大沖擊時(shí)，甚至?xí)霈F(xiàn)車架整根斷裂的問(wèn)題，嚴(yán)重影響了糧食收獲。由于試驗(yàn)環(huán)境較惡劣，并且測(cè)試部位空間有限，需要選用安裝方便并且固定牢靠的傳感器。因此本試驗(yàn)采用中航工業(yè)公司BE350-4AA型應(yīng)變片進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)取，并通過(guò)有線連接的方式與HBM公司的SoMat eDAQ型數(shù)據(jù)采集儀連接。該數(shù)據(jù)采集儀具有極佳的密封性能和抗震性能，能有效應(yīng)對(duì)水濺、揚(yáng)塵、顛簸等測(cè)試環(huán)境，有線連接的方式能夠確保信號(hào)傳輸?shù)姆€(wěn)定性，通過(guò)數(shù)采的計(jì)算機(jī)終端軟件將采樣頻率設(shè)置為500 Hz。應(yīng)變片的安裝如圖5所示，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)如圖6所示，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成如圖7所示。

砂石路面工況下行駛較為平穩(wěn)，載荷變化相對(duì)較小，大幅值載荷循環(huán)較少，載荷循環(huán)的分布相對(duì)集中；田間收獲工況下載荷容易受田間地面的軟硬程度以及糧倉(cāng)的使用率等因素的影響，載荷的隨機(jī)性較高，平穩(wěn)性較差，大幅值載荷循環(huán)相對(duì)多一些，載荷循環(huán)的分布也更為分散。根據(jù)通過(guò)四叉樹分割算法得到的數(shù)據(jù)塊的大小以及密集程度，能夠很好地反映出這兩種工況下數(shù)據(jù)的密集程度以及分布情況，并且這兩種工況占玉米收獲機(jī)實(shí)際工作工況中很大的比重，具有一定的代表性，為了降低結(jié)論的偶然性，本文采用2種工況下各3組樣本進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)預(yù)處理的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖8所示。

3.2 結(jié)果驗(yàn)證

通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法對(duì)上述已經(jīng)完成預(yù)處理的車架實(shí)測(cè)原始載荷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)處理，得到的部分載荷循環(huán)均幅值頻次分布圖如圖9所示。

由圖9可知，幅值較小的載荷循環(huán)占比較大，將小于最大幅值10%的載荷循環(huán)過(guò)濾掉，過(guò)濾完成的數(shù)據(jù)作為固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入，本文方法的核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入在過(guò)濾的基礎(chǔ)上還需要通過(guò)改進(jìn)的四叉樹算法進(jìn)行優(yōu)化。首先將已經(jīng)篩選好的載荷循環(huán)均幅值矩陣中的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制成如圖10所示的散點(diǎn)圖，并在此散點(diǎn)圖上利用改進(jìn)的四叉樹算法進(jìn)行數(shù)據(jù)區(qū)域的分割操作，數(shù)據(jù)區(qū)域信息如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)區(qū)域信息Tab.1 Information of data area

經(jīng)過(guò)基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割的計(jì)算，數(shù)據(jù)區(qū)域被分割成大小不相同的數(shù)據(jù)塊，每個(gè)數(shù)據(jù)塊都有各自的帶寬，利用式(14)對(duì)數(shù)據(jù)塊的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，在之前濾除小幅值載荷循環(huán)的基礎(chǔ)上又大幅減少了核密度估計(jì)的輸入，進(jìn)一步提高了核密度估計(jì)的計(jì)算效率。

為了驗(yàn)證本文提出的基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的載荷外推方法的準(zhǔn)確性與合理性，與傳統(tǒng)的基于核密度估計(jì)的固定帶寬載荷外推和自適應(yīng)帶寬載荷外推以及實(shí)測(cè)原始載荷進(jìn)行對(duì)比論證。

由3種帶寬選擇方法計(jì)算得到的載荷循環(huán)均幅值概率密度分布如圖11所示。將圖11與圖10進(jìn)行對(duì)比，可以看出傳統(tǒng)的固定帶寬與自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的曲線較為平滑，而本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的曲線較為曲折，能夠很好地反映圖10數(shù)據(jù)的密集程度，并且數(shù)據(jù)密集點(diǎn)的分布情況劃分更加具體，細(xì)節(jié)信息表達(dá)更為清楚，能很好地?cái)M合真實(shí)概率密度。為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)概率密度函數(shù)的擬合程度，將固定帶寬、自適應(yīng)帶寬以及本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)的概率密度函數(shù)的結(jié)果分別結(jié)合Monte Carlo模擬算法進(jìn)行載荷外推。將實(shí)測(cè)原始載荷數(shù)據(jù)和上述3種方法進(jìn)行載荷外推后得到的載荷循環(huán)均幅值分別進(jìn)行分級(jí)統(tǒng)計(jì)處理，并計(jì)算實(shí)測(cè)原始數(shù)據(jù)與3種帶寬選擇外推方法的均方根誤差(RMSE)，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 載荷循環(huán)均幅值的均方根誤差Tab.2 RMSE of load cycle mean and range με

