廣義Dickman方程的一些新結(jié)果

馮利文, 汪東樹

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

考慮廣義Dickman方程

(1)

的大時(shí)間動(dòng)力學(xué)性態(tài).其中,t≥t0,t0充分大；n為正整數(shù)；α為一個(gè)固定的常數(shù)，α≥1.

顯然,當(dāng)α=1且n=1時(shí),方程(1)退化為經(jīng)典的Dickman方程，即

(2)

在解析數(shù)論中，Dickman方程具有非常重要的應(yīng)用.Dickman函數(shù)是一個(gè)特殊函數(shù),常用于估計(jì)方程(2)給定范圍內(nèi)的平滑數(shù)的頻率.

當(dāng)n=1時(shí),方程(1)退化為廣義的Dickman方程,即

(3)

方程(3)包含經(jīng)典的Dickman方程(2),因而方程(3)受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[1-5].鑒于時(shí)滯微分方程解的漸近行為具有非常重要的理論和實(shí)際意義[6-12],Diblík[13]研究了方程(3)的主解、次主解及所有解的漸近行為等大時(shí)間動(dòng)力學(xué)性態(tài),得到定理A～C.

定理A對(duì)任意給定的常數(shù)k1>0與ε>0,如果不等式ε>αk1成立,則對(duì)充分大的t0,在區(qū)間[t0-1,∞)上存在方程(3)的一個(gè)正的主解x1(t)，滿足

定理B對(duì)任意給定的常數(shù)M2>0,當(dāng)t0充分大時(shí),在區(qū)間[t0-1,∞)上存在方程(3)的一個(gè)正的次主解x2(t)，滿足

考慮初值問題

x(t)=φ(t),t∈[t0-1,t0].

(4)

式(4)中：φ(t)是方程(1)的連續(xù)初值函數(shù),方程(3)是方程(1)的特殊情形，因此，φ(t)也是方程(3)的連續(xù)初值函數(shù).

定理C若x(t0,φ)(t)是方程(3)滿足初值條件(4)的唯一解,則x(t0,φ)(t)滿足

因?yàn)榉匠?3)是方程(1)的特殊情況，而定理 A～C是通過研究方程(3)得到的結(jié)果,因此，考慮將方程(3)上的定理 A～C的可行性推廣到方程(1)上.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮線性時(shí)滯微分方程

x′(t)=-C(t)x(t-τ(t)).

(5)

式(5)中:C(t)，τ(t)均為連續(xù)函數(shù).

定義1[14]如果存在初值函數(shù)φ(t)使方程(5)在初值條件下存在一個(gè)最終正解(最終負(fù)解),那么,稱方程(1)是非振蕩的(振蕩的).

方程(5)最終正解(t→∞)存在性問題的證明可參考文獻(xiàn)[14-15]的著名積分準(zhǔn)則.

引理1[13]若方程(5)在區(qū)間[t0-1,∞)上存在一個(gè)正解,則方程(5)在區(qū)間[t0-1,∞)存在兩個(gè)正解xd(t)，xs(t),滿足

(6)

使方程(5)在區(qū)間[t0-1,∞)上的任意解x=x(t)都可以被唯一地表示為

x(t)=kxd(t)+ο(xs(t)).

(7)

式(7)中：常數(shù)k依賴于x.

定義2[16]如果在區(qū)間[t0-1,∞)上，方程(5)的正解xs(t)，xd(t)滿足方程(6),則稱xd(t)為主解,xs(t)為次主解.

引理2[17]對(duì)任意t≥t0,φ∈Cr,(t+θ,φ(θ))∈Ω,Ω∶={(t,x)∶t≥t0-r,ρ(t)<φ(t)<δ(t)},θ∈[-r,0)，若當(dāng)φ(0)=δ(t)時(shí),有

(8)

成立,且當(dāng)φ(0)=ρ(t)時(shí),有

(9)

成立,則方程(5)在區(qū)間[t0-r,∞)上存在一個(gè)解x(t)滿足

ρ(t)

.

(10)

(11)

成立.其中，t∈[t0-1,∞),t0是充分大的.

2 主要結(jié)果及證明

通過理論分析和過程推導(dǎo),針對(duì)方程(1)可得定理1～3.

定理1對(duì)于任意給定的常數(shù)kd>0與ε>0,如果不等式

ε>αkd

(12)

成立,那么，對(duì)于充分大的t0,在區(qū)間[t0-1,∞)上存在方程(1)的一個(gè)正的主解xd(t),滿足

(13)

首先，證明不等式(8)成立,考慮函數(shù)

當(dāng)t0充分大時(shí),需證明不等式

證畢.

根據(jù)注1,可得推論1.

推論1對(duì)任意給定的常數(shù)kd>0，ε>0,當(dāng)t0充分大時(shí),在區(qū)間[t0-1,∞)上存在方程(1)的一個(gè)正的主解xd(t),滿足

定理2對(duì)于任意給定的常數(shù)Ms>0,當(dāng)t0充分大時(shí),則在區(qū)間[t0-1,∞)上存在方程(1)的正的次主解xs(t),滿足

(14)

首先，證明不等式(8)成立,考慮函數(shù)

若對(duì)δ(t)求導(dǎo)，可得

(15)

當(dāng)t→∞,式(15)右極限等于0,因此，當(dāng)t0充分大時(shí),存在區(qū)間[t0-1,∞)，使式(8)成立.

證畢.

定理3若x(t0,φ)(t)是方程(1)滿足初值條件(4)的唯一解,則x(t0,φ)(t)滿足

(16)

其中，

(17)

證明:由于[tαx(t)]′=αtα-1x(t)+tαx′(t)成立,代入式(1),可得

方程(1)的初值問題等價(jià)于

(18)

由引理1，3及方程式(5)，(18)可知,存在兩個(gè)非負(fù)常數(shù)L1，L2，使

成立.其中，xd，xs分別為方程(1)的主解和次主解.

若取kd=Ms=1,則可根據(jù)定理1，2得到主解、次主解，分別滿足

成立.此時(shí)，當(dāng)t→∞時(shí)，上式右側(cè)極限為0.

因此，可得

即式(8)成立.

證畢.

注2當(dāng)n=1時(shí),定理1～3退化為定理A～C.此外,定理1～3還包含n為其他正整數(shù)的情形,故定理1～3更加廣泛.

由定理1，2可知：方程(1)中的主解和次主解都是正解,而方程(1)又是方程(5)的特殊形式,則根據(jù)定義1,可得方程(1)的任意解均為最終的正解,即方程(1)是非振蕩的.

3 典型例題及一些開問題

例1針對(duì)定理1,取n=2,α=1,kd=1,ε=1,則方程(1)可化為

(19)

當(dāng)t0充分大時(shí),易得

在例1中,取ε=αkd,但方程(19)的近似解仍滿足式(6),因此，定理1比定理A的應(yīng)用更加廣泛.

開問題1對(duì)于方程

定理1～3是否仍適用？

開問題2對(duì)于方程

定理1～3是否仍適用?其中,τ(t)是依賴于時(shí)間t的時(shí)滯函數(shù).