由表2可知，相較于傳統(tǒng)的固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推方法的均方根誤差RMSE最小，表明通過(guò)本文方法計(jì)算得到的概率密度更加接近于真實(shí)的概率密度。

將實(shí)測(cè)原始載荷數(shù)據(jù)和上述3種方法進(jìn)行載荷外推后得到的載荷循環(huán)均值和幅值數(shù)據(jù)分別進(jìn)行分級(jí)統(tǒng)計(jì)處理，結(jié)果如圖12所示。為進(jìn)一步分析頻次分布的相關(guān)性和擬合程度，計(jì)算實(shí)測(cè)原始數(shù)據(jù)與3種帶寬選擇外推方法的相關(guān)系數(shù)(R)以及均方根誤差(RMSE)，結(jié)果如表3、4所示。

表3 載荷循環(huán)均值的相關(guān)系數(shù)及均方根誤差Tab.3 R and RMSE of load cycle mean

表4 載荷循環(huán)幅值的相關(guān)系數(shù)及均方根誤差Tab.4 R and RMSE of load cycle range

由表3、4可知，相較于傳統(tǒng)的固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推與實(shí)測(cè)原始載荷均值和幅值的相關(guān)系數(shù)R最大，均方根誤差最小，表明通過(guò)本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)進(jìn)行載荷外推得到的載荷循環(huán)均值和幅值分布與實(shí)測(cè)原始載荷的載荷循環(huán)均值和幅值分布具有很強(qiáng)的相似性，分布擬合效果好，更加接近實(shí)測(cè)原始載荷的真實(shí)分布規(guī)律。

載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線為后續(xù)程序載荷譜的編制提供數(shù)據(jù)支撐，影響程序載荷譜編制的準(zhǔn)確性。將實(shí)測(cè)原始數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)的固定帶寬載荷外推、自適應(yīng)帶寬載荷外推以及本文提出的自適應(yīng)帶寬載荷外推的載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，如圖13所示。由圖13可以看出，通過(guò)本文提出的帶寬選擇方法進(jìn)行載荷外推得到的曲線與實(shí)測(cè)原始載荷曲線更為接近，擬合效果更好。為了更加直觀進(jìn)行對(duì)比，更好評(píng)價(jià)載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的擬合效果，采用決定系數(shù)R2作為曲線擬合的檢驗(yàn)指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5 載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的決定系數(shù)Tab.5 Coefficient of determination of load cycle range cumulative frequency curve

由表5可知，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)外推方法的R2更加接近于1，這表明，與另外兩種方法相比，本文提出的方法與實(shí)測(cè)原始載荷的載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的擬合度更高，更為相似，能夠?yàn)槌绦蜉d荷譜編制提供更加接近實(shí)際的數(shù)據(jù)支撐。

4 結(jié)論

(1)提出了一種基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推方法，該方法利用四叉樹分割算法將載荷循環(huán)數(shù)據(jù)區(qū)域進(jìn)行分割，以分割完成后的數(shù)據(jù)塊為依據(jù)計(jì)算帶寬，并根據(jù)數(shù)據(jù)塊的密集程度對(duì)核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入進(jìn)行優(yōu)化。

(2)以玉米收獲機(jī)車架為研究對(duì)象，在砂石路面工況和田間收獲工況下，采用本文提出的方法大幅降低了核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)輸入，極大提高了核密度估計(jì)的計(jì)算效率。

(3)將固定帶寬、自適應(yīng)帶寬與本文提出的基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計(jì)載荷外推方法進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明，通過(guò)本文提出的載荷外推方法計(jì)算得到的載荷循環(huán)均值和幅值分布的相關(guān)系數(shù)均更加接近于1，均方根誤差更小；載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的決定系數(shù)均大于0.99。與傳統(tǒng)的固定帶寬以及自適應(yīng)帶寬的核密度估計(jì)方法相比，本文提出的方法具有更高的準(zhǔn)確性，載荷外推結(jié)果更接近實(shí)際載荷的分布情況，能夠?yàn)檩d荷譜的編制、零部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。